三角函數(shù)的誘導公式教案

1、三角函數(shù)的誘導公式一.教學目標1知識與技能 （1）能夠借助三角函數(shù)的定義及單位圓中的三角函數(shù)線推導三角函數(shù)的誘導公式。 （2）能夠運用誘導公式，把任意角的三角函數(shù)的化簡、求值問題轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的化簡、求值問題。 2過程與方法 （1）經(jīng)歷由幾何直觀探討數(shù)量關系式的過程，培養(yǎng)學生數(shù)學發(fā)現(xiàn)能力和概括能力。 （2）通過對誘導公式的探求和運用，培養(yǎng)化歸能力，提高學生分析問題和解決問題的能力。 3情感、態(tài)度、價值觀 （1）通過對誘導公式的探求，培養(yǎng)學生的探索能力、鉆研精神和科學態(tài)度。 （2）在誘導公式的探求過程中，運用合作學習的方式進行，培養(yǎng)學生團結協(xié)作的精神。二.教學重點與難點教學重點:探求a的誘導

2、公式。a與a的誘導公式在小結a的誘導公式發(fā)現(xiàn)過程的基礎上，教師引導學生推出。教學難點:a，a與角a終邊位置的幾何關系，發(fā)現(xiàn)由終邊位置關系導致（與單位圓交點）的坐標關系，運用任意角三角函數(shù)的定義導出誘導公式的“研究路線圖”。 三.教學方法與教學手段 問題教學法、合作學習法，結合多媒體課件 四.教學過程角的概念已經(jīng)由銳角擴充到了任意角，前面已經(jīng)學習過任意角的三角函數(shù)，那么任意角的三角函數(shù)值怎么求呢？先看一個具體的問題。（一） 問題提出 如何將任意角三角函數(shù)求值問題轉(zhuǎn)化為0°360°角三角函數(shù)求值問題。 【問題1】求390°角的正弦、余弦值. 一般地，由三角函數(shù)的定義可

3、以知道，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，三角函數(shù)看重的就是終邊位置關系。即有：sin(a+k·360°) = sin， cos(a+k·360°) = cos， (kZ) tan(a+k·360°) = tan。這組公式用弧度制可以表示成 sin(a+2k) = sin， cos(a+2k) = cos， (kZ) (公式一) tan(a+2k) = tan。 （二）嘗試推導 如何利用對稱推導出角- a 與角a的三角函數(shù)之間的關系。由上一組公式，我們知道，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值一定相等。反過來呢？如果兩個角的三角函數(shù)值相等，它

4、們的終邊一定相同嗎?比如說： 【問題2】你能找出和30°角正弦值相等，但終邊不同的角嗎？ 角- a 與角a 的終邊關于y軸對稱,有sin( -a) = sin a，cos( -a) = - cos a，（公式二） tan( -a) = - tan a。 思考請大家回顧一下，剛才我們是如何獲得這組公式(公式二)的?因為與角a 終邊關于y軸對稱是角-a，利用這種對稱關系，得到它們的終邊與單位圓的交點的縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)。于是，我們就得到了角-a 與角a的三角函數(shù)值之間的關系:正弦值相等，余弦值互為相反數(shù)，進而，就得到我們研究三角函數(shù)誘導公式的路線圖：角間關系對稱關系坐標關系三角

5、函數(shù)值間關系。（三）自主探究如何利用對稱推導出+ a,- a與a的三角函數(shù)值之間的關系。剛才我們利用單位圓，得到了終邊關于y軸對稱的角-a 與角a的三角函數(shù)值之間的關系，下面我們還可以研究什么呢？ 【問題3】兩個角的終邊關于x軸對稱,你有什么結論?兩個角的終邊關于原點對稱呢？角-a 與角a 的終邊關于x軸對稱，有：sin(-a) = -sin a， cos(-a) = cos a，（公式三） tan(-a) = -tan a。 角 + a 與角a 終邊關于原點O對稱，有：sin( + a) = -sin a， cos( + a) = -cos a，（公式四）tan( + a) = tan a。

