解析幾何備考關(guān)鍵問題指導(dǎo)

1、福建省2021屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科備考關(guān)鍵問題指導(dǎo)系列統(tǒng)計與概率(福建省高三畢業(yè)班復(fù)習(xí)教學(xué)指導(dǎo)組，執(zhí)筆：林少安)統(tǒng)計與概率在高考考查中一般有一道選擇題或填空題、一道解答題，共2道題，分值為17分高考對這一局部的考查難度相對穩(wěn)定，選擇、填空題為容易題，解答題為中等難度題選擇題在前六題的位置，填空題在前二題的位置，解答題在前三題的位置選擇、填空題?？脊诺涓判?、幾何概型(理科時而考查 對立事件、相互獨立事件概率及獨立重復(fù)試驗的概率)；解答題以頻率分布表、頻率分布直方圖、柱形圖、折線圖、莖葉圖等五個樣本頻率分布圖表為載體，理科側(cè)重考查隨機變量的分布列及期望，文科側(cè)重考查 樣本數(shù)字特征的應(yīng)用，突出了對應(yīng)

2、用意識、數(shù)據(jù)處理能力及創(chuàng)新能力的考查下面對學(xué)生存在的主要問題 進(jìn)行剖析，并提出相應(yīng)的教學(xué)對策.一、存在的問題及原因分析1.概念理解不透本專題中，概念理解不到位的有事件、模型的判斷等；容易混淆的概念有互斥事件與對立事件、超幾 何分布與二項分布、 二項展開式的通項公式 Tr d - Cryan_rbr與n次獨立重復(fù)試驗中事件 A發(fā)生k次的概率 R(k)二C：pk(1-p)n“ 等.【例1】5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物.血液化驗結(jié)果 呈陽性的即為患病動物，呈陰性的即沒患病下面是兩種化驗方案：方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止.方案乙：先任取3只，將它們的血液混

3、在一起化驗.假設(shè)結(jié)果呈陽性那么說明患病動物為這3只中的1只,P0C421C333 X + -3 = _C53 C55C：223 X=C535假設(shè)甲化驗的次數(shù)不少于乙化驗的次數(shù)，那么p =P( 1 =1) P( 2 =1) - P( 1 =2 LP( 2 =1) P( 2 =2川P( =3)P( 2 =1) P( 2 =2) P( 2 =3)隔P( 4)131322=0+ (0) (0)0.72 .555555h3212(n) E( )=1 0 232.4 .555【評析】此題易錯的主要原因是對事件不清對于方案甲，患有疾病的一只動物在每一次化驗時出現(xiàn)的概率是等可能的，學(xué)生對事件不清，易誤認(rèn)為化驗

4、次數(shù)的可能取值是1，2，3，4，5，且1P( =1)=P( =2)=P( =3)=P( =4)=P( =5).事實上，假設(shè)前4次化驗為陰性，第5次不需2再化驗即知最后一只是患病動物，所以化驗次數(shù)只能取I , 2, 3, 4類似地，對于方案乙，第一次化驗呈陽性，再化驗3只中的前2只呈陰性后也不需再化驗，或第一次化驗呈陰性，再化驗另外2只中的第I只呈陰性或陽性后也不需再化驗，即只能取2, 3在解決問題時，要理清事件，求隨機變量的分布列時，要弄清隨機變量可能取到的每一個值以及取每一個值時所表示的意義，然后再利用所學(xué)的概率知識求出隨 機變量取每一個值時的概率，從而求出分布列.2 .審題析題不到位審題析

5、題不清是本專題解答錯誤的主要原因，主要包括題意不清，茫然作答；閱讀淺薄，喪失信息；條件欠缺，魯莽下筆；圖形不準(zhǔn)，缺乏嚴(yán)密；方向不明，目標(biāo)模糊等情況.審題不清的最主要原因在于學(xué) 生的閱讀理解能力欠缺.【例2】(2021年全國卷I理19)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn) 線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位： cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀 態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(丄,；2).(I)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在 C - 3二/ -)之外的零件數(shù)，求P(X _1)及X的數(shù)學(xué)期望；(n) 一天內(nèi)抽檢零件中，如

6、果出現(xiàn)了尺寸在(-3二，3二)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.(i) 試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；(ii) 下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.9516= 9.97, s = J丄瓦x -X2 =1 16 _g x2 16X22叱0.212，其中Xi為抽取的第i個零件的尺寸，i =1,2，,16 .用樣本平均數(shù)X作為的估計值芒,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為二的估計值占, 利用估計值判斷是否

7、需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除?-3:?, ? 3；:?之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和二精確到0.01.附：假設(shè)隨機變量 Z服從正態(tài)分布 N巴r2，貝V P»阮vZ £卩+亦=0.997 4 ,0.997 4= 0.959 2 , 、0.008 ： 0.09.【解析】I抽取的一個零件的尺寸在-3匚，.二：3二之內(nèi)的概率為 0.9974，從而零件的尺寸在-3二，."3二之外的概率為 0.0026,故 X B16,0.0026,因此 PX _1=1 -PX =0 =1 -0.9974160.0408, X 的數(shù)學(xué)期望為 EX =16 0.0026 = 0.0416.

