普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題新課標(biāo)卷I解析

1、絕密啟封并使用完畢前試題類型：A2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試題卷共5頁(yè)，24題(含選考題)。全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1、答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。用2B鉛筆將答題卡上試卷類型A后的方框涂黑。2、選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3、填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4、選考題的作答：先把所選題目的題號(hào)在答題卡上

2、指定的位置用2B鉛筆涂黑。答案寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。5、考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.(1)設(shè)集合Ax|x24x30,Bx|2x30,則AIB(A)(3，3)(B)(3，2)(C)(1令(D)g，3)【答案】D考點(diǎn)：集合運(yùn)算(2)設(shè)。i)x1yi，其中x,y是實(shí)數(shù)，則xyi|=(A)1(B)展(C)73(D)2【答案】B【解析】試題分析：因?yàn)?1i)x=1+yi,所以xxi=1+yi,所以x=1,yx1,故|xyi|=|1+i|

3、衣,故選B.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算(3)已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27,胡=8,貝恰00=(A)100(B)99(C)98(D)97【答案】C【解析】試題分析：由已知，9a136d27,所以a11,d1,a100a199d19998,&9d8故選C.考點(diǎn)：等差數(shù)列及其運(yùn)算(4)某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是(A)(B)(C)(D)【答案】B考點(diǎn)：幾何概型(5)已知方程-=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是(A)(-1,3)(B)(-1,)(C)

4、(0,3)(D)(0,)【解析】由題意知：雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以m2n3m2n4,解得：m21,因?yàn)榉匠潭?表示雙曲線，所以1"0,解得"1,所以n的取值范1n3n3n0n3圍是1,3,故選A.考點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì)(6)如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是，則它的表面積是(A)17兀(B)18兀(C)20兀(D)28?！敬鸢浮緼【解析】試題分析：由三視圖知：該幾何體是1個(gè)球，設(shè)球的半徑為R,則VZfR3當(dāng)8833解得R2,所以它的表面積是-42232217,故選A.84，考點(diǎn)：三視圖及球的表面積與體積(7)函數(shù)y=2x

5、2-e|x1在-2,2的圖像大致為考點(diǎn)：函數(shù)圖像與性質(zhì)(8)若ab10c1,則(AOacbc(B)abcbac(Qalogbcblogac(D)logaclogbc【答案】C圖析】11I11試畛析，用特殊值注，今&-2,心二寫得空>2工選項(xiàng)A錯(cuò)誤，3X妙32父?，選前R南疆,Slog；1<2102,選項(xiàng)CIDS,og31>logll.選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故送C.L上上考點(diǎn).<7八、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(9)執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的x0,y1,n1,則輸出X,y的值滿足(AOy2x(B)y3x(Qy4x(D)y5x【答案】C【解析】試題分析：當(dāng)x0,y1,n1時(shí)

6、，x0L,y1121,不滿足22xy36；211n2,x0,y21222,不滿足x2y236;n3,x13-,y236,滿足2223xy36;輸出x-,y6,則輸出的x,y的值滿足y4x,故選C.考點(diǎn)：程序框圖與算法案例(10)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn).已知|AB=4T2,|DE|=2T5,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【解析】試題分析：如圖，設(shè)拋物線方程為y22px,圓的半徑為r,AB,DE交x軸于C,F點(diǎn),則AC2應(yīng)，即A點(diǎn)縱坐標(biāo)為2點(diǎn)，則A點(diǎn)橫坐標(biāo)為£,即OC由勾股定理知PPl2l2222a2222a

7、222日口，2,P、2,c71、2/4、24日/DFOFDOr,ACOCAOr,即(J5)()(2j2)(),解得p4,2P即C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4,故選B.考點(diǎn)：拋物線的性質(zhì)(11)平面"過正方體ABCDABGD的頂點(diǎn)A,“平面CBD,al平面ABCgal平面ABEAi=n,則m,n所成角的正弦值為(A)(B)4(C)(D)12233【答案】Ar解析考點(diǎn)：平面的截試題分析:如圖J設(shè)平面n平面泅CD=推1'平面CSQ1C平囪加及&=燈，因?yàn)橐?平面eg,用以刑1斯"""，兩帆用所成的角等于廝成的角過A作國(guó)力掘,交3的延長(zhǎng)名燈點(diǎn)且連接3則

