2014新版北師大九上特殊的平行四邊形培優(yōu)練習(xí)

1、第一章 特殊平行四邊形專題一 菱形的性質(zhì)、判定及應(yīng)用 1. 如圖，在四邊形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則EG2+FH2= .2. 順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是菱形，則四邊形ABCD一定是（）A.菱形B.對(duì)角線互相垂直的四邊形C.矩形D.對(duì)角線相等的四邊形3. 閱讀材料：我們經(jīng)常通過(guò)認(rèn)識(shí)一個(gè)事物的局部或其特殊類型，來(lái)逐步認(rèn)識(shí)這個(gè)事物. 比如我們通過(guò)學(xué)習(xí)兩類特殊的四邊形，即平行四邊形和梯形(繼續(xù)學(xué)習(xí)它們的特殊類型如矩形、等腰梯形等)來(lái)逐步認(rèn)識(shí)四邊形.我們對(duì)課本里特殊四邊形的學(xué)習(xí)，一般先學(xué)習(xí)圖形的定義，再探索發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)和判定方法，然

2、后通過(guò)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題鞏固所學(xué)知識(shí).請(qǐng)解決以下問(wèn)題:（1）如圖，我們把滿足AB=AD、CB=CD且ABBC的四邊形ABCD叫做“箏形”，寫(xiě)出箏形的兩個(gè)性質(zhì)（定義除外）；（2）寫(xiě)出箏形的兩個(gè)判定方法（定義除外）并選出一個(gè)進(jìn)行證明.備用圖3（證明判定方法用）備用圖2（寫(xiě)判定方法用）備用圖1（寫(xiě)性質(zhì)用）專題二 矩形的性質(zhì)、判定及應(yīng)用4. 如圖，將矩形ABCD對(duì)折，得折痕PQ，再沿MN翻折，使點(diǎn)C恰好落在折痕PQ上的點(diǎn)C處，點(diǎn)D落在D處，其中M是BC的中點(diǎn).連接AC、BC，則圖中共有等腰三角形的個(gè)數(shù)是（ ）A.1 B.2 C.3 D.45. 如圖，P是矩形ABCD下方一點(diǎn)，將PCD繞P點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60&

3、#176;后恰好使D點(diǎn)與A點(diǎn)重合，得到PEA，連接EB，ABE是什么特殊三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.6 如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，ABDC，過(guò)點(diǎn)D作DEBC，垂足為E，并延長(zhǎng)DE至F，使EFDE聯(lián)結(jié)BF、CF、AC（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形；（2）如果DE2BE·CE，求證四邊形ABFC是矩形7. 如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DEAC，CEBD（1）求證：四邊形OCED是菱形；（2）若ACB30°，菱形OCED的面積為，求AC的長(zhǎng)ABCDEO 8. 如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)， PO的延長(zhǎng)線交B于Q.（1）求證： O

4、P=OQ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P從點(diǎn)A出發(fā)，以1厘米/秒的速度向D運(yùn)動(dòng)（不與D重合）.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)用t表示PD的長(zhǎng)；并求t為何值時(shí)，四邊形PBQD是菱形專題三 正方形的性質(zhì)、判定及應(yīng)用9. 正方形ABCD，以CD為邊作等邊CDE，則AED的度數(shù)是 . 10. 如圖，在一張ABC紙片中，C=90°，B=60°，DE是中位線，現(xiàn)把紙片沿中位線DE剪開(kāi)，計(jì)劃拼出以下四個(gè)圖形：鄰邊不等的矩形；等腰梯形；有一個(gè)角為銳角的菱形；正方形那么以上圖形一定能被拼成的個(gè)數(shù)為（ ） A1B2C3D411. 長(zhǎng)為1，寬為a的矩形紙片（），如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于

