空間幾何體的表面積和體積

1、空間幾何體的外表積和體積一課標(biāo)要求：了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的外表積和體積的計(jì)算公式不要求記憶公式。二. 命題走向近些年來(lái)在高考中不僅有直接求多面體、 旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問(wèn)題，也有面積或體 積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問(wèn)題。 即使考查空間線面的位置關(guān)系問(wèn)題， 也常以幾 何體為依托因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式同時(shí)也要學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，會(huì)把組合體求積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為根本幾何體的求積問(wèn)題，會(huì)等體積轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題，會(huì)把立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解，會(huì)運(yùn)用割補(bǔ)法等求解。三. 要點(diǎn)精講1.多面體的面積和體積公式名稱側(cè)面積S側(cè)全面積S全體積V棱柱棱柱直截面周長(zhǎng)x IS側(cè)+2S底S

2、底 h=S直截面 h直棱柱chS底 h棱錐棱錐各側(cè)面積之和S側(cè)+S底-S 底 h3正棱錐1 ch2棱臺(tái)棱臺(tái)各側(cè)面面積之和S側(cè)+S上底+S下底-hS上底+S下底3$下底，S下底 正棱臺(tái)1一 (c+c )h 2表中S表示面積，c、c分別表示上、下底面周長(zhǎng)，h表斜咼，h 表示斜咼，I表示側(cè)棱長(zhǎng)。2 .旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球S側(cè)2 n rln rln (r 1+2)lS全2 n r(l+r)n r(l+r)2 2 .n (r 1+r2)l+ n (r 計(jì)r 2)24 n RVn r 2h(即 n r 2|)12hn r h3122-n h(r 計(jì)r1+r 2)343n R3表中I、h

3、分別表示母線、咼，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，ri、分別表示圓臺(tái) 上、下底面半徑，R表示半徑。四. 典例解析題型1:柱體的體積和外表積例1 一個(gè)長(zhǎng)方體全面積是 20cm2,所有棱長(zhǎng)的和是 24cm,求長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高、對(duì)角線長(zhǎng)分別為xcm、ycm、zcm、Icm2(xy 十 yz + zx) = 204(x + y + z) = 24(2) 2 得：x2+y(3) ( 1)得 l2=16依題意得:由 由 即2 2+z +2xy+2yz+2xz=36、,2 2 2x +y +z =16(3)所以 l=4(cm)。點(diǎn)評(píng)：涉及棱柱面積問(wèn)題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又

4、以正方體、 長(zhǎng)方體的表面積多被考察。我們平常的學(xué)習(xí)中要多建立一些重要的幾何要素(對(duì)角線、內(nèi)切)與面積、 體積之間的關(guān)系。例2 .如圖1所示，在平行六面體 ABCD A1BQ1D1中，AB=5 , AD=4 , AA1=3,AB 丄 AD，/ A1AB= / A1AD=。3(1) 求證：頂點(diǎn) A1在底面ABCD上的射影0在/ BAD的平分線上；(2) 求這個(gè)平行六面體的體積。* D圖1圖2解析：(1)如圖2,連結(jié)AQ，那么A1O丄底面ABCD。作0M丄AB交AB于M，作0N 丄AD交AD于N，連結(jié)A1M , A1N。由三垂線定得得 A1M丄AB , A1N丄AD。：/ A1AM= / A1AN

5、, Rt A1NA 也 RtA A1MA, A1M=A 1N ,從而0M=0N。點(diǎn)0在/ bad的平分線上。兀1 3(2) - AM=AA 1cos =3 X =3 2 2AM 3小-A0= 2。兀 2cos4又在 Rt AOA i 中，AiO2=AA 12 -AO2=9 9 = 9 ,2 23 23 2 A1o=，平行六面體的體積為 V = 5 4 =301.2。2 2題型2:柱體的外表積、體積綜合問(wèn)題例3 一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是一 2, 3八6，這個(gè)長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)是C. 6D.、6解析：設(shè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三邊長(zhǎng)分別為a=1, b=2 , c= , 3，那么對(duì)角線I的長(zhǎng)為1

6、= . a2 b2 c2 二.6 ；答案 D。點(diǎn)評(píng)：解題思路是將三個(gè)面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體積的幾何要素一棱長(zhǎng)。例4 .如圖，三棱柱 ABC-ABC中，假設(shè)E、F分別為AB AC的中點(diǎn)，平面 EBCi將三棱柱分成體積為 Vi、V2的兩局部，那么 Vi : Va= _ 。解：設(shè)三棱柱的高為 h，上下底的面積為 S,體積為V,那么V=V+Va= Sh。 E、F分別為AB AC的中點(diǎn),Sa aef= S,V1=h(S+S+S 存戶V2=Sh-Vi = Sh,12二 V : V2=7 : 5。點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是棱柱、 棱臺(tái)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系, 關(guān)系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可。建立起求解體積的幾

