江蘇省七市(南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、連云港、宿遷)2020屆高三第二次調(diào)研考試(4月)數(shù)學(xué)含答案

1、2020屆高三模擬考試試卷（滿分160分，考試時(shí)間120分鐘）參考公式:柱體的體積公式:V柱體=Sh,其中S為柱體的底面積，h為高.2020. 4錐體的體積公式:V錐體= 1Sh,其中S為錐體的底面積，h為高.3填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共70分.1.已知集合 A=1, 4, B = a5, 7.若A n B= 4,則實(shí)數(shù)a的值是2.若復(fù)數(shù)z滿足Z=2+i,其中i是虛數(shù)單位，則z的模是（第4題）3.在一塊土地上種植某種農(nóng)作物,10.8,則該農(nóng)作物的年平均產(chǎn)量是連續(xù)5年的產(chǎn)量（單位:噸）分別為9.4,9.7, 9.8, 10.3, 噸.4 .如圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出 S的值是5

2、 . “石頭、剪子、布”是大家熟悉的二人游戲，其規(guī)則是：在石頭、剪子和布中，二人 各隨機(jī)選出一種，若相同則平局；若不同，則石頭克剪子，剪子克布，布克石頭，甲、乙兩 人玩一次該游戲，則甲不輸?shù)母怕适? .在4ABC中，已知 B = 2A, AC = J3bC ,則A的值是7 .在等差數(shù)列an(n C N*)中，若ai=a2+a4, a8=3,則a20的值是(第8題)8 .如圖，在體積為 V的圓柱O1O2中，以線段 O1O2上的點(diǎn)。為頂點(diǎn)，上下底面為底面Vl V2的兩個(gè)圓錐的體積分別為 Vi, V2,則V1產(chǎn)的值是.X2 y2、9 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，雙曲線02 b2=1(a>0,

3、 b>0)的左頂點(diǎn)為 A,右焦點(diǎn)為F, 過F作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)P, Q.若4APQ為直角三角形，則該雙曲線的離心率是10 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)P在直線y=2x上，過點(diǎn)P作圓C： (x-4)2+y2=8 的一條切線，切點(diǎn)為 T.若PT= PO,則PC的長是.11 .若x>1,則2x + 97+的最小值是 -x+ 1 x- 112 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線y = ex在點(diǎn)P(xo, exo)處的切線與x軸相交于點(diǎn)A, 其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若點(diǎn) B(xo, 0), 4PAB的面積為3,則xo的值是.13 .如圖(1)是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME7)的

4、會(huì)徽?qǐng)D案，它是由一串直角三角形演化而成的(如圖(2),其中OA 1 = A1A2= A2A3=二A7A8=1,則A6A7，A7A8的值是.110g2xa|, 0vxW4,14 .設(shè)函數(shù)f(x)=若存在實(shí)數(shù) m,使得關(guān)于x的方程f(x) = m有4f (8 x) , 4< x< 8.個(gè)不相等的實(shí)根，且這4個(gè)根的平方和存在最小值，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 .二、解答題：本大題共 6小題，共90分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15 .(本小題滿分14分)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知向重a= (cos a , sin a ), b=(cos(什),sin(計(jì)),兀其中

5、0V a< y.(1)求(b a) a 的值；(2)若 c= (1, 1),且(b+c)/a,求”的值.16 .(本小題滿分14分)如圖，在直三棱柱ABCAiBiCi中，CA = CB,點(diǎn)P, Q分別為AB 1, CCi的中點(diǎn).求證:PQ /平面ABC ;(2) PQ，平面 ABB 1A1.17.(本小題滿分14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C: (x-3)2 + y2=1,橢圓 E:x2 y2 7+?=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)A在圓C上，右準(zhǔn)線與圓 C相切.(1)求橢圓E的方程;一，、一, 一，一，、一,12(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線l與圓C相交于另一點(diǎn) M,與橢圓E

6、相交于另一點(diǎn) N.當(dāng)AN=>AM 時(shí)，求直線l的方程.18. （本小題滿分16 分 ）某公園有一塊邊長為 3 百米的正三角形ABC 空地， 擬將它分割成面積相等的三個(gè)區(qū)域，用來種植三種花卉.方案是：先建造一條直道 DE將4ABC分成面積之比為2 ： 1的兩部分（點(diǎn) D, E分別在邊 AB, AC上）；再取DE的中點(diǎn) M,建造直道 AM（如圖）.設(shè)AD = x, DE = yi, AM =y2（單位：百米）.（1）分別求yi, y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2） 試確定點(diǎn) D 的位置，使兩條直道的長度之和最小，并求出最小值19. (本小題滿分16 分 )若函數(shù)f(x)在X0處有極值，且f(xo

