概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計習(xí)題 PPT課件

1、2021/3/91習(xí)題習(xí)題 5.3-22021/3/92第五章（二）4724254473773413694124194003823664253993984233844183923724183743854394284294284304134053814034793814434414334193793863872021/3/93(40)0.5(20)(21)1(10)(11)3(30)(31)341,479,11()(405412)408.5,2211()(382384)383,2211()(428428)428,225.424xmxxQxxQxx(1)解 這批數(shù)據(jù)n=40,最小值為x最大值為中位

2、數(shù)，第一四分位數(shù)和第三四分位數(shù)分別為于是可畫出箱線圖如圖 根據(jù)調(diào)查，某集團公司的中層管理人員的年薪數(shù)據(jù)如下（單位：千元）：2021/3/9440.639.643.836.240.837.339.242.938.639.640.034.741.745.436.937.844.945.437.035.136.741.338.137.937.137.739.236.944.540.438.438.939.942.243.544.837.734.736.339.742.141.540.638.942.240.335.839.22021/3/95(24)(25)1(12)(13)3(36)(37)11(

3、)(39.2 39.6)39.4.2211()(37.3 37.6)37.5.2211()(41.541.7)41.6.22yxxxQxxQxx(1)(48)0.5試畫出箱線圖=0.05解 這批數(shù)據(jù)n=48,最小值為x =34.7,最大值為x=45.4,中位數(shù),第一四分位數(shù)和第三四分位數(shù)分別為m2021/3/9611(1) ,1,2,.kliknpqqkk-112n(n)(1)kn1n1(n)于是可畫出箱線圖如圖5.525.設(shè)總體X服從幾何分布，即P(X=k)=pq,k=1,2,.,其中0p1,q=1-p,x ,x ,.x 為該總體的樣本。求x ,x 的概率分布。解 容易看出P(xk)=1-q

4、 ,k=1,2,.,所以P(xk)=P(xk,.xk)=(P(xk)同樣可以k-1 n(n)得到P(xk-1)=(1-q) ,k=1,2,.2021/3/97(n)(n)k nk-1 n(n)(n)(n)kk-1kk-1k nk-1 n(n)(n)此式對k=1也成立，因為P(x0)=0。所以x 的分布列為P(X =k)=P(xk)-P(xk-1)=(1-q )-(1-q),k=1,2,.可以驗證上述分布列滿足非負性和正則性兩個基本要求。事實上，由于q 1-q ,從而P(x =k)=(1-q )-(1-q)0.k=1,2,.而其和P(x =k)11lim(1)(1) lim(1)1.mk nkn

5、mkm nmqqq+k=12021/3/98X (1)k-1nn(k-1)1(1)nk(1)(1)(1)(1)(1)n(k-1)n下面求X 的分布列。由于P(k)=1-P(Xk-1)=q,k=1,2,.所以P(Xk)=(P(Xk) =q,k=1,2,.類似有P(Xk+1)=q ,k=1,2,.所以X 的分布列為P(X =k)=P(Xk)-P(Xk+1)=q(1-q ),k=1,2,.2021/3/99(1)(1)11()()11.11n knkkknnnP Xkqqqqq同樣可以驗證上述分布列滿足非負性和正則性兩個基本要求。這里非負性是顯然的，而其和2021/3/91022126.()exp.

6、2(0.5,(9 ) ).,xn 0.50.50.520.5在下列密度函數(shù)下分別求容量為n的樣本中位數(shù)m 的漸近分布。(1)P(x)=6x(1-x),0 x1;1(2)P(x)=2解（1）先求出總體的中位數(shù),該分布是貝塔分布Be(2,2),可以看出p(x)關(guān)于0.5對稱,所以x=0.5,于是樣本中位數(shù)m 的漸近分布為N（2）正態(tài)分布N( ,)的中位數(shù)為所以m 的2x,xxn20.5漸近分布為N( ,）2n討論：樣本均值 的分布為N()，可見，在n較大時，m 的漸近方差要大于 的方差，所以使用中 用得更多，更受歡迎。2021/3/911(1)( )27.1exp,0,(1),.)!exnnxxx

