小學奧數(shù)平面幾何五大定律10326

1、金鑰匙小學六年級奧數(shù)復習資料小學奧數(shù)平面幾何五大定律教學目標：1 熟練掌握五大面積模型2. 掌握五大面積模型的各種變形知識點撥一、等積模型等底等高的兩個三角形面積相等；兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如右圖夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖；反之，如果，則可知直線平行于等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比二、鳥頭定理兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做

2、共角三角形共角三角形的面積比等于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比如圖在中，分別是上的點如圖 (或在的延長線上，在上)，則 圖 圖三、蝴蝶定理任意四邊形中的比例關系(“蝴蝶定理”)：或者蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑通過構造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關系與四邊形內的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應的對角線的比例關系梯形中比例關系(“梯形蝴蝶定理”)：；的對應份數(shù)為四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ；所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形相關的常用的性質及定

3、理如下：相似三角形的一切對應線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應的底邊長的一半相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關系相互轉化的工具在小學奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因為兩條平行線而出現(xiàn)的相似三角形五、燕尾定理在三角形中，相交于同一點，那么上述定理給出了一個新的轉化面積比與線段比的手段，因為和的形狀很象燕子的尾巴，所以這個定理被稱為燕尾定理該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個三角形之中，為三角形中的三角形面積

4、對應底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.典型例題【例 1】 如圖，正方形ABCD的邊長為6，1.5，2長方形EFGH的面積為 _H_G_F_E_D_C_B_A _A_B_C_D_E_F_G_H【解析】 連接DE，DF，則長方形EFGH的面積是三角形DEF面積的二倍三角形DEF的面積等于正方形的面積減去三個三角形的面積，,所以長方形EFGH面積為33【鞏固】如圖所示，正方形的邊長為厘米，長方形的長為厘米，那么長方形的寬為幾厘米？_A_B_G_C_E_F_D _A_B_G_C_E_F_D【解析】 本題主要是讓學生會運用等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)三角形面積等于

5、與它等底等高的平行四邊形面積的一半證明：連接(我們通過把這兩個長方形和正方形聯(lián)系在一起)在正方形中，邊上的高，(三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半)同理，正方形與長方形面積相等 長方形的寬(厘米)【例 2】 長方形的面積為36，、為各邊中點，為邊上任意一點，問陰影部分面積是多少？【解析】 解法一：尋找可利用的條件，連接、，如下圖： 可得：、，而 即； 而， 所以陰影部分的面積是： 解法二：特殊點法找的特殊點，把點與點重合，那么圖形就可變成右圖： 這樣陰影部分的面積就是的面積，根據(jù)鳥頭定理，則有： 【鞏固】在邊長為6厘米的正方形內任取一點，將正方形的一組對邊二等分，另一組對邊三等分

6、，分別與點連接,求陰影部分面積 【解析】 （法1）特殊點法由于是正方形內部任意一點，可采用特殊點法，假設點與點重合，則陰影部分變?yōu)槿缟现袌D所示，圖中的兩個陰影三角形的面積分別占正方形面積的和，所以陰影部分的面積為平方厘米（法2）連接、由于與的面積之和等于正方形面積的一半，所以上、下兩個陰影三角形的面積之和等于正方形面積的，同理可知左、右兩個陰影三角形的面積之和等于正方形面積的，所以陰影部分的面積為平方厘米【例 3】 如圖所示，長方形內的陰影部分的面積之和為70，四邊形的面積為 【解析】 利用圖形中的包含關系可以先求出三角形、和四邊形的面積之和，以及三角形和的面積之和，進而求出四邊形的面積由于長

7、方形的面積為，所以三角形的面積為，所以三角形和的面積之和為；又三角形、和四邊形的面積之和為，所以四邊形的面積為另解：從整體上來看，四邊形的面積三角形面積三角形面積白色部分的面積，而三角形面積三角形面積為長方形面積的一半，即60，白色部分的面積等于長方形面積減去陰影部分的面積，即，所以四邊形的面積為【鞏固】如圖，長方形的面積是36，是的三等分點，則陰影部分的面積為 【解析】 如圖，連接根據(jù)蝴蝶定理，所以；，所以又，所以陰影部分面積為：【例 4】 已知為等邊三角形，面積為400，、分別為三邊的中點，已知甲、乙、丙面積和為143，求陰影五邊形的面積(丙是三角形)【解析】 因為、分別為三邊的中點，所以