7、) = X0,則稱X0為函數(shù)f(x)的“F點(diǎn)”. 設(shè)函數(shù) f(x)=kx221n x(k C R).當(dāng)k= 1時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值； 若函數(shù) f(x) 存在“ F 點(diǎn)”，求 k 的值；(2)已知函數(shù) g(x) = ax3+bx2+cx(a, b, cC R, aw。)存在兩個(gè)不相等的“F 點(diǎn)" x1，x2, 且|g(xi) g(x2)|R1,求a的取值范圍.20.(本小題滿分16分)在等比數(shù)列an中，已知ai=1, 34 = J.設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn,且bl= 1, an+bn 81*= -2Sn i(n>2, nC N ).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求證：數(shù)

8、列b2是等差數(shù)列； an(3)是否存在等差數(shù)列Cn,使得對(duì)任意nC N*,都有SnWCnW an?若存在，求出所有符 合題意的等差數(shù)列Cn；若不存在，請(qǐng)說明理由.2020屆高三模擬考試試卷數(shù)學(xué)附加題（滿分40分，考試時(shí)間30分鐘）21.選選做題】 在A, B, C三小題中只能選做兩題，每小題10分，共20分.若多做,則按作答的前兩題計(jì)分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.A.（選彳42:矩陣與變換）已知矩陣A= 0 1的逆矩陣A 1= 0 2 .若曲線Ci：x-+y2 = 1在矩陣A對(duì)應(yīng)的變 a 0b 04換作用下得到另一曲線 C2,求曲線C2的方程.B.（選彳44:坐標(biāo)系與參數(shù)

9、方程）兀L在極坐標(biāo)系中，已知曲線C的方程為P= r（r>0）,直線l的方程為pcos（葉N）=42.設(shè)直線l與曲線C相交于A, B兩點(diǎn)，且AB =277,求r的值.C.（選彳45:不等式選講）已知實(shí)數(shù)x, y, z滿足-J+J+-J=2,求證: 1 + x2 1+y2 1 + z2,每名員工休假家無人休假，則調(diào)為該向量的范n.記范數(shù)為奇【必做題】 第22, 23題，每小題10分，共20分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證 明過程或演算步驟.22 .小麗在同一城市開的 2家店鋪各有2名員工.節(jié)假日期間的某一天 的概率都是2,且是否休假互不影響.若一家店鋪的員工全部休假，而另一 劑1人到該店鋪

10、維持營業(yè)，否則該店就停業(yè).(1)求發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率；(2)設(shè)營業(yè)店鋪數(shù)為 X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.*X I23 .我們稱n(nC N )兀有序?qū)崝?shù)組(xi, x2,，xn)為n維向量，一數(shù).已知 n 維向量 a= (xi, X2,，xn),其中 xiC1, 0, 1, i = 1, 2, 數(shù)白n維向量a的個(gè)數(shù)為An,這An個(gè)向量的范數(shù)之和為 Bn.(1)求A2和B2的值;(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求 An, Bn(用n表示).2020屆高三模擬考試試卷（七市聯(lián)考）數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1.9 2.乖 3.10 4. 5 5. 2 6.2 7. -15 8.1 9. 2 10.護(hù) 11.8 12

11、. In 6 2363,4213.14.（一巴 1）1 一0兀兀15 .解：（1）因?yàn)橄蛑?a = （cos a , sin a）, b=（cos（時(shí) ）, sin（時(shí) ）,所以（b a） a = a b a2（2 分）=cos a cos（計(jì)-4）+ sin a sin（計(jì)：）一（cos2 a + sin2 a ）（4 分）無Y2八=cos（ - -） - 1 = -2- 1.（6 分）兀兀（2）因?yàn)?c= （1, 1）,所以 b+c=（cos（時(shí)-4）+1, sin（時(shí)-4）+ 1）.兀兀因?yàn)椋╞+c）/a,所以cos（葉） + 1sin a sin（時(shí)）+ 1cos a = 0.（9 分

12、）兀兀于是 sin a cos a = sin（ cos a cos（庭）sin a ,1 兀兀兀 1從而 42sin（k -）=sin ，即 sin（ k；4） = 2.（12 分）一、，兀 一 兀兀 兀 一兀兀 -I5立因?yàn)?0V a< ,所以一 了< a-,于是 a-,即 a=彳.（自 分）16 .證明：（1）取AB的中點(diǎn)D,連結(jié)PD, CD.在ABB,因?yàn)辄c(diǎn)P, D分別為ABi, AB中點(diǎn)，1所以 PD/ BBi,且 PD=2BBi.在直三棱柱 ABCAiBiCi 中，CC1/BB1, CCi=BBi.1因?yàn)辄c(diǎn)Q為棱CCi的中點(diǎn)，所以 CQ / BBi,且CQ = 2BBi