8、H i如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在 -3， 3二之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在-3；二匚之外的零件的概率只有0.0408,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過 程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.ii 由x =9.97, s O.212，得的估計值為？ = 9.97,；的估計值為:? = 0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以 看出有一個零件的尺寸在？ -3；：?, ? - 3?之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.1剔除？ -3；? ? - 3?之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平

9、均數(shù)為16 9.97 - 9.22 =10.021516因此的估計值為 10.02. ' Xi2 =16 0.2122 16 9.972 : 1591.134 ,i生剔除？ -3氓? - 3?之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為1 2 2 1591.134 9.222 15X0.022肚 0.008，因此氐的估計值為 J0"008 常 0 09.15【評析】面對試題中冗長的文字表述，學(xué)生方寸大亂，不知所措，從而失去讀題、解題信心；沒有形 成通讀全題的習(xí)慣，未能發(fā)現(xiàn)試題所附相關(guān)公式；未能根據(jù)試題提供的相關(guān)公式，提取零件的尺寸在 "之外的概率為 0.0026;未能準(zhǔn)

10、確把握較長問句“生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了 異常情況的關(guān)鍵詞等，導(dǎo)致答復(fù)以下問題含混不清、詞不達(dá)意.3 讀圖識圖能力弱學(xué)生面對一堆數(shù)據(jù)無從下手，主要原因是對數(shù)據(jù)、圖表的直觀印象和積累儲藏的知識經(jīng)驗不夠；沒有t月形成“用數(shù)據(jù)說話的統(tǒng)計觀念；對抽象數(shù)據(jù)的數(shù)字特征理解不到位.【例3】2021年全國卷川理4某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖.圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15 C , B點表示四月的平均最低氣溫約為 5 C 下面表達(dá)不正確的 是(A)各月的平均最低氣溫都在 0 C以上(B)七月的平均溫差比一月的平均溫差大(C)三月和十一月

11、的平均最高氣溫根本相同(D)平均最高氣溫高于 20 C的月份有5個【解析】由圖可知0 C均在虛線框內(nèi)，所以各月的平均最低氣溫都在0 C以上，A正確；由圖可知七月的平均溫差大于 7.5 C，而一月的平均溫差小于 7.5 C，B正確；由圖可知三月和十一月的平均最高氣 溫都大約在10 C,根本相同，C正確；由圖可知平均氣溫高于 20 C的月份只有7、8兩個月，D錯誤.【評析】解答此題錯誤主要是讀圖識圖能力弱，對圖形中的線條認(rèn)識不明確，不知所措，只覺得是兩把雨傘重疊在一起，找不到解決問題的方法；其次，不會從圖表中讀取有用數(shù)據(jù)并進(jìn)行判斷；第三 ，估計平均溫差時易出現(xiàn)錯誤，錯選B.4 知識缺漏較嚴(yán)重，特別

12、是“冷門知識缺失從學(xué)生認(rèn)知的方面看，學(xué)生對相關(guān)的概念、公式理解掌握不到位，知識缺漏較嚴(yán)重，如對正態(tài)分布、條件概率等概念不清楚另一方面由于老師淡化章節(jié)閱讀與思考、實習(xí)作業(yè)等教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生無視了相關(guān)“冷門知識的學(xué)習(xí)，如相關(guān)系數(shù)等.【例4】(2021年課標(biāo)I文3)在一組樣本數(shù)據(jù)(為，) ,(x2, y2)，(xn,yn)( n_2 ,x,x2,，1Xn不全相等)的散點圖中，假設(shè)所有樣本點(Xi, yj (i =1,2,n)都在直線、二寸 1上，那么這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()1(A) -1(B)0(C)(D) 12【評析】錯誤的原因在于學(xué)生對相關(guān)系數(shù)這一概念不清楚，導(dǎo)致無從下手.全國I卷在202