8、、是三角形的中位線，也就與對應的邊平行，根據(jù)面積比例模型，三角形和三角形的面積都等于三角形的一半，即為200根據(jù)圖形的容斥關系，有，即，所以又，所以【例 5】 如圖，已知，線段將圖形分成兩部分，左邊部分面積是38，右邊部分面積是65，那么三角形的面積是 【解析】 連接，根據(jù)題意可知，；所以，于是：；可得故三角形的面積是40【例 6】 如圖在中，分別是上的點，且，平方厘米，求的面積 【解析】 連接，所以，設份，則份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面積是平方厘米由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比 【鞏固】如圖，三角形

9、中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面積等于1，那么三角形的面積是多少？ 【解析】 連接 又，【鞏固】如圖，三角形ABC被分成了甲(陰影部分)、乙兩部分，乙部分面積是甲部分面積的幾倍？ 【解析】 連接，又，【例 7】 如圖在中，在的延長線上，在上，且，平方厘米，求的面積 【解析】 連接， ，所以，設份，則份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面積是平方厘米由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比【例 8】 如圖，平行四邊形，平行四邊形的面積是， 求平行四邊形與四邊形的面積比 【解析】 連接、根據(jù)共角定理 在和中，與互補，又

10、，所以同理可得，所以所以【例 9】 如圖所示的四邊形的面積等于多少？【解析】 題目中要求的四邊形既不是正方形也不是長方形，難以運用公式直接求面積.我們可以利用旋轉的方法對圖形實施變換：把三角形繞頂點逆時針旋轉，使長為的兩條邊重合，此時三角形將旋轉到三角形 的位置.這樣，通過旋轉后所得到的新圖形是一個邊長為的正方形，且這個正方形的面積就是原來四邊形的面積.因此，原來四邊形的面積為.(也可以用勾股定理)【例 10】 如圖所示，中，以為一邊向外作正方形，中心為，求的面積 【解析】 如圖，將沿著點順時針旋轉，到達的位置由于，所以而，所以，那么、三點在一條直線上由于，所以是等腰直角三角形，且斜邊為，所以

11、它的面積為根據(jù)面積比例模型，的面積為【例 11】 如圖，以正方形的邊為斜邊在正方形內作直角三角形，、交于已知、的長分別為、，求三角形的面積 【解析】 如圖，連接，以點為中心，將順時針旋轉到的位置那么，而也是，所以四邊形是直角梯形，且，所以梯形的面積為：()又因為是直角三角形，根據(jù)勾股定理，所以()那么()，所以()【例 12】 如下圖，六邊形中，且有平行于，平行于，平行于，對角線垂直于，已知厘米，厘米，請問六邊形的面積是多少平方厘米？ 【解析】 如圖，我們將平移使得與重合，將平移使得與重合，這樣、都重合到圖中的了這樣就組成了一個長方形，它的面積與原六邊形的面積相等，顯然長方形的面積為平方厘米，

12、所以六邊形的面積為平方厘米【例 13】 如圖，三角形的面積是，是的中點，點在上，且，與交于點則四邊形的面積等于 【解析】 方法一：連接，根據(jù)燕尾定理，, 設份，則份，份，份，如圖所標所以方法二：連接，由題目條件可得到，所以，而所以則四邊形的面積等于【鞏固】如圖，長方形的面積是平方厘米，是的中點陰影部分的面積是多少平方厘米?【解析】 設份，則根據(jù)燕尾定理其他面積如圖所示平方厘米.【例 14】 四邊形的對角線與交于點(如圖所示)如果三角形的面積等于三角形的面積的，且，那么的長度是的長度的_倍 【解析】 在本題中，四邊形為任意四邊形，對于這種”不良四邊形”，無外乎兩種處理方法：利用已知條件，向已有模

13、型靠攏，從而快速解決；通過畫輔助線來改造不良四邊形看到題目中給出條件，這可以向模型一蝴蝶定理靠攏，于是得出一種解法又觀察題目中給出的已知條件是面積的關系，轉化為邊的關系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個中介來改造這個”不良四邊形”，于是可以作垂直于，垂直于，面積比轉化為高之比再應用結論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結果請老師注意比較兩種解法，使學生體會到蝴蝶定理的優(yōu)勢，從而主觀上愿意掌握并使用蝴蝶定理解決問題解法一：，解法二：作于，于，【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成4個三角形，其中三個三角形的面積已知，求：三角形的面積；？【解析】 根據(jù)蝴蝶定理，那么；根據(jù)蝴蝶定理

14、，【例 15】 如圖，平行四邊形的對角線交于點，、的面積依次是2、4、4和6求：求的面積；求的面積【解析】 根據(jù)題意可知，的面積為，那么和的面積都是，所以的面積為；由于的面積為8，的面積為6，所以的面積為，根據(jù)蝴蝶定理，所以，那么【例 16】 如圖，長方形中，三角形的面積為平方厘米，求長方形的面積 【解析】 連接，因為，所以因為，所以平方厘米，所以平方厘米因為，所以長方形的面積是平方厘米【例 17】 如圖，正方形面積為平方厘米，是邊上的中點求圖中陰影部分的面積【解析】 因為是邊上的中點，所以，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道，設份，則 份，所以正方形的面積為份，份，所以，所以平方厘米【鞏固】在下圖的正