13、.（3分）于是 PD/ CQ, PD = CQ.所以四邊形PDCQ為平行四邊形，從而 PQ/ CD.（5分）因?yàn)镃D?平面ABC , PQ?平面ABC ,所以PQ/平面ABC.（7分）（2）在直三棱柱 ABCAiBiCi中，BBi,平面 ABC.又CD?平面ABC ,所以BBi± CD.因?yàn)镃A = CB,點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，所以 CD±AB.（10分）由（1）知 CD/PQ,所以 BBi±PQ, AB±PQ.（12 分）因?yàn)?ABABBi=B, AB?平面 ABBiAi, BBi?平面 ABB iA i,所以PQ,平面ABBiAi.（14分）17 .解：（

14、1）記橢圓E的焦距為2c（c>0）.因?yàn)橛翼旤c(diǎn)A（a, 0）在圓C上，右準(zhǔn)線x=a2與圓C: （x 3）2+y2= 1相切, c(a3) 2+02=1,oa= 2所以a2解得 于是b2=a2-c2=3,3 = 1,c= 1.所以橢圓E的方程為?+$=1.（4分）(2)(解法 1)設(shè) N(xn, yN), M(x m , yM),顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k(x 2).由方程組y=k(X 2),x2 y2 d 消去y,得(4k2+3)x216k2x+16k212=0.所以Xn 16k2 12 扃”曰2 =布了，解得8k26八Xn=4i .(6 4)y = k (x 2),由

15、方程組o o 消去 y,得(k2+1)x2(4k2+6)x + 4k2+8=0,(x3) 2+y2=1,-4k2+8 - - 2k2+4所以Xm - 2 = 4,解得XM = 2k言.(8分)因?yàn)锳N12 ,12= yAM ,所以 2 xn = t(xm2), (10 分)12122-1,即F書族,解得"乜。2分）所以直線l的方程為x y 2=0或x+y2=0.（14分）（解法2）設(shè)N（xn, yN）, M（xm, yM）,當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，不符題意.設(shè)直線l的方程為x=ty + 2（tw0）.由方程組x= ty+ 2,x2 y2_消去 x,得(3t2+4)y2+12ty=0,所

16、以4+ 3 = 1,12tyN=3217 .(6 分)x = ty + 2,2t由方程組/°、；2 .消去x,得(t2+1)y22ty = 0,所以丫乂=前.(8分)(x3) 2+y2= 1,t2+1 ''因?yàn)?AN =，M ,所以 yN=-，yM.(10 分)12t12 2t. r、即3帝=3 百=，解得t=±.(12分)所以直線l的方程為x y 2=0或x+y2=0.（14分）. 一,2118 .解：(1)因?yàn)镾/DE=aSABC, ABC是邊長為3的等邊三角形，又 AD = x,3所以1AD - AE sin V=2（9X 32Xsin 高）,所以 A

17、E = "6.（2 分） 233 23X0< AD =x<3,由x得 2WxW3.0VAE = 6、，（解法 1）在 ADE 中，由余弦定理得 DE2=AD2+AE22AD- AE cos g = x2 + 36. 3 x所以，直道 DE的長度yi關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為yi =、Jx2 + 366, xC 2, 3. （6分） 在4ADM 和4AEM 中，由余弦定理得 AD2= DM2+AM 2-2DM- AM- cos/AMD , AE2=EM2+AM 2-2EM- AM- cos（兀-Z AMD） .（8 分）1因?yàn)辄c(diǎn) M為DE的中點(diǎn)，所以 DM = EM = DE.由

18、十 ，得 AD2+AE2=DM2+EM2+2AM2=2dE2+2AM2.一一 6136一一x2 9 3所以 x2+(6)2 = 2(x2+x2-6)+2AM2,所以 AM2=x4- + '+3.所以，直道AM的長度y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y2 =、件+母+g，xC2, 3. (10分)4x2(解法2)在4ADE中，因?yàn)镈E = AEAD, 所以 DE2= AE2- 2AE AD +AD2= （6）2 -2 6 xcos -3_+ x2= x2+36 6.所以，直道DE的長度y1關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y1=、/x2+366, xC2, 3. （6分）在 ADE中，因?yàn)辄c(diǎn) M為DE的中點(diǎn)，所