13、1年及2021年理科均考查到正態(tài)分布、2021年文理科考查非線性回歸轉(zhuǎn)化線性回歸、2021年及2021年文科均考查相關(guān)系數(shù)等，這個問題應(yīng)值得引起我們關(guān)注在復(fù)學(xué)過程中，應(yīng)關(guān)注閱讀與思考、實習(xí)作業(yè)等教學(xué)，應(yīng)注意 對學(xué)生的認(rèn)知進(jìn)行補缺補漏，如正態(tài)分布、條件概率、相關(guān)系數(shù)、殘差圖、擬合效果等知識.5 解題標(biāo)準(zhǔn)性較差涉及本專題內(nèi)容的考查，學(xué)生失誤和失分最多的是會而不對、對而不全和全而不準(zhǔn)，如不能用字母表 示事件，導(dǎo)致在利用簡單事件表示復(fù)雜事件書寫混亂；解答過程缺失關(guān)鍵步驟，丟三落四，導(dǎo)致丟分等.【例5】端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽 2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子

14、的外觀完全相同，從中任意選取3個.(I)求三種粽子各取到 1個的概率；(H)設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【解析】(I )設(shè)A表示事件“三種粽子各取到I個,那么由古典概型的概率計算公式有p(a)2c3c5(n) X的所有可能值為0,1,2 ,那么 P(X =0)=c|Co15 P(X"Ci3015，"X SCo ?15所以X的分布列為X123P771151515771 3故 E(X)=O12個.151515 5A表示事件【評析】從解題標(biāo)準(zhǔn)方面看，學(xué)生常出現(xiàn)錯誤有，沒有用字母表示事件，即缺少“設(shè)1c1c1c11種粽子各取到1個'這一步驟直接寫出p(

15、AT，過程沒寫出來，應(yīng)寫為，一但答案錯誤，就失去過程分?jǐn)?shù)；無視“X的所有可能值為0,1,2 ，導(dǎo)致丟分等.6.運算能力弱運算求解能力主要是指會根據(jù)法那么、公式進(jìn)行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計合理、簡捷的運算途徑，能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計和近似計算 本專題中，學(xué)生運算能力弱主要表達(dá) 在不能根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計合理、簡捷的運算途徑，不能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計和近似計算【例6】(2021年全國卷I文19)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每隔30 min從該生產(chǎn)線上隨機抽取一個零件，并測量其尺寸(單位：cm) 下面是檢驗員在一天內(nèi)依次抽取的 16個零件的尺寸：

16、抽取次序12345678910111213141516零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得 x 二丄'6 Xi =9.97 ,1 J (Xi -X)2 二 1 C x16x2) 0.212,16 y卅6 J 16 yFZZ18.439£x-X)(8.5) 2.78，其中"抽取的第i個零件的尺寸，i十，,16 .i 4i #(I)求(xj) (i =1,2,16)的相關(guān)系數(shù)r，并答復(fù)是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或

17、變小(假設(shè)|r卜：0.25，那么可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小).(n) 一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(x -3s, x 3s)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.(i)從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?(ii)在(X 一3s,X 3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的、(x -x)(y _y)i 4附：樣本(x,yi) (i =1,2,n)的相關(guān)系數(shù)r二均值與標(biāo)準(zhǔn)差(精確到0.01)E . J0.008 a： 0.09. 阮(Xi x)2 任(y

18、-y)2i 41 i 二【解析】(I)由樣本數(shù)據(jù)得(x,i)(i =1,2,.,16)的相關(guān)系數(shù)為16' (x -X)(i -8.5)i 416278 :0.18- L2 心20.212疋辰漢 18.439' (人 _x)2 ' (i -8.5)2i 2, i ±162 、.由于| r | ： 0.25，因此可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小.(n) (i)由于x =9.97, s ：、0.212 ,由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個零件的尺寸在(x-3s,x，3s)以外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.(ii)易9除離群值，即第1

19、3個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為丄(16x9.97 -9.92)=10.02，這條生產(chǎn)線當(dāng)天1615222生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計值為10.02, ' xi =16 0.21216 9.971591.134 ,剔除第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為丄(1591.1349.222 15漢10.022)吧0.008 .15這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計值為,0.008 ： 0.09.16【評析】從運算方面看，學(xué)生不懂從s二1 7 (x -x)2161 161 c x2 T6x2)肚0.212中解出16 y16' (x -X)2 =16 0.2122 ；不會計算 r 二-2

20、.780.212,16 18.439的值，不懂根據(jù)保存小數(shù)點后兩位的要求,實施近似處理以簡化運算；不懂直接由-2.780.212、16 18.439采用放縮方法判斷是否滿足| r卜:0.25 ；不會由x =9.97和s >0.212計算出區(qū)間1(x -3s,x 3s)的端點值 9.334,10.606 ；計算 xx 時,15匚15不懂得先做相反數(shù)相消處理或各項統(tǒng)一別離1 15 ' 1 15 '10后轉(zhuǎn)化為xw仁Xi計算；計算xXi時，不懂16得轉(zhuǎn)化為丄Xi -冷，再利用 15X=9.97簡化運算；計算s2 點0.07 2 ° 06"2 01S0.022