7、yExpyyyn(1)(n)2(i)(i-1)ii1設(shè)總體X服從雙參數(shù)指數(shù)分布,其分布函數(shù)為F(x)=其中- + ,0 + ,xx 為樣本的次序統(tǒng)計量。試證明，2(n-i-1) (x-x)服從自由度為2的分布(i=2,3,.n).x -證；令=則,.,的聯(lián)合密度為p(y1p,niiy作變換2021/3/9121(1)2(2)(1)( )(1)( )(1),(1)(),(1)(),iiinnntnytnyytniyytyy 2021/3/913( )(1)( )(1)/2.J.(1),2(1)()(2(1)()(2)(/2)1iiiixiiExpP nixxxPniyyxPTxP Txe 1nn

8、1nii=11ni1其Jacobi行列式為=,t ,.,t 的聯(lián)合密度為n!f(t ,.t )=exp-t由該聯(lián)合密度我們可以知道T ,.,T 是獨立同分布的隨機變量,且T從而2021/3/914,01,28.0,5x2(i)(i-1)22(1)(2)(5)(2)(4)(4)這是指數(shù)分布Exp(1/2)的分布函數(shù)，我們知道Exp(1/2)就是Ga(1,1/2),也就是(2)2(n-i-1)(x-x)這就證明了(2)。3x設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x)=其他。xxx 為容量為 的取自此總體的x次序統(tǒng)計量，試證與x 相互獨立.x2021/3/915333322,01,f()(133,01.xxyxy

9、xyxyvy(2)(4)3(2)(4)(2)(4)(4)證：先求(X,X)的聯(lián)合密度。由于總體X的分布函數(shù)為F(x)=x所以(X,X)的聯(lián)合密度為5!(x,y)=1!1!1!x下求(,x)的聯(lián)合密度，為此，令xxu=x=uv,其逆變換為yy=v,v u其Jacobi行列式的絕對值為 J =v.由oxy1得010u1,1v=14.就可使同一正態(tài)總體的兩樣本均值距離超過標準差 的可能性不大于0.01.這意味著，只要樣本容量較大，兩樣本均值的距離不超過 的可能性是很大的，可達0.99.31.設(shè)x ,x ,x 是來自分布函數(shù)為F(x)，密度函數(shù)為p(x)的一個樣本.x,x,x 是其次序統(tǒng)計量，試求在x

10、,x 給定時,x,x 的聯(lián)合條件密度1( )1()(),nrrii rF xp x (1)(2)(n)n(1)(2)(n)(i)(r+1)(n)i=1(r+1)(n)函數(shù)。解 次序統(tǒng)計量x,x,x 的聯(lián)合密度函數(shù)為p(x,x,x)=n!P(x).而后n-r個次序統(tǒng)計量x,x 的n!聯(lián)合密度函數(shù)為p(x,x)=r!故所求的聯(lián)合條件密度函數(shù)為2021/3/921( )(1)1!() () .rririrp xF x(1)(2)(n)(1)(r)(r+1)(n)r+1)(n)(1)(r)(r+1)(r+2)(n)(r+1)(r+1)(1)(p(x ,x , ,x)p(x , ,x |x, ,x)=p

11、(x, ,x)最后結(jié)果表明：所求條件密度函數(shù)只與x , ,x ,x有關(guān)，而與x, ,x 的取值無關(guān)。從而，其分布也僅依賴于X的給定值x.這樣一來，條件密度函數(shù)p(x , ,x).F r)(r+1)(n)(1)(r)(r+1)2(k+1)(k+1)(k+1)2(k+1)|x, ,x)完全可以寫成p(x , ,x |x).32.來自正態(tài)總體N( ,)的容量為n=2k+1的樣本中位數(shù)是x，證明x的密度函數(shù)關(guān)于 對稱，且E(x證 記正態(tài)分布N(,)的分布函數(shù)與密度函數(shù)分別為F(x)與f(x),則容量為n=2k+1的樣本中位數(shù)x的密度函數(shù)為(2k+1)!g(x)=k!k!( )( )1( ) .kkxf xF x2021/3/922 () 1()() ( ) 1( )( ),kkkkFyFyfyyyy (k+1)-Yx令y=,此變換的Jacobi行列式的絕對值 J = ,于是y的密度(2k+1)!函數(shù)為g (y)=k!k!（2k+1)! = k!k!其中 (y)與 (y)分別是標準正態(tài)分布N(0,1)的分布函數(shù)與密度函數(shù)，依據(jù)它們的性質(zhì) (-y)=1- (y), (-y) () 1(