8、C后為加旌接4方，過瓦作珥胡皿交七1的延長(zhǎng)線下息好，則見好為一連接電),則BDiCE,BEhAfi則用，"所成的角即為/"ED所成的角,為故解聲所成角的正弦侑為平，選A面問題，面面平行的性質(zhì)定理，異面直線所成的角(12)已知函數(shù)f(x)sin(x+)(0,),x工為f(x)的零點(diǎn)，x"為yf(x)圖像244的對(duì)稱軸，且f(x)ft(,2)單調(diào)，則的最大值為1836(A)11(B)9(C)7(D)5【答案】B考點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì)第II卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)(21)題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第(22)(24)題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

9、二、填空題：本題共4小題，每小題5分.(13)設(shè)向量a=(m11),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=.【答案】2【解析】試題分析：由|ab121a|2|b|2,得ab,所以ml120,解得m2.考點(diǎn)：向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算(14)(2x4)5的展開式中，X3的系數(shù)是.(用數(shù)字填寫答案)【答案】10【解析】_5r試題分析：(2x4)5的展開式的通項(xiàng)為C5(2x)5r(VX)r25rc5x2(r0,1,2,，5),令523得r4,所以x3的系數(shù)是2c510.考點(diǎn):二項(xiàng)式定理(15)設(shè)等比數(shù)列出滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則aa鬃a的最大值為.【答案】64試題分析

10、：設(shè)等此翻列4的公比為3±0,由，烏二81 .所以 = .7)_L,J2噎64.f產(chǎn)"TZ)=爐蟲，丁=2-i于是當(dāng)并或E-4時(shí)，巧再取得最大值考點(diǎn)：等比數(shù)列及其應(yīng)用(16)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為元.【答案】216000【解析】試題分析：設(shè)

11、生產(chǎn)產(chǎn)品A產(chǎn)品B分別為x、y件，利潤(rùn)之和為z元，那么由題意得1.5x0.5y,150,x0.3y,90,約束條件5x3y,600,目標(biāo)函數(shù)z2100x900y.x-0,y0.3xy?300,10x3y,900,約束條件等價(jià)于5x3y,600,x-0,y-0.作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖中陰影部分所示.將z2100x900y變形，得y7x2，作直線：y7x并平移，當(dāng)直線y-x390033900經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，z取得最大值.解方程組10x3y900,得M的坐標(biāo)為(60,100).5x3y600所以當(dāng)x60,y100時(shí)，zmax210060900100216000.故生產(chǎn)產(chǎn)品A產(chǎn)品

12、B的利潤(rùn)之和的最大值為216000元.考點(diǎn)：線性規(guī)劃的應(yīng)用三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(17)(本小題滿分12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,C,已知2cosc(acosB+bcosA)c.(I)求C；（II）若c"zABC的面積為封3,求4ABC的周長(zhǎng).2【答案】（I）c-（II）577【解析】試題解析：（I）由已知及正弦定理得，2coscsincossincossinC,2cosCsinsinC.故2sinCcosCsinC.可得cosC1,所以C-.23考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理及三角形面積公式（18）（本小題滿分12分）如圖，在以A,B,C

13、,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中，面ABE叨正方形，AF=2FQAFD90°,且二面角D-AEE與二面角C-BEF都是60o.（I）證明：平面ABEF平面EFDC（II）求二面角E-BCA的余弦值.【答案】（I ）見解析（II ）2 1919試題分析：（I）證明F平面FDC,結(jié)合F平面F,可得平面F平面FDC.（II）建立空間坐標(biāo)系，利用向量求解.試題解析：（I）由已知可得FDF,FF,所以F平面FDC.又F平面F,故平面F平面FDC.（II）過D作DGF,垂足為G,由（I）知DG平面F.以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，器的方向?yàn)閤軸正方向，器為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Gxyz.由(I)知D

14、F為二面角DF的平面角，故DF60o,則DF2,|DG3,可得1,4,0,3,4,0,3,0,0,D0,0,曲.考點(diǎn)：垂直問題的證明及空間向量的應(yīng)用(19)(本小題滿分12分)某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，

