人教版八年級上冊數(shù)學(xué)專題全等三角形中輔助線的添加

1、全等三角形中輔助線的添加一.教學(xué)內(nèi)容：全等三角形的常見輔助線的添加方法、基本圖形的性質(zhì)的掌握及熟練應(yīng)用。二.知識要點：1、添加輔助線的方法和語言表述(1)作線段：連接；(2)作平行線：過點作/；(3)作垂線(作高)：過點作!，垂足為；(4)作中線：取中點，連接；(5)延長并截取線段：延長使等于；(6)截取等長線段：在上截取，使等于；(7)作角平分線：作平分；作角等于已知角；(8)作一個角等于已知角：作角等于。2、全等三角形中的基本圖形的構(gòu)造與運用常用的輔助線的添加方法：(1)倍長中線(或類中線)法：若遇到三角形的中線或類中線(與中點有關(guān)的線段)，通?？紤]倍長中線或類中線，構(gòu)造全等三角形。(2)

2、截長補短法：若遇到證明線段的和差倍分關(guān)系時，通?？紤]截長補短法，構(gòu)造全等三角形。截長：在較 長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補短：將一條較短線段延長，延長部 分等于另一條較短線段，然后證明新線段等于較長線段；或延長一條較短線段等于較長線段，然后證明延長部分等于另一條較短線段。(3) 一線三等角問題("K'字圖、弦圖、三垂圖)：兩個全等的直角三角形的斜邊恰好是一個等腰直角三角形的直角邊。(4)角平分線、中垂線法：以角平分線、中垂線為對稱軸利用”軸對稱性“構(gòu)造全等三角形。(5)角含半角、等腰三角形的(繞頂點、繞斜邊中點)旋轉(zhuǎn)重合法：用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造三角形

3、全等。(6)構(gòu)造特殊三角形：主要是 30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、對稱和弦圖也可以構(gòu)造 )和等邊三 角形的特殊三角形來構(gòu)造全等三角形。三、基本模型：(1) ABC中AD是BC邊中線方式3:延長MDiJ N,使DN=MD連接CD方式1: 延長 AD到E,使DE=AD 連接BE方式2:間接倍長，作CF，AD于F, 作BEX AD的延長線于E,連接BEEN(2)由 AB/BCDWi出由 AB瞌 BCD導(dǎo)出由ABM BCDWi出EC=AB-CDBC=BE+ED=AB+CDED=AE-CD(3)角分線，分兩邊，對稱全等要記全 角分線+垂線，等腰三角形必呈現(xiàn)

4、(三線合一)(4)旋轉(zhuǎn)：方法：延長其中一個補角的線段(延長CM E,使ED=BM 連AE或延長CB到F,使FB=DN,連AF ) 結(jié)論： MN=BM+DN C.cmn =2ABAM AN分別平分ZBMtfnZ DNM翻折：思路：分別將 ABMF口 ADNA AMffi AN為對稱軸翻折，0 一但一定要證明 M P、N三點共線.(/B+/ D=180且AB=AD(5)手拉手模型AB討口 ACF均為等邊三角形結(jié)論：(1) ABFAAEC (2) Z B0E=Z BAE=60 (“八字型”模型證明)；(3) OA平分/ EOF 拓展：DA條件： ABCF口4CDE勻為等邊三角形結(jié)論：(1)、AD=B

5、E (2)、/ACBh AOB (3)、 PC四等邊三角形(4)、PQ/ AE (5)、AP=BQ (6)、COF Z AOE 、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD(7), (8)需構(gòu)造等邊三角形證明)、ABD ACE勻為等腰直角三角形結(jié)論：(1)、BE=CD (2) BEL CD ABE林口 ACH明為正方形結(jié)論：(1)、BD±CF (2)、BD=CF變形一：ABE儕口 ACH的為正方形， AS，BC交FD于T,求證：T為FD的中點.SBC = S咨DF.方法IHG12AA四、典型例題:考點一：倍長中線（或類中線）法:方法三:變形二：ABE儕口 ACH的為正方形,M為FD的中

6、點，求證：AN!BC當(dāng)以AB AC為邊構(gòu)造正多邊形時，總有:Z 1 = Z 2=n180 -360BC DGDBJKFEICHFE核心母題已知，如圖 ABC中，AB=5, AC=3則中線 AD的取值范圍是 練習(xí)：1、如圖, 大小. ABC中，E、F分別在 AB AC上，DEI DF, D是中點，試比較 BE+CF與2、如圖, ABC中，BD=DC=ACE是DC的中點，求證： AD平分/ BAE.3、如圖,CE CB分另1是4 ABC< ADC勺中線，且/ ACBhABC；求證：CD=2CE4、已知：5、如圖,D是 AB的中點，/ ACB=90，求證：2CD=AB.如圖，在正方形 ABCD