19、以AM =；（aD+a!）. （8分） 所以 AM2 =（AD2+Al2+2AD . Al）=1（x2+等+6）.44'x3.（10 分）所以，直道AM的長度y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為丫2 = 杉+卷 +習(xí)，xC24 x N(2)由(1)得，兩條直道的長度之和為DE + AM=y+y2=x2+36-6 +x2 9 3I+R2> W 36-6+5/? x2+3 (12 分)x2=32,=(當(dāng)且僅當(dāng)2 § 即x=乖時(shí)取"=").(14分)4 x2'答：當(dāng)AD = 0百米時(shí)，兩條直道的長度之和取得最小值(巡+ 乎)百米.(16分)19 .解：(1)

20、當(dāng) k=1 時(shí)，f(x)=x22ln x(kCR),所以(x)2 (x1、(x+1)(x>0),令 f' (x)0,得 x= 1.(2 分) x列表如下：x(0, 1)1(1, +°°)f' (x)一0十f(x)V極小值所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值，極小值為1,無極大值.(4分) 設(shè)xo是函數(shù)f(x)的一個(gè)“ F點(diǎn)”(xo>0).因?yàn)?x)2(kx 1) (x>0),所以xo是函數(shù)f'的零點(diǎn). x所以 k>0.由 f0x= 0,得 kx0=1, xo= 由 f(x o) = xo,得 kxo 2ln xo=xo,即 x

21、o+2ln xo1=0.(6 分)設(shè)()(x)= x+2ln x - 1,則 4 ' (x)1+ 2>0, x所以函數(shù)()(x)= x + 2ln x - 1在(0, + °°)上單調(diào)遞增，注意到 4(1)=0,所以方程x0 + 2in x。1 = 0存在唯一實(shí)數(shù)根1,所以x0=、C=1,得k= 1.根據(jù)知，k = 1時(shí)，x= 1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，所以1是函數(shù)f(x)的"F點(diǎn)”.綜上，實(shí)數(shù)k的值為1.(9分)(2)因?yàn)?g(x) = ax3+bx2+cx(a, b, cC R, aw 0),所以 g' (x)=3ax2+2bx+c(a

22、w 0).因?yàn)楹瘮?shù)g(x)存在不相等的兩個(gè)“F點(diǎn)" Xi和X2,3ax2 + 2bx+ c= 0,所以Xi, X2是關(guān)于X的方程 &.的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根.ax3 + bX2 + cx = x由 ax3+ bx2+ cx= x 得 x= 0, ax2+ bx+ c 1 = 0.(11 分) 當(dāng)x=0是函數(shù)g(x)一個(gè)“ F點(diǎn)”時(shí)，c= 0且x= 2b, 3a所以 a(3b)2+3b)1 = 0，即 9a= 2b2.又|g(xi) g(X2)|= |xi X2|= 0 >1,3a所以 4b2> 9a2,所以 9a2w2(9a).又 aw 0,所以2Wav 0.(13 分

23、)當(dāng)x= 0不是函數(shù)g(x)一個(gè)"F點(diǎn)"時(shí)，則X1 , X2是關(guān)于X的方程3ax2+2bx+ c= 0,o的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根.ax2+bx+c-1 = 0b = 0,解得 3c=2.2b_.3 =b,又aw0,所以c13一c 1，所以獷-2，彳x1-=A/-i 所以 |g(x1)g(x2)|= |X1 X2|= 2、J東 1,得一2Wav 0.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是2, 0). (16分) 20.(1)解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因?yàn)?a1=1, a4 = 1,所以 q3=1,解得 q = 1. 882所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=(2)n 1.(3分)1, 一 1 一(

24、2)證明：由(1)得，當(dāng) n>2, nCN 時(shí)，C2)n 1+bn=-"Sn 1 ,所以(2)n+bn+1= Sn ,一，得bn+1 2加=（2/，（5分）所以bn+ 1(2)nbn(1)112，1,即叱-bn= 1, n>2, nCN* an+1an因?yàn)?b1 = 1,由得 b2 = 0,所以 b2=0（1）=1,所以O(shè)n=1，nCN*.所以數(shù)列 包是以一1為首項(xiàng)，1為公差為等差數(shù)列.（8分） anbnLLr、 n 2c1 n 1n(3)解：由(2)得 an=n 2,所以bn=2n1 ,Sn= - 2(an+1+bn+1)= 2(2n +2n)=-2n1.假設(shè)存在等差數(shù)