5、矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止當(dāng)n=3時(shí)，a的值為_(kāi)第一次操作第二次操作 12. 從邊長(zhǎng)為a的大正方形紙板中間挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形后，將其截成四個(gè)相同的等腰梯形如圖，可以拼成一個(gè)平行四邊形如圖 現(xiàn)有一平行四邊形紙片ABCD如圖，已知A45°，AB6，AD4若將該紙片按圖方式截成四個(gè)相同的等腰梯形，然后按圖方式拼圖，則得到的大正方形的面積為 圖 圖 abA圖 BCD 【知識(shí)要點(diǎn)】1.幾種特殊四邊形的性質(zhì)和判定：（1）特殊平行四

6、邊形具有一般平行四邊形的一切性質(zhì)，需要注重各自圖形的特殊性質(zhì).（2）判別菱形：說(shuō)明是平行四邊形+鄰邊相等; 說(shuō)明是平行四邊形+對(duì)角線垂直；四條邊相等。判定矩形：說(shuō)明是平行四邊形+90°角；說(shuō)明是平行四邊形+對(duì)角線相等；有三個(gè)90°角。 判定正方形: 說(shuō)明是菱形+90°角；說(shuō)明是矩形+鄰邊相等; 兩條對(duì)角線互相平分垂直且相等的四邊形.2.幾種特殊四邊形的面積問(wèn)題：（1）設(shè)矩形ABCD的兩鄰邊長(zhǎng)分別為a,b，則S矩形=ab（2）設(shè)菱形ABCD的一邊長(zhǎng)為a，高為h，則S菱形=ah；若菱形的兩對(duì)角線的長(zhǎng)分別為a,b，則S菱形=（3）設(shè)正方形ABCD的一邊長(zhǎng)為a，則S正方形

7、=；若正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)為a，則S正方形=（4）設(shè)梯形ABCD的上底為a，下底為b，高為h，則S梯形=【溫馨提示】（1）矩形的對(duì)角線是矩形比較常用的性質(zhì)，當(dāng)對(duì)角線的夾角中，有一個(gè)角為60度時(shí)，則構(gòu)成一個(gè)等邊三角形；在判定矩形時(shí)，要注意利用定義或?qū)蔷€來(lái)判定時(shí)，必須先證明此四邊形為平行四邊形，然后再證明一個(gè)角為直角或?qū)蔷€相等。很多同學(xué)容易忽視這個(gè)問(wèn)題.（2）在求菱形的邊長(zhǎng)、角度、對(duì)角線長(zhǎng)等問(wèn)題時(shí)，通常是在某一個(gè)直角三角形中運(yùn)用勾股定理及有關(guān)直角三角形的知識(shí)來(lái)解決正方形的性質(zhì)很多，要根據(jù)題目的已知條件，選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ菇忸}思路簡(jiǎn)捷【方法技巧】面積法是解決有關(guān)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的推

8、理與計(jì)算問(wèn)題常用的方法，因此，熟悉它們的面積的計(jì)算方法是十分必要的答案1. 36 【解析】如圖，連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，EG與FH相交于點(diǎn)O.E、H分別是AB、DA的中點(diǎn)，EH是ABD的中位線.EH=BD=3.同理可得EF=GH=AC=3，F(xiàn)G=BD=3.EH=EF=GH=FG=3.四邊形EFGH為菱形.EGHF，且垂足為O.EG=2OE，F(xiàn)H=2OH.在RtOEH中，根據(jù)勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9.等式兩邊同時(shí)乘以4得：4OE2+4OH2=9×4=36.（2OE）2+（2OH）2=36，即EG2+FH2=36.2. D 【解析】如下圖所示：順次連接任意四邊形ABCD

9、各邊的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理，易得HGACEF，且，則HG與EF平行且相等，所以四邊形EFGH一定是平行四邊形，又，當(dāng)且僅當(dāng)ACBD時(shí)，HEHG，此時(shí)EFGH為菱形，所以，只要四邊形ABCD對(duì)角線AC，BD相等即可.3. 解：以下任意兩條性質(zhì)即可：（1)只有一組對(duì)角相等(或者B=D AC)；（2）只有一條對(duì)角線平分對(duì)角；（3）兩條對(duì)角線互相垂直，其中只有一條被另一條平分：（4）兩組對(duì)邊都不平行.以下任意兩判定方法即可：（1）只有一條對(duì)角線平分對(duì)角的四邊形是箏形；（2）兩條對(duì)角線互相垂直且只有一條被平分的四邊形是箏形；（3）ACBD ， B=D，AC；（4） AB=AD, B=D，AC；（

