正態(tài)分布原理

1、正態(tài)分布（一）正態(tài)分布正態(tài)分布的概率密度 如果連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度為 ， (4.29)其中 ， ，則稱隨機(jī)變量 服從參數(shù)為 ， 的正態(tài)分布，記作 。正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差正態(tài)分布的圖形有如下性質(zhì)：1.它是一條以直線 為對(duì)稱軸的鐘形曲線；2.它以橫軸為漸近線，并且在 處有拐點(diǎn)；3.它在 處取得最大值，最大值為： 由此可見，標(biāo)準(zhǔn)差越大 ，的圖形就越平緩，標(biāo)準(zhǔn)差越小，的圖形就越陡峭。 正態(tài)分布的分布函數(shù) ， (4.30) （二）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度參數(shù) ， 的正態(tài)分布，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為 。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度通常用 表示， ， (4.31)的圖形如圖.12所示，它是一條

2、以縱軸 為對(duì)稱軸的鐘形曲線。圖4.12 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)通常用 表示， ， (4.32)圖4.13 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表對(duì)于非負(fù)的實(shí)數(shù) ，可由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表，直接查出 的數(shù)值。對(duì)于負(fù)的實(shí)數(shù) ，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的對(duì)稱性，可由下式 (4.33) 計(jì)算出數(shù)值。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)設(shè)隨機(jī)變量 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，對(duì)于給定的概率水平 ，滿足等式 （4.34） 的正數(shù) ，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 水平的雙側(cè)分位數(shù)；滿足等式（4.35）的正數(shù) ，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 水平的上側(cè)分位數(shù)。圖4.14 正態(tài)分布雙側(cè)分位數(shù) 例4.21 假設(shè) ，求下列概

3、率：1. ； 2. ；3. ；4. 。解 1. 2. 3. 4. （三）正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系如果 ，則 于是，在正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度 和 、分布函數(shù) 和 之間存在下列關(guān)系式：1. （4.36）2. (4.37)3. （4.38）這就是說，計(jì)算任一正態(tài)分布隨機(jī)變量的概率都能通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來實(shí)現(xiàn)。 例4.22 設(shè) ，求下列概率：1. 2. 解 因?yàn)?，所以 。1.2. 例4.23 設(shè) ，求下列概率：1. 2. 3. 解 1. 2. 3. 從上面的結(jié)果可以看出，事件 的概率很小，因此 的取值幾乎全部落在區(qū)間 內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性還不到 。這就是在產(chǎn)品質(zhì)量控制中有重要應(yīng)用的

4、準(zhǔn)則。 （四）正態(tài)分布的應(yīng)用正態(tài)分布在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究及應(yīng)用中具有極其重要的作用，它在各種概率分布中居首要地位，是抽樣和抽樣分布的理論基礎(chǔ)。這是因?yàn)椋?.客觀世界的許多現(xiàn)象都可以利用正態(tài)分布來近似地描述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。例如，人的身高和體重，電子產(chǎn)品的使用壽命，原材料的物理特性，各種各樣的測(cè)量誤差 都可以看作是具有“兩頭小，中間大”分布特征的隨機(jī)變量。具有這種特征的隨機(jī)變量，一般可以認(rèn)為是近似服從正態(tài)分布的。2.正態(tài)分布是許多重要分布的極限分布。例如可以用正態(tài)分布來近似二項(xiàng)分布。3.正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)推斷中有重要的應(yīng)用。例如 分布， 分布和 分布都是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的函數(shù)。 二項(xiàng)分布的正態(tài)近似德莫佛拉普拉斯定理 設(shè)隨機(jī)變量 服從參數(shù)為 ， 的二項(xiàng)分布 ，那么，當(dāng) 充分大時(shí)， 近似服從參數(shù)為 ， 的正態(tài)分布 。也就是說，當(dāng) 充分大時(shí)， 近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 。 在實(shí)際應(yīng)用中，除要求 比較大外，還要求 ， 和 。例4.24 假設(shè)產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為30 %。試求在1000件產(chǎn)品中，優(yōu)質(zhì)品件數(shù)在280件和350件之間的概率