小學奧數(shù)行程問題分類討論

1、小學奧數(shù)行程問題分類討論行程問題是小升初考試和小學四大杯賽四大題型之一(計算、數(shù)論、幾何、行程)。具體題型變化多樣，形成10多種題型，都有各自相對獨特的解題方法?，F(xiàn)根據(jù)四大杯賽的真題研究和主流教材將小題型總結(jié)如下，希望各位看過之后給予更加明確的分類。一、一般相遇追及問題。包括一人或者二人時(同時、異時)、地(同地、異地)、向(同向、相向)的時間和距離等條件混合出現(xiàn)的行程問題。在杯賽中大量出現(xiàn)，約占80%左右。建議熟練應用標準解法，即s=v×t結(jié)合標準畫圖(基本功)解答。由于只用到相遇追及的基本公式即可解決，并且要就題論題，所以無法展開，但這是考試中最常碰到的，希望高手做更為細致的分類

2、。二、復雜相遇追及問題。(1)多人相遇追及問題。比一般相遇追及問題多了一個運動對象，即一般我們能碰到的是三人相遇追及問題。解題思路完全一樣，只是相對復雜點，關(guān)鍵是標準畫圖的能力能否清楚表明三者的運動狀態(tài)。(2)多次相遇追及問題。即兩個人在一段路程中同時同地或者同時異地反復相遇和追及，俗稱反復折騰型問題。分為標準型(如已知兩地距離和兩者速度，求n次相遇或者追及點距特定地點的距離或者在規(guī)定時間內(nèi)的相遇或追及次數(shù))和純周期問題(少見，如已知兩者速度，求一個周期后，即兩者都回到初始點時相遇、追及的次數(shù))。標準型解法固定，不能從路程入手，將會很繁，最好一開始就用求單位相遇、追及時間的方法，再求距離和次數(shù)

3、就容易得多。如果用折線示意圖只能大概有個感性認識，無法具體得出答案，除非是非考試時間仔細畫標準尺寸圖。一般用到的時間公式是(只列舉甲、乙從兩端同時出發(fā)的情況，從同一端出發(fā)的情況少見，所以不贅述)：單程相遇時間：t單程相遇=s/(v甲+v乙)單程追及時間：t單程追及=s/(v甲-v乙)第n次相遇時間：Tn= t單程相遇×(2n-1)第m次追及時間：Tm= t單程追及×(2m-1)限定時間內(nèi)的相遇次數(shù)：N相遇次數(shù)= (Tn+ t單程相遇)/2 t單程相遇限定時間內(nèi)的追及次數(shù)：M追及次數(shù)= (Tm+ t單程追及)/2 t單程追及注：是取整符號之后再選取甲或者乙來研究有關(guān)路程的關(guān)系

4、，其中涉及到周期問題需要注意，不要把運動方向搞錯了。簡單例題：甲、乙兩車同時從A地出發(fā)，在相距300千米的A、B兩地之間不斷往返行駛，已知甲車的速度是每小時30千米，乙車的速度是每小時20千米，問(1)第二次迎面相遇后又經(jīng)過多長時間甲、乙追及相遇?(2)相遇時距離中點多少千米?(3)50小時內(nèi)，甲乙兩車共迎面相遇多少次?三、火車問題。特點無非是涉及到車長，相對容易。小題型分為：(1)火車vs點(靜止的，如電線桿和運動的，如人)s火車=(v火車 ±v人)×t經(jīng)過(2)火車vs線段(靜止的，如橋和運動的，如火車)s火車+s橋=v火車×t經(jīng)過和s火車1+s火車2=(v火

5、車1±v火車2)×t經(jīng)過合并(1)和(2)來理解即s和=v相對×t經(jīng)過把電線桿、人的水平長度想象為0即可?；疖噯栴}足見基本公式的應用廣度，只要略記公式，火車問題一般不是問題。(3)坐在火車里。本身所在火車的車長就形同虛設(shè)了，注意的是相對速度的計算。電線桿、橋、隧道的速度為0(弱智結(jié)論)。四、流水行船問題。理解了相對速度，流水行船問題也就不難了。理解記住1個公式(順水船速=靜水船速+水流速度)就可以順勢理解和推導出其他公式(逆水船速=靜水船速-水流速度，靜水船速=(順水船速+逆水船速)÷2，水流速度=(順水船速-逆水船速)÷2)，對于流水問題也就