10、5） AC BD , AB = AD.AC.判定方法1的證明：己知：在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分BAD和BCD，對(duì)角線BD不平分B和D. 求證：四邊形ABCD為箏形.證明：BAC=DAC,BCA=DCA,AC=AC, ABCADC.AB=AD、CB=CD.易知AC BD . 又 ABDCBD . BACBCA , ABBC. 由、知四邊形ABCD為箏形.其他方法請(qǐng)大家自己證明.EDCBA4. C 【解析】將矩形ABCD對(duì)折，得折痕PQ，P、Q分別是AB、CD的中點(diǎn)，PQADBC，PQ垂直平分AB，所以ACBC，ABC是等腰三角形；M是BC中點(diǎn)，折疊使C落在C，MCMCMB，CMFCMFM

11、FC，故MBC、MFC都是等腰三角形.5. 解：ABE是等邊三角形，理由如下：因?yàn)镻EA是將PCD繞P點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到的，所以PEAPCD，且AE與DC所夾的銳角為60°，所以AEDC.又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以DCAB且DCAB，所以AEAB且EAB60°，所以ABE是等邊三角形.6. 解：（1）證明：連接BDDEBC，EF=DE，BD=BF，CD=CF在梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC，四邊形ABCD是等腰梯形BD=ACAC=BF，AB=CF四邊形ABFC是平行四邊形（2）DE2 =BE·CE，EF=DE，EF2 =BE·

12、;CE又DEBC，CEF=FEB=90°CEFFEBCFE=FBEFBE+BFE=90°，CFE +BFE=90°即BFC=90°由（1）知四邊形ABFC是平行四邊形，證四邊形ABFC是矩形7. 解：（1）證明：DEOC ，CEOD，四邊形OCED是平行四邊形 四邊形ABCD是矩形， AOOCBOOD，四邊形OCED是菱形 ABCDEO圖8F（2）ACB30°，DCO 90° 30°60°.又OD OC，OCD是等邊三角形 .過(guò)D作DFOC于F，則CFOC，設(shè)CFx，則OC2x，AC4x，在RtDFC中DF，由已知

13、菱形OCED的面積為得OC× DF，即， 解得x2， AC4´28 .8. 解：（1）證明：四邊形ABCD是矩形，ADBC. PDO=QBO.又OB=OD，POD=QOB， PODQOB，OP=OQ. （2）PD=8-t 四邊形ABCD是矩形，A=90°.AD=8cm，AB=6cm，BD=10cm，OD=5cm. 當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)， PQBD，POD=A.又ODP=ADB，ODPADB，即，解得,即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，四邊形PBQD是菱形. 9. 15°或75°【解析】如下左圖，當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD外時(shí)，在ADE中，AD=DE，ADE=9

14、0°+60°=150°，所以AED=；如下右圖，當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)時(shí)，在ADE中，AD=DE，ADE=90°60°=30°，所以AED=.10. C 【解析】DE是ABC的中位線，DEBC，且DEBCC=90°，B=60°，AB2BC，AEBEBC又C90°，ACAB，DCBE如圖(1)，把ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°，使AE與BE重合，由題意可得CDF90°，則四邊形BCDF是矩形，且CDBC，所以構(gòu)成鄰邊不等的矩形，則成立如圖(2)，把ADE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°，使AD與CD重合，由題意可得BCBEEMMC，則四邊形BCME是菱形，且B60°為銳角，則成立如圖(3)，移動(dòng)ADE，使A與D重合，D與C重合，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，由題意可知DEBN，且DEBN，所以四邊形BNDE是梯形，又DNBE，所以梯形BNDE是等腰梯形，則成立因拼成矩形只有圖(1)一種情況，而圖(1)中的矩形不是正方形，則不成立11. 或 【解析】第一種情況，如左圖，AB=BF=a，則CF=CH=1a，DH=a（1a）=2a1，四邊形EGNM和四邊形M