正余弦定理練習(xí)題集

1、正弦定理 余弦定理 3.141在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90°，AB2BC2CD，則cosDAC()A. B. C. D.2在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知c1，B45°，cosA，則b等于()A. B. C. D.4在ABC中，已知b·cosCc·cosB3a·cosB，其中a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，則cosB的值為()A. B C. D5(文)(2015·遼寧葫蘆島市一模)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若c2(ab)26，C，則ABC的面積是()A3 B.C.D3答

2、案C解析由余弦定理得：c2a2b22abcosCa2b2ab(ab)26，ab6，SABCabsinC×6×.(理)在ABC中，ABC，AB，BC3，則sinBAC()A. B.C. D.答案C解析本題考查了余弦定理、正弦定理由余弦定理得AC2AB2BC22AB×BC·cos292××3×5，AC，由正弦定理，sinA.6在銳角ABC中，設(shè)xsinA·sinB，ycosA·cosB，則x、y的大小關(guān)系為()AxyBx<yCx>yDxy答案C解析yxcosAcosBsinAsinBcos(AB)

3、cos(C)cosC，ABC為銳角三角形，cosC>0，yx<0，y<x.7(2015·昆明市質(zhì)檢)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若AB邊上的高為，且a2b22ab，則C()A. B.C. D.答案B解析由已知得：SABCabsinC×c×，sinC，又由余弦定理得：cosCsinC，即sinCcosC，sin，sin1，C，C.8(文)(2015·鄭州市質(zhì)檢)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知sin(BA)sin(BA)3sin2A，且c，C，則ABC的面積是()A. B.C. D.或答案D解析

4、由已知得：2sinBcosA3sin2A6sinAcosA，若cosA0，則A，則B，b，SABCbc××；若A，則sinB3sinA，由正弦定理得：b3a，又由余弦定理得：c2a2b22abcosC，即7a29a23a27a2，a1，b3，SABCabsinC×1×3×，選D.(理)(2015·衡水中學(xué)三調(diào))已知ABC的內(nèi)角A、B、C對(duì)的邊分別為a、b、c，sinAsinB2sinC，b3，當(dāng)內(nèi)角C最大時(shí)，ABC的面積等于()A. B.C. D.答案A解析根據(jù)正弦定理及sinAsinB2sinC得ab2c，c，cosC2，當(dāng)且僅當(dāng)，

5、即a時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)sinC，SABCabsinC××3×.二、填空題9已知ABC的一個(gè)內(nèi)角為120°，并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則ABC的面積為_(kāi)答案15解析設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a4，a，a4，最大角為，由余弦定理得(a4)2a2(a4)22a(a4)·cos120°，則a10，所以三邊長(zhǎng)為6,10,14.ABC的面積為S×6×10×sin120°15.方法點(diǎn)撥有關(guān)數(shù)列與三角函數(shù)知識(shí)交匯的題目，利用正余弦定理將數(shù)列關(guān)系式或數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，用三角函數(shù)知識(shí)解決10(文)(2

6、014·福建理，12)在ABC中，A60°，AC4，BC2，則ABC的面積等于_答案2解析本題考查正弦定理及三角形的面積公式，由正弦定理得，sinB1，B90°，AB2，S×2×22.(理)(2014·天津理，12)在ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，已知bca,2sinB3sinC，則cosA的值為_(kāi)答案解析2sinB3sinC，2b3c，又bca，ba，ca，cosA.11(2015·南京二模)在ABC中，已知AB2，BC3，ABC60°，BDAC，D為垂足，則·的值為_(kāi)答案解析利用余

7、弦定理求出AC的長(zhǎng)度，再利用面積公式求出BD，最后利用數(shù)量積的定義求解在ABC中，由余弦定理可得AC2492×2×3×7，所以AC，由ABC的面積公式可得×2×3××BD，解得BD.所以··()|2.方法點(diǎn)撥解答三角函數(shù)與平面向量交匯的題目，先運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)(平行、垂直、數(shù)量積的坐標(biāo)表示等)脫去向量外衣再運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)解決或先利用三角函數(shù)或解三角形的有關(guān)知識(shí)求出需要的量(邊的長(zhǎng)度、角的大小)再進(jìn)行向量運(yùn)算三、解答題12(文)(2015·新課標(biāo)文，17)已知a，b，c分別為ABC內(nèi)角A，B，