21、 0.2420.112 0.112 02 0.022 0.032 0.072 =0.00813 ： 0.008，不懂得各項統(tǒng)一提取2 1 2 2 2 20 012的技巧；計算s =16X0.212 +16X9.97 -9.22 -110.02 時，不懂得在保證精確度要求15的前提下作近似處理以簡化運算、解決冋題的思考與對策1 關(guān)注統(tǒng)計圖表的教學(xué)高考試卷的解答題往往以頻率分布表、頻率分布直方圖、柱形圖、折線圖、莖葉圖五個樣本頻率分布圖表為載體，理科側(cè)重考查隨機變量的分布列及期望，文科側(cè)重考查樣本數(shù)字特征的應(yīng)用，突出了對應(yīng)用 意識、數(shù)據(jù)處理能力及創(chuàng)新能力的考查復(fù)習(xí)過程中，應(yīng)充分利用五個樣本頻率分布

22、圖表，讓學(xué)生會圖表 中讀取有用數(shù)據(jù)，或根據(jù)問題需要選擇適宜圖表，依據(jù)統(tǒng)計學(xué)中的方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，作出合理的決策.【例7】【2021年全國卷H文、理3】根據(jù)下面給出的2004年至2021年我國二氧化硫排放量 單位:A .逐年比擬，2021年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B . 2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C . 2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D . 2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)【解析】對于 A選項，由圖知從2007年到2021年二氧化硫排放量下降得最多，正確；對于 B選項，由圖知，由2006年到2007年矩形高度明顯下降，正確；對于 C選項，由圖知，從

23、 2006年以后除2021年稍有上升外，其余年份都是逐年下降，C正確；由圖知，2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，D錯誤.2 關(guān)注樣本數(shù)字特征的含義、方差與標(biāo)準(zhǔn)差有的含義，并能根據(jù)解決問題的需在復(fù)習(xí)中，應(yīng)關(guān)注眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)期望要選擇合理的數(shù)字特征說明問題.【例8】【2021年課標(biāo)卷n文19】某市為了考核甲、 乙兩部門的工作情況，隨機訪問了 50位市民.根，繪制莖葉圖如下:044 R97661121I0據(jù)這50位市民對這兩部門的評分評分越高說明市民的評價越高0 I I 2346M »00 1 1 2 1 J 4 50 >14 56U44I分別估計該市的市民對甲、

24、乙部門評分的中位數(shù);n分別估計該市的市民對甲、乙部門的評分高于90的概率;川根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價.【解析】I由所給莖葉圖知，50位市民對甲部門的評分由小到大排序，排在第 25, 26位的是75,75.50位市民對乙部門的評75,故樣本中位數(shù)為75,所以該市的市民對甲部門評分的中位數(shù)的估計值是分由小到大排序，排在第25, 26位的是66, 68,故樣本中位數(shù)為66 68 =67，所以該市的市民對乙部2門評分的中位數(shù)的估計值是67.n由所給莖葉圖知,50位市民對甲、乙部門的評分高于90的比率分別為 5 -0.1 ,8 -0.16 ,5050故該市的市民對甲、乙部門的評分高于

25、90的概率的估計值分別為 0.1 , 0.16 .川由所給莖葉圖知，市民對甲部門的評分的中位數(shù)高于對乙部門的評分的中位數(shù)，而且由莖葉圖可 以大致看出對甲部門的評分的標(biāo)準(zhǔn)差要小于對乙部門的評分的標(biāo)準(zhǔn)差，說明該市市民對甲部門的評價較高、評價較為一致，對乙部門的評價較低、評價差異較大.注：考生利用其他統(tǒng)計量進(jìn)行分析，結(jié)論合理的同樣給分3.厘清事件及其概率復(fù)習(xí)過程中，應(yīng)厘清事件間的關(guān)系， 準(zhǔn)確計算相關(guān)事件的概率. 特別要求學(xué)生能將復(fù)雜事件進(jìn)行分解， 先分解為互斥事件，每個互斥事件又分解為兩個相互獨立事件的積事件.【例9】2021年全國卷I理19 一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗，檢驗方案是：先從這批產(chǎn)品中任取

26、4件作檢驗，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為 n .如果n = 3 ,再從這批產(chǎn)品中任取 4件作檢驗，假設(shè)都為優(yōu) 質(zhì)品，那么這批產(chǎn)品通過檢驗；如果n = 4，再從這批產(chǎn)品中任取 1件作檢驗，假設(shè)為優(yōu)質(zhì)品，那么這批產(chǎn)品通過檢驗；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗. 假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為 50% ,即取出的每件產(chǎn)品是1優(yōu)質(zhì)品的概率都為 丄，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨立.2I 求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率；n每件產(chǎn)品的檢驗費用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗所需的費用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】(I )設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件 A

