豎直方向上的彈簧振子

1、豎直方向上的彈簧振子周峰1. 豎直方向上的簡諧運動模型由簡諧運動的定義可知，要證明物體做簡諧運動可從兩方面入手：回復力大小跟物體偏離平衡位置的位移成正比；回復力方向總指向平衡位置。下面就來證明豎直方向上的彈簧振子做簡諧運動。如圖1，把一個質(zhì)量為m的有孔小球系在勁度系數(shù)為k的輕彈簧的上端，彈簧的下端固定，小球穿在光滑的豎直桿上，可以在豎直桿上滑動。小球靜止在O點時，回復力為零。O點是振動的平衡位置，此時彈簧處于壓縮狀態(tài)，設壓縮量為，則有。把小球拉到平衡位置上方M點，偏離平衡位置O點的位移為A，然后釋放，則在振動過程的任意位置（以圖中的P點和Q點為例，設偏離平衡位置的位移分別為和）進行受力分析，根

2、據(jù)牛頓第二定律分別有在P點：若彈簧被拉伸，回復力的大小若彈簧仍處于壓縮狀態(tài)，回復力的大小在Q點，彈簧處于壓縮狀態(tài)，回復力大小在此過程中，回復力F的方向始終指向平衡位置。因此，豎直方向的彈簧振子做的是簡諧運動。圖2與圖1中的情況基本相同，同學們可自行分析。2. 與水平方向彈簧振子的比較分析豎直方向的彈簧振子，要透徹理解平衡位置、振幅、回復力等重要概念，還要準確運用簡諧運動中一些物理量的對稱性特點，合理地進行類比、推理。另外，分析彈簧模型的受力、能量及臨界條件也是必不可少的。例1. 一輕彈簧直立在地面上，其勁度系數(shù)為，彈簧的上端與盒子A連接在一起，盒子內(nèi)裝物體B，B的上下表面恰好與盒子接觸，A和B

3、的質(zhì)量，g=10m/s2，不計空氣阻力，先將A向上抬高使彈簧伸長5cm后從靜止釋放，A和B一起上下運動，已知彈簧的彈性勢能取決于彈簧的形變大小。試求：（1）A的振幅；（2）B的最大速率；（3）在最高點和最低點A與B之間的作用力。分析：（1）設A和B做簡諧運動的平衡位置為彈簧的壓縮量為時的位置，則得故A的振幅為10cm（2）當B運動到平衡位置時速率最大。在A和B運動的初始位置和平衡位置，彈簧的伸長量與壓縮量相等，故彈性勢能不變。由動能定理得所以（3）設A、B一起運動的最大加速度大小為a（最高點和最低點），由于牛頓第二定律得得取B為研究對象，在最高點時有故A對B的作用力，方向向下；在最低點時有故A

4、對B的作用力，方向向上。例2. 如圖3所示，質(zhì)量分別為和的A、B兩物塊，用勁度系數(shù)為k的輕彈簧相連后豎直放在水平面上，今用大小為F=45N的力把物塊A向下壓，使之處于靜止，突然撤去壓力，則（）A. 物塊B有可能離開水平面B. 物塊B不可能離開水平面C. 只要k足夠小，物塊B就可能離開水平面D. 只要k足夠大，物塊B就可能離開水平面分析：撤去壓力后，物體A在豎直方向上做簡諧運動，初始位置的回復力最大，為F=45N。由回復力的對稱性特點，當A運動到最高點時，回復力也為45N，方向向下。設此時彈簧彈力為，有。因為，故物體B不可能離開水平面。選B。例3. 如圖4所示，彈簧上端固定在O點，下端掛一木匣A

5、，木匣A頂部懸掛一木塊B，A和B的質(zhì)量都是1kg，B距木匣底面，當它們都靜止時，彈簧長度為L。某時刻，懸掛木塊B的細線突然斷開，在木匣上升到速度剛好為零時，B和A的底面相碰，碰撞后結(jié)為一體，當運動到彈簧長度又為L時，速度變?yōu)関=1m/s。木塊B可看成質(zhì)點，求：（1）碰撞中的動能損失；（2）彈簧的勁度系數(shù)k；（3）開始靜止時彈簧的彈性勢能。分析：（1）懸掛木塊B的細線斷開時和彈簧長度又為L時彈簧的彈性勢能相等，故系統(tǒng)機械能損失為碰撞中動能的損失等于系統(tǒng)機械能的損失，即（2）細線斷開后，木匣A在豎直方向上做簡諧運動，到達最高點時彈簧恰好恢復原長，設開始彈簧的伸長量為，碰撞前B的速度為，碰撞后共同速度為，則有（3）細線斷開后，A做簡諧運動到最高點時和B碰撞，碰撞時彈簧為原長，由機械能守恒得。練習：如圖5所示，質(zhì)量為m的物體放在下端固定的彈簧上端，在豎直方向上做簡諧運動。當其振幅為A時，物體對彈