7、中，E是BC的中點，點F在CD上，/ FAE= / BAE.求證：AF=BC+FC.6、已知在 ABC中，AB=AC D在AB上，E在AC的延長線上， DE交BC于F,且DF=EF求證：BD=CE7、已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且 BE=AC延長BE交AC于F,求證：AF=EE8、已知：如圖，在 AABC中，AB#AC, 口 E在BC上，且DE=EC過D作DF BA交AE于點F, DF=AC.求證：AE平分ZBAC 。9、以MBC的兩邊AB ACJ腰分別向外作等腰Rt MBD和等腰Rt MCE , - BAD =CAE = 9°：連接DE MN另J是BC

8、DE勺中點.探究：AMf D的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(1)如圖 當(dāng)AABC為直角三角形時， AhMf DE勺位置關(guān)系是(2)將圖中的等腰RtAABD繞點a沿逆時針方向旋轉(zhuǎn) H (0曰90)后，如圖所示,線段AMT DE勺數(shù)量關(guān)系(1)問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由.10、已知： ABC八口四兩個不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC DA=DE聯(lián)結(jié)EC取EC的中點 M 聯(lián)結(jié) BM DM(1)如圖1,如果點n E分別在邊AC AB上，那么BM DM勺數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是 ; (2)將圖1中的 AD瞰點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由.變式1:已知：在 R

9、tABC中，AB=BC在RtADE中,AD=DE連結(jié) EC,取EC的中點 M,連結(jié) 口風(fēng)口 BM(1)若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖，探索 BM DM的關(guān)系并給予證明；(2)如果將圖中的 AD遴點A逆時針旋轉(zhuǎn)小于45°的角，如圖，那么(1)中的結(jié)論是否仍成立？如果不 成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明.變式:2 :已知： ABCF口ADE是等腰直角三角形，/ AB(=/ADE=90° ,點M是CE的中點，連接 BM (1)如圖，點D在AB上，連接DM并延長D檢BC于點N,可探究得出BD與BM勺數(shù)量關(guān)系為 (2)如圖，點D不在AB上，(1)中的結(jié)論還

10、成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由變式3：四邊形ABCD是正方形，ABEF是等腰直角三角形， /BEF =90>BE = EF，連接DF , G為DF的中點，連接EG , CG , EC。EC(1)如圖24-1 ,若點E在CB邊的延長線上，直接寫出 EG與GC的位置關(guān)系及 上上的值；GC(2)將圖24-1中的ABEF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至圖24-2所示位置，請問(1)中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由;(3)將圖24-1中的iBEF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)a ( 0。 90 口)，若BE = 1 , AB=J2,當(dāng)E, F,點共線時，求DF的長及/ A

11、BF的度數(shù)。備用圖考點二：截長補短法：核心母題 如圖，AD / BC, EA,EB分另I平分/ DAB, / CBA, CD± 點 E,求證：AB=AD+BC.1、如圖a, ABC CEF是兩個大小不等的等邊三角形，且有一個公共頂點C,連接AF和BE.線段AF和BE有怎樣的大小關(guān)系 叫證明你的結(jié)論；(2)將圖a中的 CEF繞點C旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到圖 b, (1)中的結(jié)論還成立嗎？作出判斷并說明理由;、已知：如圖， AABC是等邊三角形， NBDC =120口，求證：AD = BD+CD.、已知四邊形ABCD中，AB=BC, /ABC =600。， P為四邊形 ABCD的對角線 BD

12、上一點，且/APD =120。，求證：PA + PD+PC = BD2、在 ABC中，/BAC=60 , Z 0=40° , AP 平分/ BAC交 BC于 P, BQ平分/ ABC交 AC于 Q,求證：AB+BP=BQ+AQ3、如圖，在 AABC 中，/ABC =60°, AD, CE分別為 /BAC/ACB 的平分線，求證：AC=AE+CD求證：BD+DC=AB5、已知：如圖在 ABC中，AB=AC D 為 ABC外一點，/ ABD=6（J , /BDC 求證：AB=BDF DG考點三：一線三等角問題（“K”字圖）核心母題 已知：如圖，在 RtABC中，/ BAC=90

13、 , AB=AC D是BC邊 ADE=45 , AD=DE 求證：BD=EC.4ADB=90C2AJ上月c上一點，/K4、如圖，在 ABC中，AB=AC D是 ABC外一點，且/ ABD=60 , / ACD=60練習(xí):EBDC1、已知：如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊BC、AB上的點，且 EF=ED, EF± ED.求證：AE平分 / BAD.2、兩個全等的含30° , 60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E, A, C三點在一條直 線上，連接BD,取BD的中點M,連接ME, MC 試判斷 EMC的形狀，并說明理由.3、如圖，在 MBC中，/