15、方形中，是邊的中點，與相交于點，三角形的面積為1平方厘米，那么正方形面積是 平方厘米【解析】 連接，根據(jù)題意可知，根據(jù)蝴蝶定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米) 【例 18】 已知是平行四邊形，三角形的面積為6平方厘米則陰影部分的面積是 平方厘米【解析】 連接由于是平行四邊形，所以，根據(jù)梯形蝴蝶定理，所以(平方厘米)，(平方厘米)，又(平方厘米)，陰影部分面積為(平方厘米)【鞏固】右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是 平方厘米 【分析】 連接由于與是平行的，所以也是梯形，那么根據(jù)蝴蝶定理，故，所以(平方厘米)【鞏固】右圖中是梯形，是

16、平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是 平方厘米【解析】 連接由于與是平行的，所以也是梯形，那么根據(jù)蝴蝶定理，故，所以(平方厘米)另解：在平行四邊形中，(平方厘米)，所以(平方厘米)，根據(jù)蝴蝶定理，陰影部分的面積為(平方厘米)【例 19】 如圖，長方形被、分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形的面積為_平方厘米 【解析】 連接、四邊形為梯形，所以，又根據(jù)蝴蝶定理，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)那么長方形的面積為平方厘米，四邊形的面積為(平方厘米)【例 20】 如圖，是等腰直角三角形，是正方形，線段與相交于點已知正方形的面積4

17、8，則的面積是多少？【解析】 由于是正方形，所以與平行，那么四邊形是梯形在梯形中，和的面積是相等的而，所以的面積是面積的，那么的面積也是面積的由于是等腰直角三角形，如果過作的垂線，為垂足，那么是的中點，而且，可見和的面積都等于正方形面積的一半，所以的面積與正方形的面積相等，為48那么的面積為【例 21】 下圖中，四邊形都是邊長為1的正方形，、分別是，的中點，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡分數(shù)，那么，的值等于 【解析】 左、右兩個圖中的陰影部分都是不規(guī)則圖形，不方便直接求面積，觀察發(fā)現(xiàn)兩個圖中的空白部分面積都比較好求，所以可以先求出空白部分的面積，再求陰影部分的面積如下圖所示

18、，在左圖中連接設與的交點為左圖中為長方形，可知的面積為長方形面積的，所以三角形的面積為又左圖中四個空白三角形的面積是相等的，所以左圖中陰影部分的面積為如上圖所示，在右圖中連接、設、的交點為可知且那么三角形的面積為三角形面積的，所以三角形 的面積為，梯形的面積為在梯形中，由于，根據(jù)梯形蝴蝶定理，其四部分的面積比為：，所以三角形的面積為，那么四邊形的面積為而右圖中四個空白四邊形的面積是相等的，所以右圖中陰影部分的面積為那么左圖中陰影部分面積與右圖中陰影部分面積之比為，即，那么【例 22】 如圖， 中，互相平行，則 【解析】 設份，根據(jù)面積比等于相似比的平方，所以，因此份，份，進而有份，份，所以【鞏

19、固】如圖，平行，且，求的長【解析】 由金字塔模型得，所以【鞏固】如圖， 中，互相平行，則 【解析】 設份，因此份，進而有份，同理有份，份，份所以有【例 23】 如圖，已知正方形的邊長為，是邊的中點，是邊上的點，且，與相交于點，求【解析】 方法一：連接，延長，兩條線交于點，構造出兩個沙漏，所以有，因此，根據(jù)題意有，再根據(jù)另一個沙漏有，所以方法二：連接，分別求，根據(jù)蝴蝶定理，所以【例 24】 如圖所示，已知平行四邊形的面積是1，、是、的中點， 交于，求的面積 【解析】 解法一：由題意可得，、是、的中點，得，而，所以，并得、是的三等分點，所以，所以，所以，；又因為，所以 解法二：延長交于，如右圖，

20、可得，從而可以確定的點的位置， ，(鳥頭定理)， 可得【例 25】 如圖，為正方形，且，請問四邊形的面積為多少？ 【解析】 (法)由，有，所以，又，所以，所以，所以占的，所以(法)如圖，連結，則(，而，所以，()而()，因為，所以，則()，陰影部分面積等于()【例 26】 如右圖，三角形中，求【解析】 根據(jù)燕尾定理得 （都有的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以【點評】本題關鍵是把的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉化本質，我們就能達到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！【鞏固】如右圖，三角形中，求.【解析】 根據(jù)燕尾定理得 （都有的面積要統(tǒng)一，所以找最小公

