利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性(理)

1、3.2利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)要點(diǎn)梳理1 .函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：(1)(函數(shù)單調(diào)性的充分條件)設(shè)函數(shù) y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個(gè)區(qū)間 內(nèi)y/>0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi) y/<0,那么函數(shù)y=f(x) 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)。(2)(函數(shù)單調(diào)性的必要條件)設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果函數(shù)y=f(x)在 這個(gè)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，那么在這個(gè)區(qū)間內(nèi) y/_Q；如果函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)。 那么在這個(gè)區(qū)間內(nèi)y/_0o2 .求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法：確定函數(shù)f (x)的定義域；計(jì)算導(dǎo)數(shù)f &

2、#39;(x) 上 f '(x) 0 ,解此方程，求出它們?cè)诙x域區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根；把函數(shù)f (x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無(wú)定義的點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來(lái)，然后用這些點(diǎn)把f (x)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間；確定f '(x)在各個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)f '(x)的符號(hào)判定函數(shù) f (x)在每個(gè)相應(yīng)小區(qū)間的增減性(若f '(x) >0,則f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；若 f '(x)<0,則f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)。)疑難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)剖析：1 .利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性的定義要方便，但應(yīng)注意f'(

3、x)>0 (或f'(x)<0)僅是f(x)在某個(gè)區(qū)間上遞增(或遞減)的充分條件。在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在(a,b) 上遞增(或遞減)的充要條件應(yīng)是f '(x) 0(或f'(x) 0) ,x (a,b)恒成立，且f'(x)在(a,b)的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于 0。這就是說(shuō)，函數(shù)f(x)在區(qū)間上的增減性并不排斥在該區(qū)間內(nèi) 個(gè)別點(diǎn)x0處有f'(x0)=0，甚至可以在無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)處 f'(x0)=0，只要這樣的點(diǎn)不能充滿所給區(qū)間 的任何子區(qū)間，因此在已知函數(shù)f(x)是增函數(shù)(或減函數(shù))求參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)令f '(x)

4、0(或f '(x) 0)恒成立，解出參數(shù)的取值范圍，然后檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f'(x)恒等于0 ,若能恒等于0 ,則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去，若f'(x)不恒為0 ,則由f '(x)0(或f'(x) 0) , x (a,b)恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定。2 .用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間也可按如下步驟進(jìn)行：求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f' (x).令f' (x)>0,解不等式得x的范圍就是遞增區(qū)間；令 f (x)<0,解不等式得x的范圍，就是遞減區(qū) 間。3 .討論含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，必須注意分類討論。直擊考點(diǎn)考點(diǎn)一 求不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

5、考例1.求函數(shù)y=x2(1 x)3的單調(diào)區(qū)間.思路分析：這是一個(gè)不含參數(shù)的高次多項(xiàng)式函數(shù)，按照利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟進(jìn)行。解：v' =x2(ix)3 ' =2x(1x)3+x2 3(1x)2 ( 1)=x(1 x)2 2(1 x) 3x =x(1-x)2- (2-5x)令 x(1 x)2(2 5x)>0,解得 0vxv2.5y=x2(1 x)3的單調(diào)增區(qū)間是(0,-)5令 x(1 -x)2(2-5x)<0,解得 x<0 或 x> 2 且 xw 1.5x 1為拐點(diǎn),y=x2(1 x)3 的單調(diào)減區(qū)間是(一000), ( , +°0)5其函

6、數(shù)的大致圖像如下圖:yjf x = x2 1-x 3O21、x5錦囊妙計(jì)：本題中，有一個(gè)特殊之處，當(dāng) x=1時(shí),f'(1)=0，但在x=1鄰近的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值同號(hào)(均為負(fù))，因此該函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是-, ，而1-,。55舉一反三：1 .函數(shù)y xln x的單調(diào)遞減區(qū)間是(),111、A. (e ,) B. ( ,e )C. (0,e )D. (e,)答案：C 322 .(05年廣東局考題)函數(shù)f(x) x 3x1是減函數(shù)的區(qū)間為()(A) (2,)(B)(,2) (C) (,0) (D) (0,2)答案：D22解析：y' 3x 6x,令3x 6x 0,解得 0 x 2.