14、ACB =90： AC = BC ,直線MN經(jīng)過點C,且AD _L MN于點D, BE _L MN于點E。(1)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖(1)的位置時，求證:(2)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖(2)的位置時，求證:(3)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖(3)的位置時，試問: 加以證明。DE=AD+BEDE=AD- BE;DE, AD, BE有怎樣的等量關(guān)系？請寫出等量關(guān)系，并4、如圖所示，AE± AB, BC± CD且 AB=AE, BC=CD, F、A、G、C、H在同一直線上，如 按照圖中所標 注的數(shù)據(jù)及符號，則圖中實線所圍成的圖形面積是？6、小雨遇到這樣一個問題：如圖 1 ,直線l

15、 1 / 12/ l 3 , 1, 12與13之間的距離是2,試畫出一個等腰直角三角形1 1與12之間的距離是ABC使三個頂點分別在直線 11、12、13上，并求出所畫等腰直角三角形 ABC勺面積. liI2I3圖1小雨是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應(yīng)想辦法利用平行線之間的距離，根據(jù)所求圖形的性質(zhì)嘗試用旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造全等三角形解決問題.具體作法如圖2所示：在直線11任取一點A,作ADL 12于點D,作/ DAH90。，在AH上截取AEAD過點E作EBL AE交13于點B,連接AB作/ BA(=90 ,交直線12于點C,連接BC即可得 到等腰直角三角形 AB(請你回答：圖2中等腰直角三角形

16、 ABC勺面積等于 .參考小雨同學(xué)的方法，解決下列問題：如圖3,直線1 1/ 1 2/ 1 3, 1 1與12之間的距離是2, 12與13之間的距離是1,試畫出一個等邊三角形 ABC使 三個頂點分別在直線11、12、13上，并直接寫出所畫等邊三角形ABC勺面積(保留畫圖痕跡).11li12121313圖3圖3P (5,5)處，兩條直角邊與坐標軸分別交于點7、如圖，在平面直角坐標系中，將直角三角形的直角頂點放在 和點B.(1)當(dāng)點A、點B分別在x軸、y軸正半軸上運動時，試探究OA+0B的值或取值范圍；(2)點A在x軸正半軸上運動，點 B在y軸負半軸上時，試探究 OA-OB的值或取值范圍，直接寫出

17、結(jié)果。y(1)如圖1,當(dāng)A(0, -2), C(1, 0),點B在第四象限時，先寫出點B的坐標，并說明理由.軸、x 軸上，且/ ACB=90 ° , AC=BC.(2)如圖2,當(dāng)點C在x軸正半軸上運動，點 A(0, a)在y軸正半軸上運動，點 B(m, n)在第四象限時，作BD± y軸于點D,試判斷a,m, n之間的關(guān)系，請證明你的結(jié)論.考點四：角平分線、中垂線法核心母題1、在 MBC中，AB >AC , AD是/BAC的平分線. P是AD上任意一點.求證：ABAC>PBPC.2、已知等腰直角三角形ABC, BC是斜邊./ B的角平分線交ACC作CE與BD垂直且

18、交BD延長線于E,求證：BD=2CE.3、如圖，ABC的邊BC的中垂線DF交 BAC的外角平分線F 為垂足,DH AB于 E,且 AB> AC,求證：BE-AC=AEA練習(xí)1、如圖所示，在 MBC中，AD是/BAC的外角平分線， P是AD上異于 A的任意一點，試比較 PB +PC與AB+AC的大小，并說明理由.占八、CF相交于2、如圖所示：/ ABC的平分線BF與 ABC中/ ACB的相鄰?fù)饨? ACG的平分線點F,過F作DF/ BC,交AB于D,交AC于E.問： 出圖中的等腰三角形并說明理由.ABCD(2)(1)寫P3、在 ABC 中,AB=2AC,AD 平分 NBAC, E 是 AD

19、 中點，連結(jié) CE ,求證：BD = 2CE若 BD=8cm, DE=3cm,求 CE 的長.4、如圖， ABC 中，/ABC=2/C, BE 平分 / ABC 交 AC 于 E、ADL BE 于 D,求證： (1 ) AC-BE=AE ;(2) AC=2BD.5、如圖，在 ABC中，AB> AC, E為 BC邊的中點，AD為/ BAC 線，過E作AD的平行線，交AB于F,交CA的延長線于G.BF=CG.變式一：如圖，在 MBC中，AD交BC于點D ,點E是BC中點， EF II AD交CA的延長線于點F ,交AB于點G ,若BG =CF，求 AD為ZBAC的角平分線.變式二：已知： A