15、n表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).(I)求X的分布列；(II)若要求P(Xn)0.5,確定n的最小值；(III)以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n19與n20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？【答案】(I)見解析(II)19(III)n19考點(diǎn)：概率與統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)變量的分布列(20)(本小題滿分12分)設(shè)圓x2y22x150的圓心為A,直線l過點(diǎn)B(1,0)且與X軸不重合，l交圓A于C,D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E(I)證明|EA|EB為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；(II)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C,直線l交。于MN兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn)，求四邊形MPN面積

16、的取值范圍.【答案】(I)士匕1(y0)(II)12,8網(wǎng)43【解析】試題分析：利用橢圓定義求方程；(II)把面積表示為關(guān)于斜率k的函數(shù)，再求最值。試題解析：(I)因?yàn)閨AD|AC|,EB/AC,故EBDACDADC,所以|EB|ED|,故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y216,從而|AD|4,所以|EA|EB|4.由題設(shè)得A(1,0),B(1,0),|AB|2,由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為:22人匕1(y0).43考點(diǎn)：圓錐曲線綜合問題(21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)？?？=(?2)e?+?(?1)2有兩個(gè)零點(diǎn).(I)求a的取值范圍；(II)設(shè)X1,X2

17、是？(?)兩個(gè)零點(diǎn),證明：?+X2<2.【答案】(0,)(II)見解析【解析】試題分析：(I)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)來確定(主要要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)來分類)；(II)借組(I)的結(jié)論來證明，由單調(diào)性可知X1X22等價(jià)于f(X1)f(2X2),即f(2X2)0.設(shè)g(x)xe2x(x2)ex,則g'(x)(x1)(e2xex).則當(dāng)x1時(shí)，g'(x)0,而g(1)0,故當(dāng)x1時(shí)，g(x)0.從而gd)f(2X2)0,故X1X22.試題解析：(I)f'(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a).(i)設(shè)a0,則f(x)(x2)ex,f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).(ii)設(shè)

18、20,則當(dāng)x(,1)時(shí)，f'(x)0；當(dāng)x(1,)時(shí),f'(x)0.所以£(刈在(,1)單調(diào)遞減，在(1,)單調(diào)遞增.又f(1)e,f(2)a,取b滿足b0且bIna，則一a_223_f(b)2(b2)a(b1)a(b2b)0,故f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn).設(shè)bV。,由f*)=0得工=1或工=加(一切).若門?k】(一為»L扣當(dāng)工尸(】產(chǎn)泗，/V)n,左此f(G在a+A苫訴逑增.只與X：1E寸/©,所以/工)不存在兩個(gè)零點(diǎn).若0t一，則故當(dāng)JCE(Lkl(一如時(shí)，/340當(dāng)上£儂(-2必2時(shí)J/X力9.因*此8在QW加單調(diào)遞俺在3(2Gly再調(diào)

19、速博.又當(dāng)時(shí)，乃冰心所以F®不存在兩個(gè)零點(diǎn).綜上，。的取值范圉為(Q4足).,II)不妨設(shè)玉，由(I)如天9，匹e(l:+ro)p2-毛七(toJ)jFG)在(fD單調(diào)遑遍所以再+巧2等價(jià)于八冬»JQ巧"即八2七”。.由于/Q與)與晶與十儀-1巴而為”弟2k曲F為-以一所以/(2Xj)=_/一(x2-2派句.第工) V?？键c(diǎn)：導(dǎo)數(shù)及其題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一1:幾何證明選講設(shè)冢制=一/工r-1苒一2*)則三制=»-0(/-二-吟+所以當(dāng)工1時(shí)j婷任而系故當(dāng)時(shí)p從而氟三)=/(?_/)式口，故看+及之2.應(yīng)用請(qǐng)考生在第(22)、(23)、(24)題計(jì)分。(22)(本小題滿分10分)選修4-如圖，4OABM等腰三角形，/AOB120。.以。為圓心，OA為半徑作圓.(I)證明：直線AB與。相切；(II)點(diǎn)GD在。上，且AB,CD四點(diǎn)共圓，證明：AB/CD【答案】見解析(II)見解析【解析】情題分析：役E是的中點(diǎn)，證明上看OE=60,(II)譜(T是4B.C,D四占所在固的