6、夠了。技巧性結(jié)論如下：(1)相遇追及。水流速度對于相遇追及的時間沒有影響，即對無論是同向還是相向的兩船的速度差不構(gòu)成“威脅”，大膽使用為善。(2)流水落物。漂流物速度=水流速度，t1= t2(t1：從落物到發(fā)現(xiàn)的時間段，t2：從發(fā)現(xiàn)到拾到的時間段)與船速、水速、順行逆行無關(guān)。此結(jié)論所帶來的時間等式常常非常容易的解決流水落物問題，其本身也非常容易記憶。例題：一條河上有甲、乙兩個碼頭，甲碼頭在乙碼頭的上游50千米處。一艘客船和一艘貨船分別從甲、乙兩碼頭同時出發(fā)向上游行駛，兩船的靜水速度相同?？痛霭l(fā)時有一物品從船上落入水中，10分鐘后此物品距客船5千米?？痛谛旭?0千米后掉頭追趕此物品，追上時恰

7、好和貨船相遇。求水流速度。五、間隔發(fā)車問題?？臻g理解稍顯困難，證明過程對快速解題沒有幫助。一旦掌握了3個基本公式，一般問題都可以迎刃而解。(1)在班車里。即柳卡問題。不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點個數(shù)即可完成。如果不畫圖，單憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說不容易。例題：A、B是公共汽車的兩個車站，從A站到B站是上坡路。每天上午8點到11點從A、B兩站每隔30分同時相向發(fā)出一輛公共汽車。已知從A站到B站單程需要105分鐘，從B站到A站單程需要80分鐘。問8：30、9：00從A站發(fā)車的司機分別能看到幾輛從B站開來的汽車?(2)在班車外。聯(lián)

8、立3個基本公式好使。汽車間距=(汽車速度+行人速度)×相遇事件時間間隔-1汽車間距=(汽車速度-行人速度)×追及事件時間間隔-2汽車間距=汽車速度×汽車發(fā)車時間間隔-31、2合并理解，即汽車間距=相對速度×時間間隔分為2個小題型：1、一般間隔發(fā)車問題。用3個公式迅速作答;2、求到達目的地后相遇和追及的公共汽車的輛數(shù)。標準方法是：畫圖-盡可能多的列3個好使公式-結(jié)合s全程=v×t-結(jié)合植樹問題數(shù)數(shù)。例題：小峰在騎自行車去小寶家聚會的路上注意到，每隔9分鐘就有一輛公交車從后方超越小峰。小峰騎車到半路車壞了，于是只好坐出租車去小寶家。這時小峰又發(fā)現(xiàn)出

9、租車也是每隔9分鐘超越一輛公交車，已知出租車的速度是小峰騎車速度的5倍，如果這3種車輛在行駛過程中都保持勻速，那么公交車站每隔多少分鐘發(fā)一輛車?六、平均速度問題。相對容易的題型。大公式要牢牢記?。嚎偮烦?平均速度×總時間。用s=v×t寫出相應的比要比直接寫比例式好理解并且規(guī)范，形成行程問題的統(tǒng)一解決方案。七、環(huán)形問題。是一類有挑戰(zhàn)性和難度的題型，分為“同一路徑”、“不同路徑”、“真實相遇”、“能否看到”等小題型。其中涉及到周期問題、幾何位置問題(審題不仔細容易漏掉多種位置可能)、不等式問題(針對“能否看到”問題，即問甲能否在線段的拐角處看到乙)。仍舊屬于就題論題范疇，不展開

10、了。八、鐘表問題。是環(huán)形問題的特定引申?；娟P(guān)系式：v分針= 12v時針(1)總結(jié)記憶：時針每分鐘走1/12格，0.5°分針每分鐘走1格，6°。時針和分針“半”天共重合11次，成直線共11次，成直角共22次(都在什么位置需要自己拿表畫圖總結(jié))。(2)基本解題思路：路程差思路。即格或角(分針)=格或角(時針)+格或角(差)格：x=x/12+(開始時落后時針的格+終止時超過時針的格)角：6x=x/2+(開始時落后時針的角度+終止時超過時針的角度)可以解決大部分時針問題的題型，包括重合、成直角、成直線、成任意角度、在哪兩個格中間，和哪一個時刻形成多少角度。例題：在9點23分時，時

11、針和分針的夾角是多少度?從這一時刻開始，經(jīng)過多少分鐘，時針和分針第一次垂直?(3)壞鐘問題。所用到的解決方法已經(jīng)不是行程問題了，變成比例問題了，有相應的比例公式。這里不做討論了，我也討論不好，都是考公務員的題型，有難度。九、自動扶梯問題。仍然用基本關(guān)系式s扶梯級數(shù)=(v人速度±v扶梯速度)×t上或下解決最漂亮。這里的路程單位全部是“級”，唯一要注意的是t上或下要表示成實際走的級數(shù)/人的速度?？梢訮K掉絕大部分自動扶梯問題。例題：商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個孩子在行駛的扶梯上上下走動，女孩由下向上走，男孩由上向下走，結(jié)果女孩走了40級到達樓上，男孩走了80級到達樓下