21、倍數(shù)）所以【鞏固】如右圖，三角形中，求.【解析】 根據(jù)燕尾定理得 （都有的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以【點評】本題關鍵是把的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉化本質，我們就能達到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！【例 27】 如右圖，三角形中，且三角形的面積是，則三角形的面積為_，三角形的面積為_，三角形的面積為_ 【分析】 連接、由于，所以，故；根據(jù)燕尾定理，所以，則，；那么；同樣分析可得，則，所以，同樣分析可得，所以，【鞏固】 如右圖，三角形中，且三角形的面積是，求三角形的面積【解析】 連接BG，份根據(jù)燕尾定理，得(份)，(份)，則(份)，因此

22、,同理連接AI、CH得,所以三角形GHI的面積是1，所以三角形ABC的面積是19【鞏固】如圖，中，那么的面積是陰影三角形面積的 倍 【分析】 如圖，連接根據(jù)燕尾定理，所以，那么，同理可知和的面積也都等于面積的，所以陰影三角形的面積等于面積的，所以的面積是陰影三角形面積的7倍【鞏固】如圖在中，,求的值【解析】 連接BG,設1份，根據(jù)燕尾定理,得(份)，(份),則(份)，因此,同理連接AI、CH得,所以【點評】如果任意一個三角形各邊被分成的比是相同的，那么在同樣的位置上的圖形，雖然形狀千變萬化，但面積是相等的，這在這講里面很多題目都是用“同理得到”的，即再重復一次解題思路，因此我們有對稱法作輔助線

23、.【例 28】 如圖，三角形的面積是，三角形被分成部分，請寫出這部分的面積各是多少? 【解析】 設BG與AD交于點P，BG與AE交于點Q，BF與AD交于點M，BF與AE交于點N連接CP，CQ，CM，CN根據(jù)燕尾定理，設(份)，則(份)，所以同理可得，,而，所以，同理，,所以，,【鞏固】如圖，的面積為1，點、是邊的三等分點，點、是邊的三等分點，那么四邊形的面積是多少？ 【解析】 連接、根據(jù)燕尾定理，所以，那么，類似分析可得又，可得那么，根據(jù)對稱性，可知四邊形的面積也為，那么四邊形周圍的圖形的面積之和為，所以四邊形的面積為【例 29】 右圖，中，是的中點，、是邊上的四等分點，與交于，與交于，已知的

24、面積比四邊形的面積大平方厘米，則的面積是多少平方厘米？【解析】 連接、根據(jù)燕尾定理，所以；再根據(jù)燕尾定理，所以，所以，那么，所以根據(jù)題意，有，可得(平方厘米)【例 30】 如圖，面積為l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA 的三等分點,求陰影部分面積. 【解析】 三角形在開會，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI與CD的交點為M，AF與CD的交點為N，BI與AF的交點為P,BI與CE的交點為Q,連接AM、BN、CP求：在中，根據(jù)燕尾定理，設(份)，則(份),(份),(份),所以，所以,所以,同理可得另外兩個頂點的四邊形面積也分別是面積的求：在中，根據(jù)

25、燕尾定理,所以,同理在中，根據(jù)燕尾定理,所以，所以同理另外兩個五邊形面積是面積的，所以【例 31】 如圖，面積為l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA 的三等分點,求中心六邊形面積.【解析】 設深黑色六個三角形的頂點分別為N、R、P、S、M、Q，連接CR在中根據(jù)燕尾定理，,所以,同理,所以，同理根據(jù)容斥原理，和上題結果課后練習：練習1. 已知的面積為平方厘米，求的面積【解析】 ，設份，則份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米練習2. 如圖，四邊形的面積是平方米，求四邊形的面積 【解析】 連接由共角定理得，即同理，即所以連接，同理可以得到所以平方米練習3. 正方形的面積是120平方厘米，是的中點，是的中點，四邊形的面積是 平方厘米 【解析】 欲求四邊形的面積須求出和的面積由題意可得到：，所以可得：將、延長交于點，可得：，而，得，而，所以 本題也可以用蝴蝶定理來做，連接，確定的位置(也就是)，同樣也能解出練習4. 如圖，已知，則 【解析】 將三角形繞點和點分別順時針和逆時針旋轉，構成三角形和，再連接，顯然，所以是正方形三角形和三角形關于正方形的中心中心對稱，在中心對稱圖形中有如下等量關系：；所以練習5. 如圖，正方形的面積是平方厘米，是的中點，是的中點，四邊形 的面積是_平方厘米 【解