25、列Cn,其通項(xiàng)Cn=dn+c,使得又任意nCN*,者B有Sn< Cn< an,n1_.即對(duì)任意 nCN ,者B有2n-Y<dn+c<2n-y .(10 分)首先證明滿足的d=0.若不然，dw0,則d>0,或d<0.1,11 - C尸 4，* rr_L1、 r一一(i )右 d>0,則當(dāng) n>一d-, nCN 時(shí)，Cn= dn + c> 1 >2n_1 = an,這與 cnWan矛盾.(ii)若 d<0,則當(dāng) n>nCN* 時(shí)，Cn=dn+cv1. dnn+1 nn 1而 Sn + 1 Sn = 2n + 2n-1 =2n

26、0 , S1=S2Vs3<，所以 Sn> S1= 1.故 Cn = dn + c V 1 < Sn,這與Sn<cn 矛盾.所以d= 0.(12分)其次證明：當(dāng) x>7 時(shí)，f(x)=(x1)ln 2 2ln x>0.因?yàn)閒' (x)ln 2-1>ln 2-1>0,所以f(x)在7, + 8 )上單調(diào)遞增， x 7所以當(dāng) x>7 時(shí)，f(x) >f(7) = 6ln 2 2ln 7= ln 而>。.所以當(dāng) n>7, nC N*時(shí)，2n 1 >n2.(14 分)再次證明c= 0.(iii)若 c<0 時(shí)，則

27、當(dāng) n>7, n>1, nCN*, Sn=丁巴>-1>c,這與矛盾.c2 n（iv）若c>0時(shí)，同（i ）可得矛盾.所以c= 0.1 n1,當(dāng) Cn=0 時(shí)，因?yàn)?Sn= 2n 1 W0, an=（2） >0,所以對(duì)任意nCN*,都有SnW CnW an.所以Cn= 0, nCN*.綜上，存在唯一的等差數(shù)列Cn,其通項(xiàng)公式為Cn=0, nCN*滿足題設(shè).（16分）2020屆高三模擬考試試卷（七市聯(lián)考）b 00 2a數(shù)學(xué)附加題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)21. A.解：因?yàn)锳A 1= E,所以b= 1,所以解得2a=1,_ 1a=。， LL ,、，2所以A =b= 1.

28、設(shè)P（" y'）為曲線d上任一點(diǎn)，則Y+y2、.又設(shè)P（x', y'）在矩陣A變換作用下得到點(diǎn)Q（x, v）,0 1 x 則12 0 yxx，即x'=，所以y a yy = x, x'y,x= 2y,y' =x,.x2-_代入7+嚴(yán)=1r+x、1, 所以曲線C2的方程為x2+y2= 1.（10分）B.解：以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為 x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy,于是曲線C: P= r（r>0）的直角坐標(biāo)方程為 x2+y2 = r2,表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓.（3分）兀L兀兀由直線l的方程pcos（葉） = 72,化簡得

29、poos 0 cos - psin。sin 7 =取，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x y 2=0.（6分）記圓心到直線l的距離為d,則d=8 = V2.又 r2 = d2 +（AB）2,即 r2=2 + 7=9,所以 r= 3.（10 分）C.證明：因?yàn)?巳+I I xz24 +1 + y2 1 + z2= 2，所以己十 力+1 吞+ 1 一=+ 1 Z2石刀=1.（5分）由柯西不等式得222(2+ y-+z-)(-22-22)> ( X 2+ y 2+z)2,(1 + x21 + y2 1+z2)(1 + x2 1+y2 1 + z2)(1 + x2 1+y2 1 + z2)所以(1 +

30、 y2十二所以號(hào)育+&Y(10 分)22.解：(1)i人休假記為事件記2家小店分別為A, B, A店有i人休假記為事件Ai(i=0, 1, 2), B店有Bi(i = 0, 1,2),發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率為P則 P(A0)= P(B0)=C0(2)2=4,P(A1)=P(B1)=C2(1)2 = 2,P(A2)=P(B2)=C2(1)2 = 4.11111所以 P=P(AoB2)+P(A2Bo)=4><4 + 4X 4=8.1答：發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率為1.(4分)8(2)依題意，X的所有可能取值為0, 1, 2,則1 n 1 P(X = 0) = P(A2B2)=4X4=-,1、,1 , 1、,1 1P(X = 1) = P(A1B2)+P(A2B1)=；X2 + 2X4 = 4.1111 八P(X = 2)=1-P(X = 0)-P(X = 1)=1-4=(8 分)所以X的分布列為X012p111116416所以 E(X) = 2xf1X4+。得(1