7、考點(diǎn)二 求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間考例2 . (06山東卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ax(a+1)ln( x+1),其中a -1 ,求f(x)的單調(diào)區(qū)間。. . 、 ax 1解：由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,)，且f (x)-(a1),x 1當(dāng)1 a 0時(shí)，f (x) 0,函數(shù)f(x)在(1,)上單調(diào)遞減，當(dāng)a 0時(shí)，由f'(x) 0,解得x -.a_'. -一 . . .f (x)、f (x)隨x的變化情況如下表x(1,-) a1 aJ, a)_ ，f (x)一0+f(x)極小值Z從上表可知.1，1 當(dāng)x ( 1,)時(shí)，f (x) 0,函數(shù)f(x)在(1,一 )上單調(diào)遞減 aa.

8、1，1當(dāng)x (-,)時(shí)，f (x) 0,函數(shù)f(x)在(-,)上單調(diào)遞增. aa綜上所述：當(dāng)1 a 0時(shí)，函數(shù)f (x)在(1,)上單調(diào)遞減.11當(dāng)a 0時(shí)，函數(shù)f(x)在(1,)上單調(diào)遞減，函數(shù) f(x)在(-,)上單調(diào)遞增 aa錦囊妙計(jì)：求含字母參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)要注意對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類討論.舉一反三：(06山東卷)設(shè)函數(shù)f(x)= 2x3 3(a 1)x2 1,其中a 1.(I )求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n )討論f(x)的極值.'解：由已知得f (x) 6x x (a 1),令 f'(x) 0,解得x 0 a 1.(i)當(dāng)a 1時(shí)，f'(x) 6x2, f(

9、x)在(，)上單調(diào)遞增當(dāng)a 1時(shí)，f (x) 6x x a 1 , f (x), f (x)隨x的變化情況如下表：x(,0)0(0,a 1)a 1(a 1,)_ ，f (x)+00f(x)Z極大值極小值Z從上表可知，函數(shù) f(x)在(，0)上單調(diào)遞增；在(0, a 1)上單調(diào)遞減；在(a 1,)上單調(diào)遞增.(n)由(I)知，當(dāng)a 1時(shí)，函數(shù)f (x)沒(méi)有極值.當(dāng)a 1時(shí)，函數(shù)f(x)在x 0處取得極大值，在 x a 1處取得極小值1 (a 1)3.考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)證明不等式考例3.當(dāng)x>0時(shí)，證明不等式：1+2xve2x.思路分析：假設(shè)構(gòu)造函數(shù)f(x)=e2x1 2x. f(0)=e01

10、0=0，如果能夠證明f(x)在(0 , +8)上是增函數(shù)，那么f(x)>0,則不等式就可以得到證明.證明：令 f(x)=e2x-1-2x.(x)=2e2x2=2(e2x1)x>0, .e2x>e0=1, . 2(e2x1) >0,即 f' (x)>0f(x)=e2x 1 2x 在(0 , +°°)上是增函數(shù).,.f(0)=e0-1-0=0.當(dāng) x>0 時(shí)，f(x)>f(0)=0,即 e2x- 1 -2x>0.1+2x<e2x錦囊妙計(jì)：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，再將 x賦值，利用單調(diào) 性證明

11、一個(gè)不等式。這也是證明不等式的一個(gè)種方法舉一反三：1.已知x>1 ,證明不等式 x>1n(1+x)思路分析：構(gòu)造函數(shù)f (x) x ln(1 x),利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)討論f (x)的單調(diào)性，從而證得.f(x) f(0)1 x解：令 f(x) x ln(1 x),則 f(x) 1, Qx 1, f (x) 0, f (x)在1 x 1 x11 ,)上為增函數(shù) ，當(dāng) x>1 時(shí),f(x)>f(1),即 x-1n(1+x) >1-1n2>0,. . x>1n(1+x).x2.證明不等式e 1 x (x 0)提示：構(gòu)造函數(shù)f(x)= ex1x,利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù) f(