27、l，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì) 品為事件A2，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件 B1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件 B2, 這批產(chǎn)品通過檢驗為事件 A,依題意有A = (A1B1) U (A2B2)，且AiBi與A2B2互斥，41113所以 P(A) = P(A1B"+ P(A2B2)= P(A1)P(B1A1)+ P(A2)P(B2R2)=16 1616 264411111(II )X 可能的取值為 400,500,800，并且 P(X= 400) = 1 -,P(X= 500) =, P(X = 800)=16 16 16164所以X的分布列為X400500800P1

28、11116164EX= 400 11+500 丄 +800 1 = 506.25 .161644 關(guān)注概率模型的識別與應(yīng)用復(fù)習(xí)過程中，應(yīng)關(guān)注概率模型的識別與應(yīng)用，一定要注意弄清題意，找出題中的關(guān)鍵字詞，厘清各種 概率模型及適用范圍如超幾何分布和二項分布是教材中兩個重要概率分布，二項分布與超幾何分布的區(qū)別為，二項分布是有放回的抽樣，每做一次事件，事件A發(fā)生的概率是相同的；超幾何分布是不放回的抽樣，每做一次事件，事件 A發(fā)生的概率是不相同的.【例10】某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，從該流水線上隨機抽取40件產(chǎn)品作為樣本，測得它們的重量(單位：克) ，將重 量按如下區(qū)間分組：(490

29、,495 , (495,500 , (500 , 505, (505 ,510, (510 ,515，得到樣本的頻率分布直方圖(如下圖).假設(shè)規(guī)定重量超過求X的分布列和數(shù)學(xué)期望 E(X)；495克但不超過510克的產(chǎn)品為合格產(chǎn)品，且視頻率為概率，答復(fù)以下問 題：(I)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為合格產(chǎn)品的數(shù)量,(I)假設(shè)從流水線上任取 3件產(chǎn)品，求恰有2件合格產(chǎn)品的概率.【解析】(I)由樣本的頻率分布直方圖得，合格產(chǎn)品的頻率為0.04 5 0.07 5 0.05 5 = 0.8所以抽取的40件產(chǎn)品中，合格產(chǎn)品的數(shù)量為40 0.8 =32 .那么X可能的取值為0, 1, 2,所以P

30、X；C；0195P X =1 -CC264 ；C：195C=124C40195因此X的分布列為X012764124P195195195故X數(shù)學(xué)期望E(x)=o Z 1色.2竺=312=81951951951955(H)因為從流水線上任取1件產(chǎn)品合格的概率為所以從流水線上任取 3件產(chǎn)品，恰有2件合格產(chǎn)品的概率為2c 31 丫4)P=C3 - II-2人5丿481255 關(guān)注用樣本估計總體的思想分析解決問題復(fù)習(xí)過程中，應(yīng)讓學(xué)生掌握，為了考察一個總體的情況，在統(tǒng)計中通常是從總體中抽取一個樣本，用樣本的有關(guān)情況去估計總體的相應(yīng)情況這種估計大體分為兩類：用樣本的頻率分布估計總體的分布、用樣本的數(shù)字特征估

31、計總體的數(shù)字特征.其次，“預(yù)測與決策與人們的生活休戚相關(guān)隨著社會的不斷進(jìn) 步，人們對許多實際問題會有多種解決方案，但哪種方案最有利于解決問題，需要進(jìn)行科學(xué)的決策而通 過期望、方差等的計算，并進(jìn)行大小比擬，就是其中的一種科學(xué)預(yù)測與決策的手段.【例11】【2021年課標(biāo)I理19】某公司方案購置 2臺機器，該種機器使 用三年后即被淘汰機器有一易損零件，在購進(jìn)機器時，可以額外購置這種零 件作為備件，每個200元在機器使用期間，如果備件缺乏再購置，那么每個500 元現(xiàn)需決策在購置機器時應(yīng)同時購置幾個易損零件，為此搜集并整理了 100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺機器

32、更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購置2臺機器的同時購置的易損零件數(shù)(I)求X的分布列;(n)假設(shè)要求 P(X _n) _0.5，確定n的最小值；(川)以購置易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n -19與n -20之中選其一，應(yīng)選用哪個？【解析】(I)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8, 9, 10, 11的概率分別為 0.2, 0.4, 0.2, 0.2,從而 P(X=16)=0.2 0.2=0.04 ; P(X =17) =2 0.2 0.4=0.16 ;P(X =18) =

33、2 0.2 0.20.4 0.4 =0.24 ； P(X=19)=2 0.2 0.22 0.4 0.2 = 0.24 ；P(X =20) =2 0.2 0.40.2 0.2 =0.2 ; P(X =21) =2 0.2 0.2 =0.08 ; P(X=22)=0.2 0.2 = 0.04.所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(n)由(I)知 P(X <180.44 , P(X19)=0.68，故 n 的最小值為 19.(川)記Y表示2臺機器在購置易損零件上所需的費用(單位：元)當(dāng)n =19時,EY =19 200 0.68