7、何元素之間的對(duì)應(yīng)題型3:錐體的體積和外表積例5.(2021山東卷6)右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)， 可得該幾何體的外表積是D(A)9 n( B) 10n(C)11 n(D)12n(2021江西卷10)連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦。半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長(zhǎng)度分別等于2、7、4、3 , M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng)，有以下四個(gè)命題:弦AB、CD可能相交于點(diǎn)MMN的最大值為5 其中真命題的個(gè)數(shù)為CA. 1個(gè) B . 2個(gè) C . 3個(gè)(2021湖北卷3)弦AB、CD可能相交于點(diǎn)NMN的最小值為1D . 4個(gè)用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積

8、為:，那么球的體積為BA.B.C. 8、 2二 D.點(diǎn)評(píng)：本小題重點(diǎn)考查線面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱錐的體積。在能力 方面主要考查空間想象能力。例 6. (2021 北京，19).(本小題總分值12分)如圖，在四棱錐 P _ ABCD中，平面PAD _平面ABCD , AB / DC , PAD是等邊三角形， BD=2AD=8 , AB=2DC=4.,5 .(I)設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面 MBD _平面PAD ;(n)求四棱錐 P - ABCD的體積.(I)證明：在 ABD中,由于 AD =4 , BD =8 , AB = 4.5 ,PMCO所以 AD2 BD2 二 AB2.

9、故 AD _ BD.又平面PAD _平面ABCD，平面PAD平面ABCD = AD , BD 二平面 ABCD ,所以BD _平面PAD ,又BD 平面MBD ,故平面MBD _平面PAD .(n)解：過(guò) P作PO_AD交AD于O,由于平面PAD _平面ABCD ,所以PO _平面ABCD .因此PO為四棱錐P - ABCD的高，乂 PAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.因此 PO =二 4 =2.3 .2在底面四邊形 ABCD中，AB / DC , AB =2DC ,所以四邊形ABCD是梯形，在 RtA ADB中，斜邊 AB邊上的高為4 8 8*54.55此即為梯形ABCD的高,2 J5 + 4 J

10、5所以四邊形 ABCD的面積為S = 3 土5 2衛(wèi)=24 .25故 VpBCD 4 24 2 3 =16 3. 3點(diǎn)評(píng)：此題比擬全面地考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。要求對(duì)圖形必須具備一定的洞察力，并進(jìn)行一定的邏輯推理。題型4:錐體體積、外表積綜合問(wèn)題例7. ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且 GC= 2,求點(diǎn)B到平面EFC的距離？解：如圖，取 EF的中點(diǎn)0,連接 GB、GO、CD、FB構(gòu)造三棱錐 B EFG。AE83 一設(shè)點(diǎn) B 到平面 EFG 的距離為 h, BD = 4. 2 , EF = 22 , CO =- X 4、2

11、= 3、2 。4GO =、C02 GC2 二、3.22 22 二 18 4 22。而GC丄平面ABCD，且GC = 2。11由 VB _EFG - VG _EFB，得；EF GO hEFB，63點(diǎn)評(píng)：該問(wèn)題主要的求解思路是將點(diǎn)面的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為體積問(wèn)題來(lái)求解。構(gòu)造以點(diǎn)B為頂點(diǎn)， EFG為底面的三棱錐是解此題的關(guān)鍵，禾U用同一個(gè)三棱錐的體積的唯一性列方 程是解這類題的方法，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算。例& 2007江西理，12如圖，在四面體ABCD中,截面AEF經(jīng)過(guò)四面體的內(nèi)切球與 四個(gè)面都相切的球球心O,且與BC DC分別截于E、F,如果截面將四面體分成體積相等的兩局部，設(shè)四棱錐A BEFD與三棱錐A E

12、FC的外表積分別是 S, S,那么必有A. S S2C. S=SD. S1, S2的大小關(guān)系不能確定b解：連 OA、OB、OC、OD, 貝V VA BEFD = V O ABD + VO ABE + VO BEFDVa EFC= V o ADC + V o AEC + V O EFC 又 VA BEFD = VA EFC,而每個(gè)三棱錐的咼都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故Sabd + Sabe + Sbefd = Sadc + Saec+ Sefc又面AEF公共，應(yīng)選 C點(diǎn)評(píng)：該題通過(guò)復(fù)合平面圖形的分割過(guò)程，增加了題目處理的難度，求解棱錐的體積、 外表積首先要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的