6、上面的公式一四都稱為三角函數(shù)的誘導公式。（四）簡單應用 例 求下列各三角函數(shù)值： (1) sinp ； (2) cos(-60°)； （3）tan(-855°) （五）回顧反思 【問題4】回顧一下，我們是怎樣獲得誘導公式的?研究的過程中，你有哪些體會? 知識上，學會了四組誘導公式；思想方法層面：誘導公式體現(xiàn)了由未知轉(zhuǎn)化為已知的化歸思想；誘導公式所揭示的是終邊具有某種對稱關系的兩個角三角函數(shù)之間的關系。主要體現(xiàn)了化歸和數(shù)形結合的數(shù)學思想。具體可以表示如下：（六）分層作業(yè) 1、閱讀課本，體會三角函數(shù)誘導公式推導過程中的思想方法； 2、必做題 課本23頁 13 3、選做題 （1）

7、你能由公式二、三、四中的任意兩組公式推導到另外一組公式嗎？ （2）角和角的終邊還有哪些特殊的位置關系，你能探究出它們的三角函數(shù)值之間的關系嗎？三角函數(shù)的誘導公式(第1課時)教學設計說明一、 教學背景分析1.教材的地位和作用本節(jié)教學內(nèi)容是4組三角函數(shù)誘導公式的推導過程及其簡單應用。承上，有任意角三角函數(shù)正弦、余弦和正切的比值定義、三角函數(shù)線、同角三角函數(shù)關系等；啟下，學生將學習利用誘導公式進行任意角三角函數(shù)的求值化簡，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（包括三角函數(shù)的周期性）等內(nèi)容。同時，學生在初中就接觸過對稱等知識，對幾何圖形的對稱等知識相當熟悉。這些構成了學生的知識基礎。誘導公式的作用主要在于把任意角

8、的三角函數(shù)化歸成銳角的三角函數(shù)，體現(xiàn)了把一般化特殊、復雜化簡單、未知化已知的數(shù)學思想。2.目標定位誘導公式可以幫助我們把任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)，但是隨著計算器的普及，上述意義不是很大。我們認為，誘導公式的教學價值主要體現(xiàn)在以下幾個方面：第一，感受探索發(fā)現(xiàn)，通過幾何對稱這個研究工具，去探索發(fā)現(xiàn)任意角三角函數(shù)間的數(shù)量關系式，即三角函數(shù)的基本性質(zhì)乃是圓的幾何性質(zhì)（主要是其對稱性質(zhì)）的代數(shù)解析表示。第二，學會初步應用，能夠選用恰當?shù)恼T導公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)問題并求解。第三，領悟思想方法，在誘導公式的學習過程中領悟化歸、數(shù)形結合等思想方法。第四，積累數(shù)學經(jīng)驗，為學生認識任意

9、角三角函數(shù)既是一個起源于圓周運動的周期函數(shù)又是研究現(xiàn)實世界中周期變化現(xiàn)象的“最有表現(xiàn)力的函數(shù)”做好準備。為此，我們制定了本節(jié)的教學目標（詳見教案），以及本節(jié)課的教學重、難點。二、教學設計分析在進行本課教學設計時，有以下兩條典型教學路線可供選擇：（1）兩個角的終邊有哪些特殊的對稱關系？（2）怎樣把非第一象限的角轉(zhuǎn)化為第一象限的角？我們最終選擇了第一條路線，主要基于以下兩點考慮。1. 尊重教材的編寫方式。從對教材的分析來看，蘇教版教材將三角函數(shù)作為一種數(shù)學模型來定位，力圖在單位圓中借助對稱性來考察對應點的坐標關系，從而統(tǒng)整各組誘導公式。教材的編寫處理體現(xiàn)了教材專家的集體智慧和版本教材的一貫特色，教

10、師應該努力體會和把握，不宜輕率拋開教材另搞一套。2. 切合學生的認知水平。利用學生熟悉的圓及其對稱性研究三角函數(shù)的相關性質(zhì)，符合學生的認知心理。同時，單位圓及其對稱性的表象對學生推導誘導公式、理解公式之間的內(nèi)在聯(lián)系、形象記憶三角函數(shù)誘導公式都將起到事半功倍的效果。三、教學過程分析基于以上分析，我們確定了如下的本節(jié)課教學路線圖：角間關系對稱關系坐標關系三角函數(shù)值間關系 圍繞這個教學路線（當然也是學生的研究路線），我將教學分成6個環(huán)節(jié)并設計成問題串的形式，通過這些問題解構教材，讓學生學習數(shù)學知識，培養(yǎng)數(shù)學能力，體會數(shù)學思想，積累數(shù)學經(jīng)驗。1. 問題提出【教學安排】如何將任意角三角函數(shù)求值問題轉(zhuǎn)化為