8、C的對(duì)邊，sin2B2sin Asin C.(1)若ab，求cos B；(2)設(shè)B90°，且a，求ABC的面積分析(1)本小題可先利用正弦定理，根據(jù)題設(shè)得出三角形的三條邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，再利用余弦定理求出cos B；(2)本小題中已知角B為直角，利用勾股定理列出方程，再結(jié)合()中a、c的關(guān)系式求出邊長(zhǎng)c，即可求出ABC的面積解析(1)由題設(shè)及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cos B.(2)由(1)知b22ac.因?yàn)锽90°，由勾股定理得a2c2b2.故a2c22ac，得ca.所以ABC的面積為SABCac1.(理)(2015·山西

9、太原市一模)已知a，b，c分別是ABC的角A，B，C所對(duì)的邊，且c2，C.(1)若ABC的面積等于，求a，b；(2)若sinCsin(BA)2sin2A，求A的值解析(1)c2，C，由余弦定理得4a2b22abcosa2b2ab，ABC的面積等于，absinC，ab4，聯(lián)立解得a2，b2；(2)sinCsin(BA)2sin2A，sin(BA)sin(BA)4sinAcosA，sinBcosA2sinAcosA，當(dāng)cosA0時(shí)，則A，當(dāng)cosA0時(shí)，sinB2sinA，由正弦定理得b2a，聯(lián)立解得a，b，b2a2c2，C，A，綜上所述，A或A.13(文)(2015·天津文，16)在A

10、BC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知ABC的面積為3，bc2，cos A.(1)求a和sin C的值；(2)求cos的值分析考查1.正弦定理、余弦定理及面積公式；2三角變換(1)由面積公式可得bc的值，結(jié)合bc2，可解得b，c.再由余弦定理求得a.最后由正弦定理求sin C的值；(2)直接展開(kāi)求值解析(1)在ABC中，由cos A，得sin A，由SABCbcsin A3，得bc24，又由bc2，解得b6，c4.由a2b2c22bccos A，可得a8.由，得sin C.(2)coscos 2Acos sin 2Asin (2cos2A1)×2sin Acos A.(

11、理)(2014·安徽理，16)設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a、b、c且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin(A)的值解析(1)因?yàn)锳2B，所以sinAsin2B2sinBcosB，由正、余弦定理得a2b·，因?yàn)閎3，c1，所以a212，a2.(2)由余弦定理得cosA，由于0<A<，所以sinA，故sin(A)sinAcoscosAsin×()×.14(文)(2014·陜西理，16)ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c.(1)若a、b、c成等差數(shù)列，證明：sinAsinC2sin(AC)；(2)若

12、a、b、c成等比數(shù)列，求cosB的最小值. 解析(1)a，b，c成等差數(shù)列，ac2b，由正弦定理得sinAsinC2sinB.sinBsin(AC)sin(AC)，sinAsinC2sin(AC)(2)a，b，c成等比數(shù)列，b2ac，由余弦定理得cosB，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)，等號(hào)成立cosB的最小值為.(理)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知sinAsinBsinBsinCcos2B1.(1)求證：a，b，c成等差數(shù)列；(2)若C，求的值解析(1)由已知得sinAsinBsinBsinC2sin2B，因?yàn)閟inB0，所以sinAsinC2sinB.由正弦定理，有ac2b，即a，b

13、，c成等差數(shù)列(2)由C，c2ba及余弦定理得(2ba)2a2b2ab，即有5ab3b20，所以.15(文)在ABC中，已知a2tanBb2tanA，試判斷ABC的形狀分析條件式a2tanBb2tanA是邊a、b與角A、B的關(guān)系，可用正弦定理化邊為角，將“切化弦”，然后，通過(guò)三角變形探究A與B之間的關(guān)系判斷形狀；也可以應(yīng)用正弦定理和余弦定理化角為邊，再通過(guò)代數(shù)變形探尋邊之間的關(guān)系后判斷形狀解析解法1：由正弦定理得a2RsinA，b2RsinB.(2RsinA)2(2RsinB)2，sinAcosAsinBcosB.sin2Asin2B，2A2B或2A2B，即AB或AB.ABC為等腰或直角三角形

14、. 解法2：a2tanBb2tanA，.由正弦定理得.由余弦定理得cosB，cosA.·，整理得(a2b2)(c2a2b2)0.ab或a2b2c2，ABC為等腰或直角三角形(理)在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，<C<且.(1)判斷ABC的形狀；(2)若|2，求·的取值范圍解析(1)由得，.由正弦定理得sinBsin2C.所以B2C或B2C.若B2C，由<C<知<2C<.即<B<，BC>，與三角形內(nèi)角和為矛盾，故B2C舍去B2C.A(BC)(2CC)C.故ABC為等腰三角形(2)由(1)知ac，|2，|24，a2c22accosB4