13、對(duì)應(yīng)關(guān)系。題型5:棱臺(tái)的體積、面積及其綜合問(wèn)題例9. 2021四川理，19本小題總分值12分如圖，面ABEFL面ABCD四邊形ABEF與四邊形 ABCD都是直角梯形，/ BAD/ FAB=90 ,11BCL丄AD, BE-AF, G H分別是FA、FD的中點(diǎn)。22I 證明：四邊形 BCHG是平行四邊形；n C、D E、F四點(diǎn)是否共面？為什么？川設(shè)AB=BE證明：平面 ADEL平面 CDE.)解法一：(I )由題設(shè)知，F(xiàn)G=GA,FH=HD.1所以GH -AD ,21 又BC丄 AD ,故GH BC2所以四邊形BCHG平行四邊形(n )C、D F、E四點(diǎn)共面理由如下：1由BE童一AF,G是FA的

14、中點(diǎn)知，BEGF所以EF/ BG 2由(I )知BG/ GH故FH共面又點(diǎn)D在直線FH上.所以CD F、E四點(diǎn)共面(川)連結(jié) EG 由 AB=BE, BE-AG及/ BAG90。知 ABEG是正方形故BGL EA由題設(shè)知，F(xiàn)A AD AB兩兩垂直，故 AD丄平面FABE因此EA是 ED在平面FABE內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線定理，BGh ED又EDA EA= E,所以BGL平面 ADE由(I )知，CH/ BG所以CHL平面 ADE由(n )知F迂平面CDE故 Ct 平面CDE得平面ADEL平面CDE解法二：由題設(shè)知，F(xiàn)A AB AD兩兩互相垂直如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 AB為x軸正方向建立直角坐

15、標(biāo)系A(chǔ)xyz.(I )設(shè)AB=a,BC=b,BE=,那么由題設(shè)得A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,b,0), D(0,2 b,0), E(a,0, c), G(0,0, c),代0, b,c) 所以， GH = (0,b,0), BC =(0,b,0).T于是GH二BC.又點(diǎn)G不在直線BC上.所以四邊形BCHG平行四邊形(n )C、D、F、E四點(diǎn)共面.理由如下:由題設(shè)知，F(xiàn)(0,0,2 c)，所以EF = (-a,O, c),CH =(-a,O,c),EF =CH,故C、D、F、E四點(diǎn)共面.(川)由 AB=BE 得 c=a,又 AD = (0,2b,0),因此CHAE =O,CH

16、_Ad =0.所以 CH =(_a,0,a),AE =(a,0, a).即CHL AECHL AD又ADA AE =A所以CHL平面ADE故由Ct 平面CDFE得平面 ADEL平面CDE點(diǎn)評(píng)：該題背景較新穎，把求二面角的大小與證明線、面平行這一常規(guī)運(yùn)算置于非規(guī)那么幾何體(擬柱體)中，能考查考生的應(yīng)變能力和適應(yīng)能力，而第三步研究擬柱體的近似計(jì)算公式與可精確計(jì)算體積的辛普生公式之間計(jì)算誤差的問(wèn)題，是極具實(shí)際意義的問(wèn)題。 考查了考生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能。例 10. ( 1) (2021 四川理,8)設(shè)M,N是球心O的半徑OP上的兩點(diǎn)，且 NP二MN=OM，分別過(guò)N,M,0作垂線于OP的面截球得三個(gè)圓，那么

17、這三個(gè)圓的面積之比為：(D )(A) 3,5,6(B) 3,6,8(C) 5,7,9(D) 5,8,9【解】：設(shè)分別過(guò)N, M ,O作垂線于OP的面截球得三個(gè)圓的半徑為r1,r2,r3，球半徑為R ,那么：=R2-r=|r2,22二R2-=8R2,r3R2- |r二 R23 93932 2 2 A :2 : b =5:8:9 這三個(gè)圓的面積之比為：5,8,9 應(yīng)選D【點(diǎn)評(píng)】：此題重點(diǎn)考察球中截面圓半徑，球半徑之間的關(guān)系；【突破】：畫圖數(shù)形結(jié)合，提高空間想象能力，利用勾股定理；例11. ( 2021四川文，12)假設(shè)三棱柱的一個(gè)側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形，另外兩個(gè)側(cè)面都是有一個(gè)內(nèi)角為 600的菱形，

18、那么該棱柱的體積等于(B )(A)2(B) 22(C) 3J2(D) 4邁【解】：如圖在三棱柱 ABC - AG中，設(shè) AA1B1 AAG =60,CB由條件有.GAR =60，作AO _面A1B1C1于點(diǎn)O ,那么 cos ./AAOcos./AAiEcos6013cos._BAOcos3033二 sin _AA|O = AO 二 AA sin . AAO = 2-63* * VABC _A| BiaoCiAO1 2 2 sin60 2 6 =2 223應(yīng)選B【點(diǎn)評(píng)】：此題重點(diǎn)考察立體幾何中的最小角定理和柱體體積公式，同時(shí)考察空間想象能力;【突破】：具有較強(qiáng)的空間想象能力，準(zhǔn)確地畫出圖形是解

