解析法證幾何題

1、第56講 解析法證 幾何題解析法是利用代數(shù)方法解決幾何問題的一種常用方法其一般的順序是：建立坐標系，設(shè)出各點坐標及各線的方程，然后根據(jù)求解或求證要求進行代數(shù)推算它的優(yōu)點是具有一般性與程序性，幾何所有的平面幾何問題都可以用解析法獲解，但對于有些題目演算太繁此外，如果建立坐標系或設(shè)點坐標時處理不當，也可能增加計算量建系設(shè)點坐標的一般原則是使各點坐標出現(xiàn)盡量多的0，但也不可死搬教條，對于一些“地位平等”的點、線，建系設(shè)點坐標時，要保持其原有的“對稱性”A類例題例1如圖，以直角三角形ABC的斜邊AB及直角邊BC為邊向三角形兩側(cè)作正方形ABDE、CBFG求證：DCFA分析 只要證kCD·kAF

2、1，故只要求點D的坐標證明 以C為原點，CB為x軸正方向建立直角坐標系設(shè)A(0，a)，B(b，0)，D(x，y)則直線AB的方程為axbyab0故直線BD的方程為bxay(b·ba·0)0，即bxayb20ED方程設(shè)為axbyC0由AB、ED距離等于|AB|，得，解得C±(a2b2)ab如圖，應(yīng)舍去負號所以直線ED方程為axbya2b2ab0解得xba，yb(只要作DHx軸，由DBHBAC就可得到這個結(jié)果)即D(ba，b)因為kAF，kCD，而kAF·kCD1所以DCFA例2自ABC的頂點A引BC的垂線，垂足為D，在AD上任取一點H，直線BH交AC于E，

3、CH交AB于F試證：AD平分ED與DF所成的角證明 建立直角坐標系，設(shè)A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，H(0，h)，于是BH：1AC：1過BH、AC的交點E的直線系為：(1)(1)0以(0，0)代入，得0分別取1，1，有x()y()0所以，上述直線過原點，這是直線DE同理，直線DF為x()y()0顯然直線DE與直線DF的斜率互為相反數(shù)，故AD平分ED與DF所成的角說明 寫出直線系方程要求其中滿足某性質(zhì)的直線，就利用此性質(zhì)確定待定系數(shù)，這實際上并不失為一種通法例3證明：任意四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和再加上對角線中點連線的平方的4倍證明 在直角坐標系中，設(shè)四邊形四個頂點的

4、坐標為A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)，A4(x4，y4)由中點公式知對角中點的坐標為B(，)，C(，)則 4()2(x1x3)2(x2x4)2(x1x3x2x4)2(x1x3)2(x2x4)22(xxxxx1x2x2x3x3x4x4x1)(x1x2)2(x2x3)2(x3x4)2(x4x1)2，同理有4()2(y1y3)2(y2y4)2(y1y2)2(y2y3)2(y3y4)2(y4y1)2，兩式相加得：|A1A2|2|A2A3|2|A3A4|2|A4A1|24|BC|2|A1A3|2|A2A4|2說明 本題純幾何證法并不容易，而采用解析法，只需要簡單的計算便達到目

5、的另外本例中巧妙地抓住了各點的“對稱性”，設(shè)了最為一般的形式，簡化了計算情景再現(xiàn)1如圖，O的弦CD平行于直徑AB，過C、D的圓的切線交于點P，直線AC、BC分別交直線OP于Q、R求證：|PQ|PR|2自圓M外一點E作圓的切線，切點為F，又作一條割線EAB，交圓M于A、B，連結(jié)EF的中點O與B，交圓M于D，ED交圓M于C求證：ACEF3CH是ABC中邊AB上的高，H為垂足，點K、P分別是H關(guān)于邊AC和BC的對稱點證明：線段KP與AC，BC(或它們的延長線)的交點是ABC高線的垂足B類例題例4P、Q在ABC的AB邊上，R在AC邊上，并且P，Q，R將ABC的周長分為三等分求證：證明 如圖，以A為原點