12、x)= ex1 x是增函數(shù)?？键c(diǎn)四利用導(dǎo)數(shù)討論(求)函數(shù)中的參數(shù)的取值范圍考例4. (06全國(guó)II)設(shè)函數(shù)f(x) = (x+ 1)ln( x+ 1),若對(duì)所有的x>0,都有f(x)>ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解法一:令 g(x)= (x+1)ln( x+1) ax,對(duì)函數(shù) g(x)求導(dǎo)數(shù):g'x) = ln(x+1) + 1 a令 g'x) = 0,解得 x = eaT 1,當(dāng)awl時(shí)，對(duì)所有x>0, g'x)>0,所以g(x)在0 , + 8比是增函數(shù)，又 g(0)=0,所以對(duì) x>0,都有 g(x) >g(0),即當(dāng)a<

13、; 1時(shí)，對(duì)于所有x>0,都有 f(x) >ax.(ii)當(dāng) a>1 時(shí)，對(duì)于 Ovxvea-1 1, g'x)v0,所以 g(x)在(0, ea-11)是減函數(shù)，又 g(0)=0,所以對(duì) Ovxvea 1 1,都有 g(x)vg(0),即當(dāng)a> 1時(shí)，不是對(duì)所有的 x>0,都有f(x)>ax成立.綜上，a的取值范圍是(一差1.解法二：令 g(x)= (x+ 1)ln( x+ 1) - ax,于是不等式f(x)>ax成立即為g(x)>g(0)成立.對(duì)函數(shù) g(x)求導(dǎo)數(shù):g'x) = ln(x+1) + 1 a令 g'x)

14、 = 0,解得 x = eaT 1,當(dāng) x> eaT1 時(shí)，g'x)>0, g(x)為增函數(shù)，當(dāng)一1vxvea 11, g'x)v0, g(x)為減函數(shù)，所以要對(duì)所有x>0都有g(shù)(x) >g(0)充要條件為ea 1- K 0.由此得aw 1,即a的取值范圍是(oo 1.舉一反三：(06湖南卷)已知函數(shù) f(x) ax3 3x2 13.a(I )討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性；(n)若曲線y f(x)上兩點(diǎn)A、B處的切線都與y軸垂直，且線段 AB與x軸有公共 點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解 (I)由題設(shè)知 a 0, f (x) 3ax2 6x 3ax(x ). a

15、2V f (x) 0得xi 0, x2 一. a當(dāng)(i) a>0 時(shí)，2若x ( ,0),則f(x) 0,所以f(x)在區(qū)間(，2)上是增函數(shù)；a若x (0,2),則f (x) 0 ,所以f (x)在區(qū)間(0,3上是減函數(shù)； aa22右x (2,)，則f (x) 0,所以f(x)在區(qū)間(f,)上是增函數(shù)； aa(i i)當(dāng) a<0 時(shí)，22若x ( ,£),則f (x) 0,所以f(x)在區(qū)間(，上)上是減函數(shù)； aa422若x (Q_),則f (x) 0,所以f (x)在區(qū)間(0,_)上是減函數(shù)； aa若x (2,0),則f (x) 0,所以f(x)在區(qū)間(2,0)上是

16、增函數(shù)； aa若x (0,)，則f (x) 0,所以f(x)在區(qū)間(0,)上是減函數(shù).(n)由(I)的討論及題設(shè)知，曲線 y f(x)上的兩點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)為函數(shù)的極值，且函數(shù)y f(x)在x 0,x -處分別是取得極值f(0) 1 - , f(2)-4-1.aa a a a因?yàn)榫€段AB與x軸有公共點(diǎn)，所以f (0) f (-2) 0 . a即(3 i)(i 3) °.所以(a 始(a 4) 0.a2 a aa2故(a 1)(a 3)(a 4) 0,且a 0.解得 一1 wav 0或3W aw 4.即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是-1, 0) U 3 , 4. 誤區(qū)警示：例.已知函數(shù)f(x)