34、 (19 200500) 0.2(19 2002 500) 0.08 - (19 200 3 500) 0.04 =4040.當(dāng) n =20時，EY =20 200 0.88 (20 200500) 0.08(20 2002 500) 0.04 =4080.可知當(dāng)n =19時所需費用的期望值小于 n =20時所需費用的期望值，故應(yīng)選 n =19.6 .關(guān)注“冷門知識的復(fù)習(xí)高考是對高中階段學(xué)習(xí)結(jié)果的大檢閱，統(tǒng)計與概率的考查，在突出核心知識考查的同時，也關(guān)注知識點的覆蓋面因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，要全面檢索高中階段的所有知識，特另惺不能無視對所謂的冷門知 識的復(fù)習(xí)，如正態(tài)分布、條件概率、相關(guān)系數(shù)、殘差圖

35、、擬合效果等.f£l【例12】【2021年課標(biāo)I理18】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣 傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y (單位：t)和年利潤Z (單位: 千元)的影響，對近 8年的年宣傳費 務(wù)和年銷售量(i =1,2,8 )數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值xyw|8 2Z (Xi-X)i呂8 2Z (w - w)i48遲(x x)(yi y)8S (Wi w)(yi y)46.656.36.8289.81.61469108.81 8表中 Wj = Jx , w=_送 wi8 y(I )根據(jù)散點圖判斷，y=a bxy與y=c b x哪一個適宜作

36、為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由 )(n )根據(jù)(I)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立 y關(guān)于x的回歸方程;(川)以知這種產(chǎn)品的年利率 z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x .根據(jù)(n )的結(jié)果答復(fù)以下問題:(i)年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？(ii)年宣傳費x為何值時，年利率的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(比$) , (U2,V2),，(Un,Vn)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分n送(Ui -u)(Vi -V)_別為：=? = v -：u .' (Ui -U)2i m【解析】(I)由散點圖可以判斷，y二c，d x適宜作為年

37、銷售量 y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型.(n )令 w=x，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程.由于Z (W -w)(yi - y) d =毎82送(Wj w)i 4108.81.6=68 ,h = y. w = 563-68 6.8 = 100.6,所以y關(guān)于w的線性回歸方程為y =100.6 68w，因此y關(guān)于x的回歸方程為y = 100.6 68 x .川i由n 知，當(dāng)x=49時，年銷售量y的預(yù)報值y = 100.6 68. 49 = 576.6,年利潤的預(yù)報值 Z二0.2 576.6 - 49二66.32 .根據(jù)n 的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報值Z =0.2100.6 68. x -xx 136

38、_.x *20.12 ,13 6 所以當(dāng).x6.8，即x =46.24時，z取得最大值.27.加強閱讀理解能力培養(yǎng)與訓(xùn)練統(tǒng)計與概率進(jìn)一步強化應(yīng)用意識的考查，已成高考命題改革的必然趨勢，試卷試題文字閱讀量的逐年 增加，或成高考試卷的開展趨勢.復(fù)習(xí)中，應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)的閱讀指導(dǎo).應(yīng)該呈現(xiàn)讀題提取關(guān)鍵信息、析題形成解題思路、解題示范標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)、反思積淀解題經(jīng)驗的“四步曲完整過程，才能充分發(fā)揮解題教學(xué)的效 益.其次，加強平時的閱讀訓(xùn)練.需要適當(dāng)增加平時作業(yè)習(xí)題的閱讀量，尤其是應(yīng)用性試題的讀題訓(xùn)練,提高學(xué)生的閱讀理解能力及應(yīng)試心態(tài).【例13】【2021年課標(biāo)I理18】從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)

39、品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：_ 2I 求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s 同一 組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表；Z服從正態(tài)分布Nd、：2，其中近似為樣n由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值本平均數(shù)x ,：.2近似為樣本方差s2 .i利用該正態(tài)分布，求 P187.8 Z <212.2；ii某用戶從該企業(yè)購置了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間187.8,212.2的產(chǎn)品件數(shù)，利用i的結(jié)果，求EX .附：150 12.2假設(shè) Z N，2，那么 PZ ：、=0.6826, P-2： Z 丄川2、=0.9544 .【解析

40、】I 抽取產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差S2分別為X =170 0.02 180 0.09 190 0.22 200 0.33 210 0.24 220 0.08 230 0.02=200,2 2 2 2 2 2 2s = -300.02 亠 i 200.09 亠 i 100.22 0 0.33 亠100.24 亠200.08 亠 i 300.02 =150(n) (i)由(I )知 Z N(200,150),從而 P(187.8 : Z ： 212.2) = P(200 _12.2 ：Z :：: 200 12.2) =0.6826 ,(ii)由(i)知，一件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間(