6、，直線AB為x軸，建立直角坐標系設(shè)ABc，BCa，CAb，Q(q，0)，P(p，0)則qp(abc)，ARPQAPq2p，從而由于2SPQRyR(qp)，2SABCxByC，所以注意到pq(abc)c(abc)，所以q2p(abc)c(abc)(abc)(abc)，··說明 本題中是不可改進的，取bc，Q與B重合，則當a趨向于0時，p趨向于q，面積比趨向于例5設(shè)H是銳角三角形ABC的垂心，由A向以BC為直徑的圓作切線AP、AQ，切點分別為P、Q證明：P、H、Q三點共線(1996年中國數(shù)學奧林匹克)證明 如圖以BC為x軸BC中點O為原點建立直角坐標系設(shè)B(1，0)，C(1，0

7、)，A(x0，y0)，則PQ方程為x0xy0y1點H的坐標為H(x0，y)，滿足·1，即 y，顯然H滿足PQ方程，即H在PQ上從而P、H、Q三點共線例6設(shè)A、B、C、D是一條直線上依次排列的四個不同的點，分別以AC、BD為直徑的兩圓相交于X和Y，直線XY交BC于Z若P為直線XY上異于Z的一點，直線CP與以AC為直徑的圓相交于C和M，直線BP與以BD為直徑的圓相交于B和N試證：AM、DN、XY三線共點分析 只要證明AM與XY的交點也是DN與XY的交點即可，為此只要建立坐標系，計算AM與XY的交點坐標證明 如圖，以XY為弦的任意圓O，只需證明當P確定時，S也確定以Z為原點，XY為y軸建立

8、平面直角坐標系，設(shè)X(0，m)，P(0，y0)，PCA，其中m、y0為定值于是有xCy0cot但是xA·xCyX2，則xAtan因此，直線AM的方程為：ycot(xtan)令x0，得yS，即點S的坐標為(0，)同理，可得DN與XY的交點坐標為(0，)所以AM、DN、XY三線共點情景再現(xiàn)4在RtABC中，AD是斜邊上的高，M，N分別是ABD與ACD的內(nèi)心，連接MN并延長分別交AB、AC于K、L兩點求證：SABC2SAKL5已知ABC中，A，且m求證：BC邊過定點6設(shè)ABC的重心為G，AG、BG、CG的延長線交ABC的外接圓于P、Q、R求證：3C類例題例7以ABC的邊BC為直徑作半圓，與

9、AB、AC分別交于D和E過D、E作BC的垂線，垂足分別為F、G線段DG、EF交于點M求證：AMBC(1996年國家隊選拔題)分析 建立以BC為x軸的坐標系，則只要證明點A、M的橫坐標相等即可證明 以BC所在的直線為x軸，半圓圓心O為原點建立直角坐標系設(shè)圓的半徑為1，則B(1，0)，C(1，0)令EBC，DCB，則直線BD的方程為ycot·(x1)同樣，直線CE的方程為ycot·(x1)，聯(lián)立這兩個方程，解得A點的橫坐標xA因為EOC2EBC2，DOB2，故E(cos2，sin2)，D(cos2，sin2)，G(cos2，0)，F(xiàn)(cos2，0)于是直線DG的方程為y

10、3;(xcos2)，直線EF的方程為y·(xcos2)聯(lián)立這兩個方程，解得M點的橫坐標xMxA故AMBC例8如圖，一條直線l與圓心為O的圓不相交，E是l上一點，OEl，M是l上任意異于E的點，從M作圓O的兩條切線分別切圓于A和B，C是MA上的點，使得ECMA，D是MB上的點，使得EDMB，直線CD交OE于F求證：點F的位置不依賴于M的位置(1994年IMO預(yù)選題)分析 若以l為x軸，OE為y軸建立坐標系，則只要證明F點的縱坐標與點M的坐標無關(guān)即可證明 建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)圓O的半徑為r，OEa，OME，OMA，顯然有yCMC·sin()ME·sin()

11、cos()acot·sin()cos()，xCyC·tan()acotsin2()同理，yDacot·sin()cos()，xDacotsin2()所以，kCDcot2則直線CD的方程為yacot·sin()cos()cot2xacotsin2()令x0，得yFacot·sin()cos()cot2sin()a·(1)由于是定值，這就表明F的位置不依賴于點M的位置情景再現(xiàn)7在箏形ABCD中，ABAD，BCCD，經(jīng)AC、BD交點O作二直線分別交AD、BC、AB、CD于點E、F、G、H，GF、EH分別交BD于點I、J求證：IOOJ（199

