251平面幾何中的向量方法

1、2.5 2.5 平面向量應用舉例平面向量應用舉例 2.5.1 2.5.1 平面幾何中的向量方法平面幾何中的向量方法 用有向線段表示向量，使得向用有向線段表示向量，使得向量可以進行線性運算和數量積運算，量可以進行線性運算和數量積運算，并具有鮮明的幾何背景，從而溝通并具有鮮明的幾何背景，從而溝通了平面向量與平面幾何的內在聯(lián)系，了平面向量與平面幾何的內在聯(lián)系，在某種條件下，平面向量與平面幾在某種條件下，平面向量與平面幾何可以相互轉化何可以相互轉化. .問題導入問題導入 平行、垂直、夾角、距離、全平行、垂直、夾角、距離、全等、相似等，是平面幾何中常見的等、相似等，是平面幾何中常見的問題，而這些問題都可

2、以由向量的問題，而這些問題都可以由向量的線性運算及數量積表示出來線性運算及數量積表示出來. .因此，因此，平面幾何中的某些問題可以用向量平面幾何中的某些問題可以用向量方法來解決，但解決問題的數學思方法來解決，但解決問題的數學思想、方法和技能，需要我們在實踐想、方法和技能，需要我們在實踐中去探究、領會和總結中去探究、領會和總結. .問題探討問題探討 例例1.平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型，如圖，平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型，如圖， ，你能發(fā)現平行四邊形，你能發(fā)現平行四邊形 對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關系嗎？對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關系嗎？,ACABAD DBA

3、BAD ABCD平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍例例2 如圖，平行四邊形如圖，平行四邊形 ABCDABCD中，點中，點E E、F F分別是分別是ADAD 、 DCDC邊的中點，邊的中點，BEBE 、 BFBF分別與分別與ACAC交于交于R R 、 T T兩點，你兩點，你能發(fā)現能發(fā)現ARAR 、 RTRT 、TCTC之間的關系嗎？之間的關系嗎？A AB BC CD DE EF FR RT T猜想：猜想：AR=RT=TCAR=RT=TC.,barba ACARADAB則解：解：A AB BC CD DE EF FR RT T又

4、因為 與 共線，所以設EREB.21 bamEBmER .2121,.2121, babbababrmnACnARmERAEAR所以又設所以因為 .31,31,31.31021, 0.21TCRTARACRTACTCACARmnmnmnmnmn 故同理所以解得不共線，所以有、由于向量化簡得ba0baA AB BC CD DE EF FR RT T練習：練習：1.求證：梯形的中位線長等于兩底和的一半。求證：梯形的中位線長等于兩底和的一半。ABCDEF2.設設O為為ABCABC內部的任意一點，內部的任意一點，D D、E E、F F分別為分別為ABAB、BCBC、CACA邊邊的中點，試證：的中點，試

5、證： 。OAOBOCODOEOF 2.5.2 向量在物理中的應用舉例向量在物理中的應用舉例新課新課 例例1 1 上面的問題可以抽象為如右圖所示的數學模型GF 分析分析 只要分析清楚F F、G G、三者之間的關系（其中F F為F F1、F F2的合力）,就得到了問題的數學解釋F F1F F2解：解：不妨設|F F1 1|=|F F2|， 由向量加法的平行四邊形法則，力的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到GF F .2cos21GF F F1F F22cos2GF1 .2cos90021800211小越省力角越大越費力，夾角越之間的夾、由小逐漸變大，即小，因此的值由大變逐漸變大，由變大時，逐漸由現：當由上面的式子，我們發(fā)FFF 探究探究 例例2 2A A。C CD DB BAB B?min1 . 0km/h2km/h,10.m50021）精確到時，所用時間是多少（，問行駛航程最短水流速度已知船的速度處出發(fā)到河對岸一艘輪船從行，河的寬度如圖，一條河的兩岸平 vvAd1v2vv分析分析 A AB B故行駛航程最短時，所用的時間是3.1 min.解：由已知條件得1v2vv(km/h)962221vvv(min).1 . 360965 .