11、0°360°角三角函數(shù)求值問題?！締栴}1】求390°的正弦、余弦值?！驹O計意圖】前面的學習中，已經(jīng)將角的概念從銳角擴充到了任意角，學習了任意角三角函數(shù)的定義，接下來自然地會提出任意角的三角函數(shù)值怎么去求。于是，先安排求特殊值再過渡到一般情形比較符合學生的身心特點和認知規(guī)律，意在培養(yǎng)學生從特殊到一般歸納問題和抽象問題的能力，引導學生在求三角函數(shù)值時抓坐標、抓角終邊之間的關系。同時，首先考慮a+2k（kZ）與a的三角函數(shù)值之間的關系，有助于學生理解三角函數(shù)被看成刻畫現(xiàn)實世界中周期性變化的數(shù)學模型的確切含義。2嘗試推導【教學安排】如何利用對稱推導出角- a 與角a的三角

12、函數(shù)之間的關系?！締栴}2】你能找出和30°角正弦值相等，但終邊不同的角嗎？ 【設計意圖】對問題2的提問方式的設計主要是考慮到我們在研究問題的時候常常會研究它的逆命題、否命題、等價命題等。事實上問題2可以看成是“若兩個角的終邊相同，則它們的正弦值相同”的逆命題，即“若兩個角的正弦值相同，則兩個角的終邊相同”。但這里是以問題的形式提出的，實際上教會了學生一種自己研究問題的方法。在得出角- a 與角a的三角函數(shù)之間的關系后，提出：思考請大家回顧一下，剛才我們是如何獲得這組公式(公式二)的？【設計意圖】階段小結，讓學生將對稱作為研究三角函數(shù)問題的一種方法使用。將上述研究過程進行梳理，得出“角

13、間關系對稱關系坐標關系三角函數(shù)值間關系”的研究路線圖。3自主探究【教學安排】如何利用對稱推導出+ a，- a與a的三角函數(shù)值之間的關系?！締栴}3】兩個角的終邊關于x軸對稱，你有什么結論？兩個角的終邊關于原點對稱呢？【設計意圖】從兩個角的終邊關于y軸對稱的情況進行自然過渡，給學生留下了自主探究的空間，讓他們再次經(jīng)歷公式的研究過程，從而得出公式三和四，并將問題2研究方法一般化。 4簡單應用【教學安排】例題的練習、講解?！纠?】求下列各三角函數(shù)值： (1) sinp；(2) cos(-60°)；（3）tan(-855°)?！驹O計意圖】初步熟悉誘導公式的使用，讓學生感悟在解決問題的

14、過程中，如何合理的使用這幾組公式。此外，引導學生注意同一個三角函數(shù)的求值問題可以采用不同的誘導公式，啟發(fā)學生這些公式的內(nèi)在關系和聯(lián)系，體會數(shù)學方法的多樣性。5回顧反思【教學安排】開放式小結?！締栴}4】回顧一下，我們是怎樣獲得誘導公式的？研究的過程中，你有哪些體會？ 【設計意圖】開放式小結，使得不同的學生有不同的學習體驗和收獲。這些問題的提出，側重于誘導公式推導方法的回顧和反思，側重于個體情感體驗的分享和表達，從而區(qū)別于側重于公式規(guī)律的總結和記憶。6分層作業(yè)【教學安排】作業(yè)布置?！咀鳂I(yè)】1）閱讀課本，體會三角函數(shù)誘導公式推導過程中的思想方法。2）必做題：課本第23頁第13題。3）選做題：（1）你