12、0年冬令營選拔賽題）8水平直線m通過圓O的中心，直線lm，l與m相交于M，點M在圓心的右側(cè)，直線l上不同的三點A、B、C在圓外，且位于直線m上方，A點離M點最遠，C點離M點最近，AP、BQ、,CR為圓O的三條切線，P、Q,、R為切點試證：(1)l與圓O相切時，AB´CRBC´APAC´BQ；(2)l與圓O相交時，AB´CRBC´APAC´BQ；(3)l與圓O相離時，AB´CRBC´APAC´BQ(1993年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽)習題561已知AM是DABC的一條中線，任一條直線交AB于P，交AC于Q，交A

13、M于N求證：，成等差數(shù)列2在四邊形ABCD中，AB與CD的垂直平分線相交于P，BC和AD的垂直平分線相交于Q，M、N分別為對角線AC、BD中點求證：PQMN3證明，如一個凸八邊形的各個角都相等，而所有各鄰邊邊長之比都是有理數(shù)，則這個八邊形的每組對邊一定相等(1973年奧地利數(shù)學競賽題)4設(shè)ABC是銳角三角形，在ABC外分別作等腰直角三角形BCD、ABE、CAF，在此三個三角形中，BDC、BAE、CFA是直角又在四邊形BCFE外作等腰直角三角形EFG，EFG是直角求證：GAAD；GAD135°；(上海市1994年高中數(shù)學競賽)5如圖ABC和ADE是兩個不全等的等腰直角三角形，現(xiàn)固定AB

14、C，而將ADE繞A點在平面上旋轉(zhuǎn)試證：不論ADE旋轉(zhuǎn)到什么位置，線段EC上必存在點M，使BMD為等腰直角三角形(1987年全國高中數(shù)學聯(lián)賽)6設(shè)A1A2A3A4為O的內(nèi)接四邊形，H1、H2、H3、H4依次為A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的垂心求證：H1、H2、H3、H4四點在同一個圓上，并定出該圓的圓心位置(1992年全國高中數(shù)學聯(lián)賽)7證明：ABC的重心G，外心O，垂心H三點共線，且OG：GH1：28已知MN是圓O的一條弦，R是MN的中點，過R作兩弦AB和CD，過A、B、C、D四點的二次曲線交MN于P、Q求證：R是PQ的中點本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答：1以圓心O為原點，BA

15、為y軸建立坐標系，設(shè)點C的坐標為(x0，y0)，且O的半徑等于1可得R點橫坐標xR，Q點橫坐標xQ，P點橫坐標xP所以xRxq2xP即點P為QR的中點，所以|PQ|PR|2以O(shè)為原點，EF為x軸，建立直角坐標系設(shè)E(x0，0)，F(xiàn)(x0，0)圓M的半徑設(shè)為r，則圓M的方程為x2y22xx02yrx020 (1)過E的兩直線AB、CD的方程可設(shè)為h1yxx0，h2yxx0，合為(xh1yx0)(xh2yx0)0 (2)直線BD、AC的方程又可設(shè)為ykx，axbyc0合為(ykx)(axbyc)0 (3)(1)與(2)所成的曲線系過交點A、B、C、D，又曲線(3)過點A、B、C、D，故為該曲線系中

16、的一條比較(1)與(2)所成的曲線系與(3)中常數(shù)項即可知(3)能由(1)、(2)相減得到，此時項中無x2項所以(3)中a0，即ACEF3建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)A、B、C三點的坐標依次為A(a，0)，B(b，0)，C(0，c)則P點和K點的坐標分別為：P(，)，K(，)于是KP所在的直線方程是c(ab)x(abc2)y2abc0 ，另一方面，BC所在直線的方程是cxbybc0 ，BC邊上的高所在的直線方程是bxcyab0 ，由于×a×c，于是KP經(jīng)過BC邊上高線的垂足，同理，KP與經(jīng)過AC邊上高線的垂足4分別以AC、AB所在直線為x軸和y軸建立直角坐標系，并設(shè)|A

17、C|a，|AB|b，|OD|c，則c設(shè)ACD、ABD的內(nèi)切圓半徑分別為r1，r2，則N，M的坐標分別為N(cr1，r1)，M(r2，cr2)于是直線MN的斜率為kMN1這說明AKL為等腰直角三角形，直線MN的方程為yr1(xcr1)，其橫、縱截距均為c，所以2SAKLc2SABC5以A為原點，AB為x軸正方向建立直角坐標系設(shè)|AB|p，|AC|q則m，q，點B(p，0)，C(qcos，qsin)直線BC的方程為整理得p(mysin)xsin(1cos)y0，即無論p為何值時，直線BC經(jīng)過兩條定直線mysina0與xsin(1cos)y0的交點(兩條直線斜率不等，故必有交點)，即直線BC過定點6

