五年級奧數第20講-多邊形的面積

1、 第20講 多邊形的面積我們已經學習過三角形、正方形、長方形、平行四邊形、梯形以及圓、扇形等根本圖形的面積計算，圖形及計算公式如下：正方形面積=邊長×邊長=a2，長方形面積=長×寬=ab，平行四邊形面積=底×高=ah，圓面積=半徑×半徑×=r2，扇形面積=半徑×半徑××圓心角的度數÷360°在實際問題中，我們遇到的往往不是根本圖形，而是由根本圖形組合、拼湊成的組合圖形，它們的面積不能直接用公式計算。在本講和后面的兩講中，我們將學習如何計算它們的面積。例1 小兩個正方形組成下列圖所示的組

2、合圖形。組合圖形的周長是52厘米，DG=4厘米，求陰影局部的面積。分析與解：組合圖形的周長并不等于兩個正方形的周長之和，因為CG局部重合了。用組合圖形的周長減去DG，就得到大、小正方形邊長之和的三倍，所以兩個正方形的邊長之和等于52-4÷3=16厘米。又由兩個正方形的邊長之差是4厘米，可求出大正方形邊長=16+4÷2=10厘米，小正方形邊長=16-4÷2=6厘米。兩個正方形的面積之和減去三角形ABD與三角形BEF的面積，就得到陰影局部的面積。102+62-10×10÷2-10+6×6÷2=38厘米2。例2如左下列圖所示，四邊

3、形ABCD與DEFG都是平行四邊形，證明它們的面積相等。分析與證明：這道題兩個平行四邊形的關系不太明了，似乎無從下手。我們添加一條輔助線，即連結CE見右上圖，這時通過三角形DCE，就把兩個平行四邊形聯系起來了。在平行四邊形ABCD中，三角形DCE的底是DC，高與平行四邊形ABCD邊DC上的高相等，所以平行四邊形ABCD的面積是三角形DCE的兩倍；同理，在平行四邊形DEFG中，三角形DCE的底是DE，高與平行四邊形DEFG邊DE上的高相等，所以平行四邊形DEFG的面積也是三角形DCE的兩倍。兩個平行四邊形的面積都是三角形DCE的兩倍，所以它們的面積相等。例3如左下列圖所示，一個腰長是20厘米的等

4、腰三角形的面積是140厘米2，在底邊上任意取一點，這個點到兩腰的垂線段的長分別是a厘米和b厘米。求a+b的長。分析與解：a，b與三角形面積的關系一下子不容易看出來。連結等腰三角形的頂點和底邊上所取的點，把等腰三角形分為兩個小三角形，它們的底都是20厘米，高分別為a厘米和b厘米見右上圖。大三角形的面積與a，b的關系就顯露出來了。根據三角形的面積公式，兩個小三角形的面積分別為20×a÷2和20×b÷2。因為這兩個小三角形的面積之和等于原等腰三角形的面積，所以有20×a÷2+20×b÷2=140，10×a+b=

5、140，a+b=14厘米。在例2、例3中，通過添加輔助線，使圖形間的關系更清晰，從而使問題得解。下面再看一例。例4如左下列圖所示，三角形ABC的面積是10厘米2，將AB，BC，CA分別延長一倍到D，E，F，兩兩連結D，E，F，得到一個新的三角形DEF。求三角形DEF的面積。分析與解：想方法溝通三角形ABC與三角形DEF的聯系。連結FB見右上圖。因為CA=AF，所以三角形ABC與三角ABF等底等高，面積相等。因為AB=BD，所以三角形ABF與三角形BDF等底等高，面積相等。由此得出，三角形ADF的面積是10+10=20厘米2。同理可知，三角形BDE與三角形CEF的面積都等于20厘米2。所以三角形

6、DEF的面積等于20×3+10=70厘米2。例5一個正方形，將它的一邊截去15厘米，另一邊截去10厘米，剩下的長方形比原來正方形的面積減少1725厘米2，求剩下的長方形的面積。分析與解：根據條件畫出下頁左上圖，其中甲、乙、丙為截去的局部。由左上圖知，丙是長15厘米、寬10厘米的矩形，面積為15×10=150厘米2。因為甲、丙形成的矩形的長等于原正方形的邊長，乙、丙形成的矩形的長也等于原正方形的邊長，所以可將兩者拼成右上圖的矩形。右上圖矩形的寬等于10+15=25厘米，長等于原正方形的邊長，面積等于甲+丙+乙+丙= 甲+乙+丙+丙= 1725+150= 1875厘米2。所以原

7、正方形的的邊長等于1875÷25=75厘米。剩下的長方形的面積等于75×75-1725=3900厘米2。例6有紅、黃、綠三塊同樣大小的正方形紙片，放在一個正方形盒的底部，它們之間互相疊合見右圖。露在外面的局部中，紅色面積是20，黃色面積是14，綠色面積是10，求正方形盒子底部的面積。分析與解：把黃色正方形紙片向左移動并靠緊盒子的左邊。由于三個正方形紙片面積相等，所以原題圖可以轉化成下頁右上圖。此時露出的黃、綠兩局部的面積相等，都等于14+10÷2=12。因為綠：紅=A黃，所以綠×黃=紅×A，A=綠×黃÷紅 =12×

8、12÷20=7.2。正方形盒子底部的面積是紅+黃+綠+A=20+12+12+7.2=51.2。   練習201.等腰直角三角形的面積是20厘米2，在其中做一個最大的正方形，求這個正方形的面積。2.如左下列圖所示，平行四邊形ABCD的周長是75厘米，以BC為底的高是14厘米，以CD為底的高是16厘米。求平行四邊形ABCD的面積。3.如右上圖所示，在一個正方形水池的周圍，環(huán)繞著一條寬2米的小路，小路的面積是80米2，正方形水池的面積是多少平方米？4.如右圖所示，一個長方形被一線段分成三角形和梯形兩局部，它們的面積差是28厘米2，梯形的上底長是多少厘米？5.如下列圖，在三角形ABC中，BD=DF=FC，BE=EA。假設三角形EDF的面積是1，那么三角形ABC的面積是多少？6.一個長方形的周