20、BC中，AD是 ABC的角平分線, AD,交 AC于點 N ,求證：AN+AB=NC.M為BC的中點，過點變式三：在 ABC43, AD是ABC勺角平分線.(1)如圖1,過C作CE/ AD交BA延長線于點E,若F為CE的中點，連的平分 求證：結(jié)AF,求證：AF± AQ(2)如圖2, M為BC的中點，過 M作MN/ AD交AC于點N若AB=4, AC=7, 求NC的長.6、如圖,求證:已知 ABC中，AB= AC, / A= 100° , /A* BA BCB的平分線交AC于D,7、如圖，在 ABC中，ADL BC于D, CD= AB+ BD, / B的平分線交 AC于點E,

21、求證：點 E恰好在BC的垂直平分 線上。8、如圖1,在 ABC中，/ ACB=2ZB,/ BAC的平分線AO交BC于點D,點H為AO上一動點，過點H作直線l ±AO于H,分別交直線 AR AG BC于點N、E、M(1)當(dāng)直線l經(jīng)過點C時(如圖2),證明：BN=CD(2)當(dāng)M是BC中點時，寫出CE和CD之間的等量關(guān)系，并加以證明;(3)請直接寫出BN CE CD之間的等量關(guān)系.9、如圖所示，在4ABC中，/ ABC=3Z C, AD是 / BAC的平分線，BEX AD于 F,求證:2BE=AC-AB變式：如圖，已知在A G A2B證：MBC 中，/ABC =3/C , Z1 =/2 ,

22、 BE _L AE .求B E10、如圖所示，在 MBC 中，AD 平分/BAC, AD=AB, CM _LAD 于 M , AB+ A C2 AM變式一：如圖/ 1 = /2, B為AC中點， FB=1 (FM+FN2BDCML FB于 M AN± FB于 N,求證：EF=2BMMA:如圖，在 ODC中/D=9(5, EC是/DCO的角平分線，且 OE_LCE過點E作EF _LOC交OC于點F.猜想：線段EF與OD之間的關(guān)系，并證明.變式二：如圖所示，在 ABC中，AO AB, M為BC的中點，F(xiàn),求證：MF=1 (ACAB)。2AAD是/ BAC的平分線，若 CFL AD且交AD

23、的延長線于AbZD； 4。F考點五：角含半角、等腰三角形的(繞頂點)旋轉(zhuǎn)重合法核心母題 如圖，在正方形 ABCN, E、F分:利是 BG CDi上的點，/ EAF=45 ,求證：EF=BE+DF.B EC變式一：如圖，E、F分別是邊長為1的正方形ABC兩邊BG CD上的點，若4ECF的周長是2,求/ EAF的度數(shù)？DCB綜合：在正方形 ABCDK若求證：./MAN45 -.C為練習(xí)1、如圖，在四邊形 ABCD43,B ECM N分別在邊 BC CD上移動，且滿足 MN=BM+DN MN =2AB.AM AN別平分 ZBMtfnZDNM. D aAB=BC,Z A=/C=90,B=135 , K

24、、N E'分別是變式二：如圖，在正方形 ABC邛,E、F分別是 BC CDa上的點，/ EAQ=45 , AHL EF,求證：AH=AB.AR BC上的點，若 BKN的周長是 AB的2倍，求/ KDN的度數(shù)?2、已知：正方形ABCD中，/ MAN=45° , / MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它 的兩邊分別 交CB、DC (或它 們的延長線)于點Mk N.當(dāng)/MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(如圖1),易證BM+DN=MN(1 )當(dāng)/ MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BMW DN時(如圖2),線段BMk DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出 猜想，并加以證明；(2)當(dāng)/ MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3的

25、位置時，線段BM DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接 寫出你的猜想.3、如圖，在四邊形 ABCD, AB=AD, Z B+Z D=180°,E、F分別是邊BG(1)求證：EF=BE+FD(2)如果E、F分別是邊BG CD延長線上的點，其他條件不變，結(jié)論是否仍然成立？說明理由。D8 E5、如圖所示，在五邊形 ABCD即,AB=AEAD平分/ CDE.6、如圖，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2, / ABC=/ AED=90 ° , 求五邊形 ABCDE 的面積.7、如圖1 .在四邊形ABCD中.AB=AD, Z B+Z D=180° , E、F分別是邊 BC、CD上的點，且/ BAD=2 / EAF.(1)求證：EF=BE+DF;(2)在(1)問中，若將4AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E、F分別運動到BC、CD延長線上時