18、以外接O的圓心O為原點，平行于BC的直線為x軸建立坐標系設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則C(x2，y2)，G(，)設(shè)外接圓半徑為r則x12y12x22y22r2由相交弦定理，知，同理，；|AG|2|BG|2|CG|2(x1)2(x2)2(x2)2(y1)22(y2)2x12(y1y2)22x22(r2x22y1y2)，r2|OG|2r2(2r2y22y1y2)注意到x22y22r2，就得37如圖，以O(shè)為原點，OD為x軸正方向建立直角坐標系，設(shè)A(0，a)，D(d，0)，C(0，c)，則B(d，0)直線AB方程為：10；設(shè)GH方程：kyx0(因為求I點坐標時要取y0，故把系數(shù)k置于y前)

19、于是GF方程為1(kyx)0 ，BC方程為10，設(shè)EF方程為hyx0于是GF方程又可表示為1m(hyx)0 與是同一個方程，比較系數(shù)得m，kmh則()在中，令y0得I點的橫坐標xI；同理，點J的橫坐標為xJ，其中'()，于是xIxj即IOOJ從而得證8證略本節(jié)“習題56”解答：1以BC所在直線為x軸，高AD所在直線為y軸建立直角坐標系設(shè)A(0，a)，B(mb，0)，C(mb，0)，直線PQ方程：ykxq設(shè)l，則l，l1所以P點坐標為x，y，故(l1)ak(mb)ql，則l，即，同理，則2這說明，成等差數(shù)列2提示：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，

20、利用式子的對稱性即可證得結(jié)論3此八邊形的每個內(nèi)角都等于135°不妨設(shè)每邊的長都是有理數(shù)依次設(shè)其八邊長為有理數(shù)a，b，c，d，e，f，g，h把這個八邊形放入坐標系中，使長為a的邊的一個頂點為原點，這邊在x軸上，于是abcos45°dcos135°efcos225°hcos315°0，整理得ae(bdfh)0；bcos45°cdcos(45°)fcos135°ghcos225°0，整理得cg(bdfh)0所以ae，bdfh0；cg，bdfh0則bf0，gh0從而凸八邊形的每組對邊相等4以A為原點建立直角坐標系

21、，設(shè)B、C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為zB，zC則點E對應(yīng)復(fù)數(shù)zEizB，點D對應(yīng)復(fù)數(shù)zD(1i)(zBzC)zC(1i)zB(1i)zC，點F對應(yīng)復(fù)數(shù)zF(1i)zC向量zEzFizB(1i)zCzGzFi(1i)zCiizB(1i)zCzB(1i)2zCzBizC則zG(1i)zD(cos135°isin135°)zD則GAAD；GAD135° 5以A為原點，AC為x軸正方向建立復(fù)平面設(shè)C表示復(fù)數(shù)c，點E表示復(fù)數(shù)e(c、eR)則點B表示復(fù)數(shù)bcci，點D表示復(fù)數(shù)deei把ADE繞點A旋轉(zhuǎn)角得到AD¢E¢，則點E¢表示復(fù)數(shù)e¢e(cosi

22、sin)點D¢表示復(fù)數(shù)d¢d(cosisin)表示E¢C中點M的復(fù)數(shù)m(ce¢)則表示向量的復(fù)數(shù)：z1b(ce¢)ccice(cosisin)ecos(cesin)i表示向量的復(fù)數(shù)：z2d¢m(eei)(cosisin)ce(cosisin)(esinc)iecos顯然：z2z1i于是|MB|MD¢|，且BMD¢90°即BMD¢為等腰直角三角形故證6以O(shè)為坐標原點，O的半徑為長度單位建立直角坐標系，設(shè)OA1、OA2、OA3、OA4與OX正方向所成的角分別為、d，則點A1、A2、A3、A4的坐標依次是(cos，sin)、(cos，sin)、(cos，sin)、(cosd，sind)顯然，A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的外心都是點O，而它們的重心依次是(coscoscosd)，(sinsinsind)、(coscosdcos)，(sinsindsin)、(cosdcoscos)，(sindsinsin