12、。如果男孩單位時間內(nèi)走的扶梯級數(shù)是女孩的2倍，則當該扶梯靜止時，可看到的扶梯梯級有多少級?十、十字路口問題。即在不同方向上的行程問題。沒有特殊的解題技巧，只要老老實實把圖畫對，再通過幾何分析就可以解決。十一、校車問題。就是這樣一類題：隊伍多，校車少，校車來回接送，隊伍不斷步行和坐車，最終同時到達目的地(即到達目的地的最短時間，不要求證明)分4種小題型：根據(jù)校車速度(來回不同)、班級速度(不同班不同速)、班數(shù)是否變化分類。(1)車速不變-班速不變-班數(shù)2個(最常見)(2)車速不變-班速不變-班數(shù)多個(3)車速不變-班速變-班數(shù)2個(4)車速變-班速不變-班數(shù)2個標準解法：畫圖-列3個式子：1、總

13、時間=一個隊伍坐車的時間+這個隊伍步行的時間;2、班車走的總路程;3、一個隊伍步行的時間=班車同時出發(fā)后回來接它的時間。最后會得到幾個路程段的比值，再根據(jù)所求代數(shù)即可。此類問題可以得到幾個公式，但實話說公式無法記憶，因為相對復雜，只能臨考時抱佛腳還管點兒用。孩子有興趣推導一下倒可以，不要死記硬背。簡單例題：甲班與乙班學生同時從學校出發(fā)去15千米外的公園游玩，甲、乙兩班的步行速度都是每小時4千米。學校有一輛汽車，它的速度是每小時48千米，這輛汽車恰好能坐一個班的學生。為了使兩班學生在最短時間內(nèi)到達公園，那么甲班學生與乙班學生需要步行的距離是多少千米?十二、保證往返類。簡單例題：A、B兩人要到沙漠

14、中探險，他們每天向沙漠深處走20千米，已知每人最多可以攜帶一個人24天的食物和水。如果不準將部分食物存放于途中，其中一個人最遠可深入沙漠多少千米(要求兩人返回出發(fā)點)?這類問題其實屬于智能應用題類。建議推導后記憶結(jié)論，以便考試快速作答。每人可以帶夠t天的食物，最遠可以走的時間T(1)返回類。(保證一個人走的最遠，所有人都要活著回來)1、兩人：如果中途不放食物：T=2/3t;如果中途放食物：T=3/4t。2、多人：沒搞明白，建議高手補充。(2)穿沙漠類(保證一個人穿過沙漠不回來了，其他人都要活著回來)共有n人(包括穿沙漠者)即多人助1人穿沙漠類。1、中途不放食物：T2n/(n+1)×t

15、。T是穿沙漠需要的天數(shù)。2、中途放食物：T=(1+1/3+1/5+1/7+1/(2n-1)×t還有幾類不甚常見的雜題，沒有典型性和代表性，在此不贅述。希望大家完善以上的題型分類，因為奧數(shù)好玩。概念行程問題是反映物體勻速運動的應用題。行程問題涉及的變化較多，有的涉及一個物體的運動，有的涉及兩個物體的運動，有的涉及三個物體的運動。涉及兩個物體運動的，又有"相向運動"(相遇問題)、"同向運動"(追及問題)和"相背運動"(相離問題)三種情況。但歸納起來，不管是"一個物體的運動"還是"多個物體的運動&qu

16、ot;，不管是"相向運動"、"同向運動"，還是"相背運動"，他們的特點是一樣的，具體地說，就是它們反映出來的數(shù)量關(guān)系是相同的，都可以歸納為:速度×時間=路程。折疊編輯本段詳述要正確的解答有關(guān)"行程問題"的應用題，必須弄清物體運動的具體情況。如運動的方向(相向，相背，同向)，出發(fā)的時間(同時，不同時)，出發(fā)的地點(同地，不同地)，運動的路線(封閉，不封閉)，運動的結(jié)果(相遇、相距多少、交錯而過、追及)。兩個物體運動時，運動的方向與運動的速度有著很大關(guān)系，當兩個物體"相向運動"或"

17、;相背運動"時，此時的運動速度都是"兩個物體運動速度的和"(簡稱速度和)，當兩個物體"同向運動"時，此時兩個物體的追擊的速度就變?yōu)榱?quot;兩個物體運動速度的差"(簡稱速度差)。當物體運動有外作用力時，速度也會發(fā)生變化。如人在賽跑時順風跑和逆風跑;船在河中順水而下和逆水而上。此時人在順風跑是運動的速度就應該等于人本身運動的速度加上風的速度，人在逆風跑時運動的速度就應該等于人本身的速度減去風的速度;我們再比較一下人順風的速度和逆風的速度會發(fā)現(xiàn)，順風速度與逆風速度之間相差著兩個風的速度;同樣比較"順水而下"與&qu