19、決此題的前提，熟悉最小角定理 并能準(zhǔn)確應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵；例12.如圖9 9, 一個(gè)底面半徑為 R的圓柱形量杯中裝有適量的水.假設(shè)放入一個(gè)半徑為Rr的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，那么一=r解析：水面高度升高r，那么圓柱體積增加n R2 r。恰好是半徑為r的實(shí)心鐵球的體積,2.33圖CB4 R23因此有一n r3= n R2r。故一=。答案為3r 3點(diǎn)評(píng)：此題主要考查旋轉(zhuǎn)體的根底知識(shí)以及計(jì)算能力和分析、解決問(wèn)題的能力。題型7:圓錐的體積、外表積及綜合問(wèn)題例13.過(guò)球面上 A, B,C三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的半，且AB二BC二CA=2，求球的外表積。解：設(shè)截面圓心為 O：連結(jié)OA，設(shè)球

20、半徑為 R,在 Rt OOA 中，OA2 =OA2 OO2 ,* 一士2-R2264S = 4 ： R9點(diǎn)評(píng)： 正確應(yīng)用球的外表積公式，建立平面圓與球的半徑之間的關(guān)系。例14.如下圖，球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C,如果PA, PB, PC兩兩互相垂直,且PA=PB=PC= a，求這個(gè)球的外表積。解析：如圖，設(shè)過(guò) A、B、C三點(diǎn)的球的截面圓半徑為r，圓心為0，球心到該圓面的距離為do在三棱錐 PABC中，T PA, PB, PC兩兩互相垂直，且 PA=PB=PC=a, AB=BC=CA= . 2 a且P在厶ABC內(nèi)的射影即是 ABC的中心 0。由正弦定理，得2a =2r, r= aosi n60

21、3又根據(jù)球的截面的性質(zhì)，有 00 丄平面ABC，而P0丄平面ABC , P、0、0共線，球的半徑 R=Ur2+d2 o 又 P0 = JpA2 _r2 = Ja2 _#a2 =弓 a, 00 =R 3a=d= .R2-r2,(R - 3a)2=R2 -(6 a)2，解得 R= 3 a,3332 S 球=4 n R2=3 n a2。點(diǎn)評(píng)：此題也可用補(bǔ)形法求解。將PABC補(bǔ)成一個(gè)正方體，由對(duì)稱性可知，正方體內(nèi)接于球，那么球的直徑就是正方體的對(duì)角線，易得球半徑Ra,下略。題型9:球的面積、體積綜合問(wèn)題例15. (1 )外表積為324二的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是 14，求這個(gè)正四棱柱的外表 積。(2)

22、正四面體 ABCD的棱長(zhǎng)為a，球0是內(nèi)切球，球 0勺是與正四面體的三個(gè)面和球 0都 相切的一個(gè)小球，求球 01的體積。解：(1)設(shè)球半徑為 R，正四棱柱底面邊長(zhǎng)為 a ,那么作軸截面如圖， AA = 14, AC =.訛a ,又 4 二 R2 =324 二， R = 9 ,- AC 二，AC2 -CC2 =8.2 , a =8, S表=64 2 32 14 =576一BCD(2)如圖，設(shè)球O半徑為R,球O1的半徑為r, E為CD中點(diǎn)，球O與平面ACD、 切于點(diǎn)F、G,球與平面ACD切于點(diǎn)H .由題設(shè)AG 二AE2 -GE2 AOFs AEGR3a6- 6a - R33a2rA12 AOms AOFa -2R -r36 Da - R3得r，24V球。14：r3 4：13324企3、6a +1728兩點(diǎn)的劣弧長(zhǎng)為二R ( R為地球半徑)，求代B兩點(diǎn)間點(diǎn)評(píng)：正四面體的內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)是面的中心，球心到各面的距離相等。 題型10：球的經(jīng)緯度、球面距離問(wèn)題例19. (1)我國(guó)首都靠近北緯 40：緯線，求北緯40：緯線的長(zhǎng)度等于多少 km ?(地球半徑大約為6370km)(2)在半徑為13cm的球面上有 A, B,C三點(diǎn)，AB二BC二AC = 12cm，求球心到經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)的截面的距離。解：(1)如圖，A是北緯40上一點(diǎn)，AK是它的半徑, OK _ AK ,設(shè)C是北緯40：的緯