41、187.8,212.2 )的概率為0.6826 ,依題意知 X J B(100,0.6826)，所以 EX =100 0.6826 = 68.26 .&標(biāo)準(zhǔn)答題表達(dá)形式標(biāo)準(zhǔn)答題，一方面，思考問題要標(biāo)準(zhǔn)也就是從知識的源頭出發(fā)，弄清知識的來龍去脈知識是怎么要求的，就怎么想、怎么用、怎么寫，不能模棱兩可，要會運用知識進(jìn)行思考；另一方面，書寫要標(biāo)準(zhǔn).書寫標(biāo)準(zhǔn)是一個重要的高考增分點，這一點應(yīng)引起足夠重視.如解題中應(yīng)注意用字母表示事件，注意作答等.【例14】( 2021年全國卷n理18)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A , B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了 20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：

42、A 地區(qū)：6273 8192958574645376 78869566977888827689B 地區(qū)：7383625191465373 64829348658174565476 6579(I)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比擬兩地區(qū)滿意度評分的平均值 及分散程度(不要求計算出具體值，得出結(jié)論即可)；(n)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個不等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意記時間C: “A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級 假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價結(jié)果相互獨立根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相

43、應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率.【解析】(I)略(n)記CA1表示事件：“ A地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意或非常滿意；Ca2表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為非常滿意；CB1表示事件：“ B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意；CB2表示事件：“ B地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意，那么 Ca1 與 CB1 獨立，Ca2 與 CB2 獨立，CB1 與 CB2 互斥，C = (Cb1CaJ U (CbqCa?),P(C)二p(CbQa1)U(Cb2Ca2)二p(CbQa1)p(Cb2Ca2)= pgjpgj P(Cb2)P(Ca2),16410由所給數(shù)據(jù)得CA1, Ca2, CB1,CB2發(fā)生的頻率分別為, ,

44、20 20 20故 P(CaJ =，P(Ca2)二二卩©二冬卩皿)=2，20 20 20 20所以 P(C)二164 1080.48 .20 20 20 20三、典型問題剖析典型一：關(guān)注統(tǒng)計圖表應(yīng)用820，100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)【例15】(2021年課標(biāo)I卷文18)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取 量指標(biāo)值，由測量表得如下頻數(shù)分布表:質(zhì)量指標(biāo)值分組75, 85)85 , 95)95 , 105)105, 115)115, 125)頻數(shù)62638228(I)在答題卡上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:(H)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)9

45、5的產(chǎn)品至少要(川)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于占全部產(chǎn)品的80% 的規(guī)定?17I(n)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為x=80 0.06 90 0.26 100 0.38 110 0.22 120 0.08 = 100.質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為s2 =(20丫 江0.06+(10$ 匯0.26+0江0.38+(10)2 匯0.22 +(20 丫匯0.08 = 104 .(川)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計值為0.38+0.22+0.08=0.68.由于該估計值小于0.8,故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%

46、 的規(guī)定.【評析】此題主要考查考查頻數(shù)分布表、頻率分布直方圖、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及概率.在能力層面上， 結(jié)合頻數(shù)分布表，考查對數(shù)據(jù)的處理能力，結(jié)合利用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征，考查了樣本估計總體的思想；統(tǒng)計與概率問題離不開圖表的讀、畫、識、斷直觀感知數(shù)據(jù)一動手操作體驗數(shù)據(jù)一客觀推斷作出評價 是此題考查的一大特色，基于此，解題的關(guān)鍵是，以頻數(shù)分布表為根底，要 會畫頻率分布直方圖，并能利用頻率分布直方圖計算平均數(shù)和方差，能結(jié)合樣本數(shù)據(jù)對總體進(jìn)行估計應(yīng) 注意由于不能正確作出頻率分布直方圖引起的失分.典型二：突出核心知識考查【例15】(2021年課標(biāo)川卷理18)某超市方案按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)

47、貨量相同，進(jìn)貨本錢每瓶4元,售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：C)有關(guān)如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于 20,需求量為200瓶，為了確定六月份的訂購方案，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫10,15)15,20)120 ,25 )肉，30)30,35 )135,40 )天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(I)求六月份這種酸奶一天的需求量X (單位：瓶)的分布列；

48、(n)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為丫(單位：元)當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量(單位:瓶)為多少時，Y的數(shù)學(xué)期望到達(dá)最大值？【解析】(I)由題意知，X所有可能取值為200,300,500 ,由表格數(shù)據(jù)知P X =200 二16 =0.2 , P X =300 二36 =0.4 , P X =500 = 25 7 4 丸必.909090因此X的分布列為：X200300500P0.20.40.4(n)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500,至少為200，因此只需考慮200乞n乞500.當(dāng)300空n乞500時，假設(shè)最高氣溫不低于25,那么Y =6n4n =2n ；假設(shè)最高氣溫位于區(qū)間20,25

