相似三角形的定義及其判定定理

1、相似三角形的定義及其判定定理本周重點(diǎn)和難點(diǎn)：相似三角形的判定定理一、知識(shí)點(diǎn)回顧1、相似三角形的定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形。2、定理：平行于三角形的一邊的直線和和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。3、相似三角形的傳遞性：如果ABC A1B1C1，A1B1C1 A2B2C2，那么ABC A2B2C2。4、相似三角形的判定方法：（1） 根據(jù)定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形相似。（2） 根據(jù)平行線：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。（3） 判定定理1：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。（4）

2、判定定理2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似。（5） 判定定理3：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。（6） 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。二、例題：例1、如圖，在ABC中，DEBC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的長(zhǎng)。解：DEBC（平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。）AD×EC=DB×AE又AD=EC，AE=4cm，DB=1cmAD=EC=2cm又DEBC（平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。）DE=例2、如圖，在RtABC中，ABC=90°，AE平分C

3、AB，BDAC于D，交AE于F，那么圖中相似三角形共有多少對(duì)？解：BDAC，ABC=90°ADB BDC ABC。又AF平分BACDAF=BAERtABE RtADF圖中共有4對(duì)相似三角形。例3、如圖，正方形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)C=BC，那么圖中共有多少對(duì)相似三角形？解：設(shè)FC=1，則BC=4正方形ABCDAB=BC=CD=DA=4，C=D=B=90°E是CD的中點(diǎn)CD=2在ADE中，D=90°AE2=AD2+DE2 即：AE=2同理：AF=5，EF=FC：EC：EF=DE：AD：AE=EF：AE：AFFCE EDA FEA（三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似

4、）圖中共有三對(duì)相似三角形。例4、如圖，E是四邊形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且，1=2，求證：ABC=AED。分析：看到題中的兩個(gè)條件，很自然就會(huì)想到證ABE ACD。然而證出這兩個(gè)相似三角形之后卻還是無(wú)法證出要證的結(jié)論，因此應(yīng)當(dāng)另想它法。注意到不僅意味著ABC 與 AED兩邊對(duì)應(yīng)成比例，同時(shí)也可看成ABC和AED的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。證明：1=21+EAC=2+EAC 即：BAC=EADABC AED （兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似）ABC=AED三、訓(xùn)練題：1、ABC中，D是AB上的一點(diǎn)，在AC上截一點(diǎn)E，使得以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多是（ ）A、0

5、B、1C、2D、無(wú)數(shù)個(gè)2、在直角三角形中，兩直角邊分別為3，4，則這個(gè)三角形的斜邊與斜邊上的高的比是（ ）A、B、C、D、3、如右圖：點(diǎn)P為ABC的AB邊上一點(diǎn)（AB>AC），下列條件中不一定能保證ACP ABC的是（ ）A、ACP=BB、APC=ACBC、D、4、已知：ABC ABC，且BC=3，BC=1.8，則ABC與ABC的相似系數(shù)為_(kāi)。5、DE是ABC的中位線，則ADE _，相似比為_(kāi)。6、一個(gè)三角形的各邊之比為2：5：6，和它相似的另一個(gè)三角形的最大邊為15cm，則它的最小邊為_(kāi)。5、如圖，BD、CE為ABC的高，求證：ADE ABC。6、若CD是RtABC斜邊AB上的高，且A

6、D=9，BD=16，求AC、BC、CD。7、如圖，已知1=2，3=4。求證：ABD ACE。四、解答：1、C2、A3、D4、5、ABC，6、5cm5、證明：BD、CE是ABC的高AEC=ADB=90°又A=AAEC ADB（兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似）ADE ABC（兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似）6、解：CD是RtABC斜邊AB上的高ACD ABC CBD（直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似），AC2=AB×AD，BC2=AB×BD，CD2=AD×BD又AD=9，BD=16，AB=AD+BD=25AC=15，BC=20，CD=127、分析：要證明相似的兩個(gè)三角形已經(jīng)有一對(duì)角相等，所以可設(shè)法證明夾角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。又從已知中發(fā)現(xiàn)1=2，3=4，于是ABC ADE。這樣就可以得