15、能由公式二、三、四中的任意兩組公式推導到另外一組公式嗎？（2）角和角的終邊還有哪些特殊的位置關系？你能探究出它們的三角函數(shù)值之間的關系嗎？【設計意圖】分層作業(yè)有利于不同層次的學生鞏固知識，提升思維能力。閱讀課本旨在引導學生教科書是學習的根本，閱讀課本有利于培養(yǎng)學生良好的回歸課本的學習習慣。而出現(xiàn)選做題目，目的是提供多元化和挑戰(zhàn)性選擇，促使學有余力的學生課后思考和自主探究幾組公式之間的內(nèi)在聯(lián)系。 四、教后思考分析1關于設計定位的反思就三角函數(shù)的誘導公式來說，教學設計定位時一般會出現(xiàn)以下幾種傾向：其一，定位于知識的學習，學生知道存在一些公式，可以將任意角的三角函數(shù)進行一些轉(zhuǎn)化。其二，定位于公式的學

16、習，學生努力分析和總結各組公式的形式規(guī)律，背誦“函數(shù)名不變，符號看象限”等口訣，追求靈活運用等解題能力的提高。公式理解強過公式記憶。關于公式規(guī)律的總結和口訣的記憶，當然很重要，但這不是第一節(jié)課的內(nèi)容。我們可以在所有誘導公式都學習過后，再來總結不遲。此外，采用本課的利用對稱性的方法來學習誘導公式，可以通過圖形的對稱性來形象記憶，可以減輕學生記憶負擔，規(guī)避死記硬背現(xiàn)象的發(fā)生。其三，聚焦誘導公式的推導過程，強調(diào)對公式產(chǎn)生的過程的深入理解。其四，在關注知識學習的同時，滲透數(shù)學思想方法的理解和領悟。本課主要涉及數(shù)形結合、從一般到特殊或從特殊到一般、模型思想、化歸思想、追求簡易等數(shù)學思想方法。我們認為新授

17、知識是很重要的，而數(shù)學思想方法是蘊含其中的，應該潛移默化地滲透，不能貼標簽，更不能因為數(shù)學思想方法的重要而喧賓奪主地過渡渲染。2關于教學難點的突破1）本節(jié)課的難點在于從問題2出發(fā)，發(fā)現(xiàn)關于y軸對稱的三角函數(shù)誘導公式，從而總結出研究線路圖。從對教材的分析來看，蘇教版教材將三角函數(shù)作為一種數(shù)學模型來定位，力圖在單位圓中借助對稱性來考察對應點的坐標關系，這樣處理的好處是簡化了任意角的象限分類和化歸，起到了利用直觀的對稱這個工具和研究手法去研究誘導公式的變化規(guī)律的目的，揭示了代數(shù)和幾何的有機結合和統(tǒng)一。2）任意性循環(huán)上升。在這節(jié)課中，角a的任意性是一個教學難點，為此我們設置了三個點：（1）問題2中非3

18、0°不可嗎？任意角行不行？ （2）幾何畫板拖動演示感受角的任意性。（3）習題中進一步深化學生認識。隨著學生學習的深入，對這個問題還會有進一步的認識。事實上，有許多同學在一開始是將角當成銳角去處理的，但我在教學中不過分強調(diào)角的任意性，因為對待數(shù)學知識的教學不能一步到位，不應畢其功于一役，而應循環(huán)上升，力求順其自然，水到渠成。3關于問題串的設置調(diào)控在本節(jié)課中，我們將教學設計成以一以貫之的問題串形式，通過這些問題串起相互關聯(lián)的數(shù)學問題，使學生學習知識，形成能力，發(fā)展認知。我們在設計過程中，盡量將問題的難易程度定位在學生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，問題的設計從思維的角度來說具有一定的開放性，使得學生可以從不同的角度來思考；問題的設計從解決的難度來說具有一定的層次性，使得不同的學生盡量愿意提出自己的見解。教師通過問題串的這個腳手架便于組織教學，并和學生形成互動，促進學生在學習知識的同時形成網(wǎng)狀知識聯(lián)結。實踐證明，問題串的使用讓教學組織有章可循，內(nèi)容推進自然而不造作，完整而不破碎。4關于教學評價分析我們覺得本次的教學設計和學生認知水平基本吻合,學生的參與程度較高。如果學生的基礎薄弱一些，我們會做些調(diào)整，把問題的指向性更明確