49、)，那么 Y = 6 3002(n -300) -4n =1200-2n ；假設(shè)最高氣溫低于 20,那么 Y = 6 200 2(n -200) -4n =800 -2n ,因此 EY =2n 0.4 (1200 -2n) 0.4 (800 -2n) 0.2 =640 -0.4n .當(dāng) 200 乞 n : 300 時，假設(shè)最高氣溫不低于20,那么Y =6n -4n =2n ；假設(shè)最高氣溫低于 20,那么 丫 = 6 200 2(n -200) -4n =800 -2n ,因此 EY =2n (0.40.4)(800 -2n) 0.2 =160 1.2n ,520 元.所以n =300時，Y的數(shù)

50、學(xué)期望到達(dá)最大值，最大值為【評析】此題主要考查頻數(shù)分布表、離散型隨機分布列及期望、分段函數(shù)等；解題的關(guān)鍵在于根據(jù)頻 數(shù)分布表，正確列出隨機變量 X的分布列；其次應(yīng)對六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量進(jìn)行合理的分類討論; 應(yīng)注意由于X所有可能取值計算錯誤引起的失分.典型三：注重學(xué)科知識交會【例15】(2021年全國卷I文19)某公司方案購置1臺機 器，該種機器使用三年后即被淘汰機器有一易損零件，在購 進(jìn)機器時，可以額外購置這種零件作為備件，每個200元在機器使用期間，如果備件缺乏再購置，那么每個500元.現(xiàn)需決策在購置機器時應(yīng)同時購置幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損

51、零件數(shù)，得下面柱狀圖:記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺機器在購置易損零件上所需的費用(單 位：元)，n表示購機的同時購置的易損零件數(shù).(I)假設(shè)n =19，求y與x的函數(shù)解析式；(n)假設(shè)要求 需更換的易損零件數(shù)不大于 n的頻率不小于0.5,求n的最小值;(川)假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購置19個易損零件，或每臺都購置20個易損零件，分別計算這100臺機器在購置易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購置1臺機器的同時應(yīng)購置19個還是20個易損零件？【解析】(I)當(dāng) X 叮9 時，y =3800 ;當(dāng) x 19 時，y =3800 500(x -19

52、) = 500x - 5700 ,3800,xE19,*所以y與x的函數(shù)解析式為 y(X，N).l500x-5700, x>19(n)由柱狀圖知，需更換零件數(shù)不大于18的頻率為0.46,不大于19的頻率為0.7，故n的最小值為19.(川)假設(shè)每臺機器在購機同時都購置19個易損零件，那么這100臺機器中有70臺在購置易損零件上的費用為3800, 20臺的費用為4300, 10臺的費用為4800,因此這100臺機器在購置易損零件上所需費用的平均1 數(shù)為 (3800? 704300? 204800? 10)4000.100假設(shè)每臺機器在購機同時都購置20個易損零件，那么這100臺機器中有90臺

53、在購置易損零件上的費用為4000 ,10臺的費用為4500 ,因此這100臺機器在購置易損零件上所需費用的平均數(shù)為1(4000 90 4500 10)= 4050.100比擬兩個平均數(shù)可知，購置1臺機器的同時應(yīng)購置19個易損零件.【評析】此題以購置機器易損零件的規(guī)劃設(shè)計為背景，將統(tǒng)計與概率問題與簡單優(yōu)化問題自然融合，主要考查了分段函數(shù)、頻率、隨機變量數(shù)字特征等根底知識，綜合考查學(xué)生的建模能力和運用所學(xué)數(shù)學(xué)分析與解決問題的能力. 解題的關(guān)鍵在于根據(jù)讀懂柱狀圖，其次在解決問題(川)應(yīng)能進(jìn)行合理的分類討論;應(yīng)注意由于假設(shè)對題意及柱狀圖理解不到位，頻率計算錯誤導(dǎo)致失分.典型四：關(guān)注實際生活應(yīng)用【例15】(2021年省質(zhì)檢理18)某學(xué)校為鼓勵家校互動，與某 通訊商合作，為教師辦理流量套餐為了解該校教師 流量使用情況，通過抽樣，得到100位教師近2年每人 月平均使用流量L(單位：M)的數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如下:頻率組距'0.00350.00250.002；0.0008-0.0002100200300400500600700 流量 L/M假設(shè)將每位教師的 月平均使用流量分別視為其 月使用流量，并將頻率視為概率，答復(fù)以下問題:(I )從該校