18、ot;逆流而上"，兩個速度之間也相差著兩個"水流的速度"。折疊編輯本段公式折疊流水問題船在江河里航行時，除了本身的前進速度外，還受到流水的推送或頂逆，在這種情況下計算船只的航行速度、時間和所行的路程，叫做流水問題。流水問題，是行程問題中的一種，因此行程問題中三個量(速度、時間、路程)的關(guān)系在這里將要反復用到.此外，流水行船問題還有以下兩個基本公式:順水速度=船速+水速;(1)逆水速度=船速-水速。(2)這里，船速是指船本身的速度，也就是在靜水中單位時間里所走過的路程。水速，是指水在單位時間里流過的路程。順水速度和逆水速度分別指順流航行時和逆流航行時船在單位時間里所

19、行的路程(請注意單位名稱統(tǒng)一)。根據(jù)加減法互為逆運算的關(guān)系，由公式(1)可以得到:水速=順水速度-船速，由公式(2)可以得到:水速=船速-逆水速度;船速=逆水速度+水速。這就是說，只要知道了船在靜水中的速度，船的實際速度和水速這三個量中的任意兩個，就可以求出第三個量。另外，已知船的逆水速度和順水速度，根據(jù)公式(1)和公式(2)，相加和相減就可以得到:船速=(順水速度+逆水速度)÷2，水速=(順水速度-逆水速度)÷2。時間*速度=時間折疊火車過橋(橋長+車長)÷速度=時間(橋長+車長)÷時間=速度速度*時間=橋長+車長折疊編輯本段例題折疊流水行船問題例:&

20、#160;一只輪船從甲地開往乙地順水而行，每小時行 28 千米 ，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比順水多行 2 小時，已知水速每小時4 千米。求甲乙兩地相距多少千米?分析:此題必須先知道順水的速度和順水所需要的時間，或者逆水速度和逆水的時間。已知順水速度和水流速度，因此不難算出逆水的速度，但順水所用的時間，逆水所用的時間不知道，只知道順水比逆水少用2小時，抓住這一點，就可以就能算出順水從甲地到乙地的所用的時間，這樣就能算出甲乙兩地的路程。列式為28-4×2=20 (千米)20×2=40(千米)40÷(4×2)=5(小時)28×5=140

21、 (千米)。綜合式:(28-4×2)×2÷(4×2)×28折疊環(huán)形上的相遇問題例:甲、乙二人同時從起點出發(fā)，在環(huán)形跑道上跑步，甲的速度是每秒跑4米，乙的速度是每秒跑4.8米，甲跑_圈后，乙可超過甲一圈。分析:甲乙速度不變，由于時間一定，速度與路程成正比例。甲、乙速度比為5:6，甲、乙所行路程比也為5:6。甲乙路程相差一份，這一份代表一圈。由此可得，甲走5份，就走了5圈。折疊電梯問題例:商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個孩子在行駛的扶梯上上下走動，女孩由下往上走，男孩由上往下走，結(jié)果女孩走了40級到達樓上，男孩走了80級到達樓下。如果男孩單位

22、時間內(nèi)走的扶梯級數(shù)是女孩的2倍，則當該扶梯靜止時，可看到的扶梯梯級有多少級?分析:因為男孩的速度是女孩的2倍，所以男孩走80級到達樓下與女孩走40級到達樓上所用時間相同，在這段時間中，自動扶梯向上運行了(80-40)÷2=20(級)所以扶梯可見部分有 80-20=60(級)。折疊發(fā)車問題例:小敏走在街上,注意到:每隔6分鐘有一輛30路公交車從身后超過她,每隔2分鐘,馬路對面30路公交車迎面駛來,假設(shè)小敏步行速度一定,30路車總站發(fā)生間隔時間一定,問30路公交車每隔多久發(fā)一班車?分析:解:設(shè)30路公交車速度為X，小敏行速為Y，30路公交車每隔Z分鐘發(fā)一班車，則追距=X*Z，由已知得下方

23、程組:X*Z/(X-Y)=6X*Z/(X+Y)=2解上方程組，得Y=X/2X*Z=6*(X-Y)=6*(X-X/2)=3XZ=3答:30路車每隔3分鐘發(fā)一班車。折疊接送問題例:某工廠每天早晨都派小汽車接專家上班.有一天，專家為了早些到廠，比平時提前一小時出發(fā)，步行去工廠，走了一段時間后遇到來接他的汽車，他上車后汽車立即調(diào)頭繼續(xù)前進，進入工廠大門時，他發(fā)現(xiàn)只比平時早到10分鐘，問專家在路上步行了多長時間才遇到汽車?(設(shè)人和汽車都作勻速運動，他上車及調(diào)頭時間不記)分析:設(shè)專家從家中出發(fā)后走到M處(如圖1)與小汽車相遇。由于正常接送必須從BAB，而題中接送是從BMB恰好提前10分鐘;則小汽車從 MAM剛好需10分鐘;