特征值與特征向量定義與計(jì)算

1、特征值與特征向量 特征值與特征向量的概念及其計(jì)算 定義1. 設(shè)A是數(shù)域P上的一個(gè)n階矩陣，l是一個(gè)未知量， 稱為A的特征多項(xiàng)式，記 ¦(l)=| lE-A|，是一個(gè)P上的關(guān)于 l 的n次多項(xiàng)式，E是單位矩陣。 ¦(l)=| lE-A|=ln+a1ln-1+an= 0是一個(gè)n次代數(shù)方程，稱為A的特征方程。 特征方程 ¦(l)=| lE-A|=0的根 (如：l0) 稱為A的特征根(或特征值)。 n次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且僅有n 個(gè)根，而在實(shí)數(shù)域內(nèi)不一定有根，因此特征根的多少和有無，不僅與A有關(guān)，與數(shù)域P也有關(guān)。 以A的特征值 l0代入 (lE-A)X=q ，得方程組

2、(l0E-A)X=q，是一個(gè)齊次方程組，稱為A的關(guān)于l0的特征方程組。因?yàn)?|l0E-A|=0，(l0E-A)X=q 必存在非零解X(0) ，X(0) 稱為A的屬于 l0的特征向量。所有l(wèi)0的特征向量全體構(gòu)成了l0的特征向量空間。     一. 特征值與特征向量的求法 對(duì)于矩陣A，由AX=l0X，l0EX=AX，得： l0E-AX=q 即齊次線性方程組 有非零解的充分必要條件是： 即說明特征根 是特征多項(xiàng)式 |l0E-A| =0的根，由代數(shù)基本定理 有n個(gè)復(fù)根 l1, l2, ln，為A的n個(gè)特征根。 當(dāng)特征根 li (I=1,2,n)求出后，(liE-A)X=q 是齊次方

3、程，li均會(huì)使 |liE-A|=0，(liE-A)X=q 必存在非零解，且有無窮個(gè)解向量，(liE-A)X=q 的基礎(chǔ)解系以及基礎(chǔ)解系的線性組合都是A的特征向量。 例1. 求矩陣 的特征值與特征向量。 解：由特征方程 解得A有2重特征值 l1=l2=-2，有單特征值 l3=4 對(duì)于特征值 l1=l2=-2，解方程組 (-2E-A)x=q 得同解方程組 x1-x2+x3=0 解為x1=x2-x3 (x2,x3為自由未知量) 分別令自由未知量 得基礎(chǔ)解系 所以A的對(duì)應(yīng)于特征值 l1=l2=-2的全部特征向量為 x=k1x1+k2x2 (k1,k2不全為零) 可見，特征值 l=-2的特征向量空間是二

4、維的。注意，特征值在重根時(shí)，特征向量空間的維數(shù)£特征根的重?cái)?shù)。 對(duì)于特征值 l3=4，方程組 (4E-A)x=q 得同解方程組為 通解為 令自由未知量 x3=2 得基礎(chǔ)解系 所以A的對(duì)于特征值 l3=4 得全部特征向量為 x= k3 x3   例2.       求矩陣 的特征值與特征向量 解：由特征方程 解得A有單特征值 l1=1，有2重特征值 l2=l3=0 對(duì)于 l1=1，解方程組 (E-A) x = q 得同解方程組為 同解為 令自由未知量 x3=1，得基礎(chǔ)解系 所以A的對(duì)應(yīng)于特征值 l1=1的全部特征向量

5、為 x=k1x1 (k1¹0) 對(duì)于特征值 l2=l3=0，解方程組 (0E-A)=q 得同解方程組為 通解為 令自由未知量 x3=1，得基礎(chǔ)解系 此處，二重根 l=0 的特征向量空間是一維的，特征向量空間的維數(shù)<特征根的重?cái)?shù)，這種情況下，矩陣A是虧損的。 所以A的對(duì)應(yīng)于特征值 l2=l3=0 得全部特征向量為 x=k2x3   例3   矩陣 的特征值與特征向量 解：由特征方程 解得A的特征值為 l1=1, l2=i, l3=-i 對(duì)于特征值 l1=1，解方程組 (E-A)=q ，由 得通解為 令自由未知量 x1=1，得基礎(chǔ)解系 x1=(1,0,

6、0)T，所以A的對(duì)應(yīng)于特征值 l1=1得全部特征向量為 x=k1x1 對(duì)于特征值 l2=i，解方程組 (iE-A)=q 得同解方程組為 通解為 令自由未知量 x3=1，得基礎(chǔ)解系 x2=(0,i,1)T，所以A對(duì)應(yīng)于特征值l2=1的全部特征向量為 x=k2x2 (k2¹0)。 對(duì)于特征值 l3=-i，解方程組 (-E-A)x=q，由 得同解方程組為 通解為 令自由未知量 x3=1，得基礎(chǔ)解系 x3=(0,-i,1)T，所以A的對(duì)應(yīng)于 l3=-i的全部特征向量為 x=k3x3 。特征根為復(fù)數(shù)時(shí)，特征向量的分量也有復(fù)數(shù)出現(xiàn)。 特征向量只能屬于一個(gè)特征值。而特征值 li的特征向量卻有無窮多

7、個(gè)，他們都是齊次線性方程組 (liE-A)x=q 的非0解。其中，方程組(liE-A)x=q的基礎(chǔ)解系就是屬于特征值li的線性無關(guān)的特征向量。   性質(zhì)1. n階方陣A=(aij)的所有特征根為l1，l2，, ln(包括重根)，則    證第二個(gè)式子： 由偉達(dá)定理，l1l2ln=(-1)nan 又 |lE-A|=ln+a1ln -1+an-1l1+an 中用 l=0 代入二邊，得： |-A|=an， 而 |A|=(-1)nan= l1l2ln，   性質(zhì)2. 若 l 是可逆陣A的一個(gè)特征根，x為對(duì)應(yīng)的特征向量，則 是A-1的一個(gè)特征根，x仍為對(duì)應(yīng)的特征向

8、量。 證： 可見 是A-1的一個(gè)特征根。 其中 l¹0，這是因?yàn)?不會(huì)為可逆陣的特征根，不然，若li=0, |A|= l1l2ln=0，A奇異，與A可逆矛盾。   性質(zhì)3. 若 l 是方陣A的一個(gè)特征根，x為對(duì)應(yīng)的特征向量，則 lm是Am的一個(gè)特征根，x仍為對(duì)應(yīng)的特征向量。 證：1) Ax=lx，二邊左乘A，得：A2x=Alx=lAx=llx=l2x， 可見 l2 是 A2 的特征根； 2) 若 lm 是 Am 的一個(gè)特征根，Amx= lmx， 二邊左乘A，得：Am+1x=AAmx=Almx=lmAx=lmlx=lm+1x， 得lm+1是Am+1的特征根 用歸納法證明了lm 是 Am 的一個(gè)特征根。   性質(zhì)4. 設(shè) l1，l2，, lm是方陣A的互不相同的特征值。xj是屬于li 的特征向量( i=1,2,m)，則 x1,x2,xm線性無關(guān)，即不相同特征值的特征向量線性無關(guān) 。 性質(zhì)4給出了屬于不相同特征值的特征向量之間的關(guān)系，因而是一個(gè)很重要的結(jié)論。 性質(zhì)4可推廣為：設(shè) l1，l2，, lm為方陣A的互不相同的特征值，x11,x12,x1,k1