17、=x 3+bx2+cx+d滿足以下3個(gè)條件：在(，0上為增函數(shù) 在0, 2上為減函數(shù)f(2)=01)求c的值；2)求f(1)的范圍。常見錯(cuò)誤：由f(x)在0, 2上為減函數(shù)，f(2)=0，得f '(2) 0,導(dǎo)致b的范圍縮小，進(jìn) 而導(dǎo)致求f(1)的范圍出錯(cuò)。正解：由條件知，x=0為y=f(x)的極值點(diǎn)又 f (x) 3x2 2bx c f (0) c 0由于 c=0 則 f(x)=x 3+bx2+d從而 f(1)=1+b+d又知：f(2)=8+4b+d=0d=-8-4b則 f(1)=-3b-7由知，f (2) 012 4b 0 b 3.f(1) >(-3) X(-3)-7=2 故

18、 f(1) >2o緊扣考綱大演練一.單項(xiàng)選擇題1 .(原創(chuàng)題)函數(shù)y x xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是,2、，_2、_,2、， 2、A. ( ,e )B. (0,e )C. (e ,)D. (e ,)答案：B2 .下狗語(yǔ)數(shù)中，在上申售遞增的TT < ，個(gè) 一皿)力工'-5,*6 r 4-2 "t "y = x«尸工1"H2*>匚工-工”： XA. 2& 3C. 4答案:B3 .已知函數(shù)f x ,( x R)上上-點(diǎn)(x0 , f x0 )處的切線斜率為 k= x( 該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A 1B 2 C1 和(1 2)

19、D答案：B4 .設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y f(x)的圖像如圖， 則導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖像可能是( C )V儼什-JnL J 1Az 上 4A -5 .已知函數(shù)y xf (x)的圖象如右圖所示(其中f (x)yD. 5- 2 一)2 x。1 ,則24V ,"X是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，卜面y f(x)的圖象大致是(C |f一 STS 巧，“;A6.已知函數(shù)y f (x),其導(dǎo)函數(shù)A.在(-,0)上為減函數(shù)B.在x=0處取得最大值.四個(gè)圖象中)-3-1 Pf i XHfJFw MlBCDy f (x)的圖象如右圖，則y f (x)：C.在(4, + )上為減函數(shù)D.在x=

20、2處取得最小值6. C 思路分析:由導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)知，f (x) 0, f(x)遞增，f (x) 0, f(x)遞減。從圖像上知，當(dāng)x>4時(shí)，f (x) 0, f (x)在(4, + )上遞減。二.填空題27.(改編題)函數(shù) f (x) x21nx的單調(diào)減區(qū)間是答案：(0,1解析：首先考慮定義域(0,),由f2(x) 2x 一 x_22(x2 1)x8 .(原創(chuàng)題)函數(shù)fxkx3R內(nèi)是減函數(shù)，則的取值范圍是答案：k<09 .如圖，函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y x 8,則f(5) f (5)=10 .(改編題)設(shè)f (x),g(x)分別是定義在 R上的奇函數(shù)和偶函1、 一

21、數(shù)，當(dāng) x 0 時(shí)，f (x)g(x) f (x)g (x) 0,且g( -) 0 則不等式 f(x)g(x) 0 的 2解集是 答案：(，1) (0,1)22三.解答題 3211. (06安徽卷)設(shè)函數(shù)f x x bx cx(x R),已知g(x) f (x) f(x)是奇函數(shù)。(i)求b、c的值。(n)求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。解析：(i) ; f x x3bx2cx, fx 3x22bxc。從而32232g(x) f (x) f (x) x bx cx (3x 2bx c) = x (b 3)x (c 2b)x c是一個(gè)奇函數(shù)，所以g(0) 0得c 0,由奇函數(shù)定義得b 3；(n)由(I)知 g(x) x3 6x ,從而 g (x) 3x2 6 ,由此可知，(，歷和(J2,)是函數(shù)g(x)是單調(diào)遞增區(qū)間；(五,J2)是函數(shù)g (x)是單調(diào)遞減區(qū)間；g(x)在xJ2時(shí)，取得極大值，極大值為