直線方程五種形式優(yōu)秀教師

1、1.直線的點(diǎn)斜式方程1 .點(diǎn)斜式方程設(shè)直線l過點(diǎn)Po(xo, y°),且斜率為k,則直線白向方程為yyo=k(x xo),由于此方程是由直線上一點(diǎn)Po(xo, yo)和斜率k所確定的直線方程，我們把這個(gè)方程叫做直線的點(diǎn)斜式 方程.注意：利用點(diǎn)斜式求直線方程時(shí)，需要先判斷斜率存在與否.(1)當(dāng)直線l的傾斜角a =90°時(shí)，斜率k不存在，不能用點(diǎn)斜式方程表示，但這時(shí)直線l恰與丫軸平 行或重合，這時(shí)直線l上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于xo,所以此時(shí)的方程為x=xo.(2)當(dāng)直線l的傾斜角a=0°時(shí)，k=0,此時(shí)直線l的方程為y=yo,即y yo=O.(3)當(dāng)直線l的傾斜角不為0

2、°或90°時(shí)，可以直接代入方程求解.2.斜截式方程：如果一條直線通過點(diǎn)(0, b)且斜率為k,則直線的點(diǎn)斜式方程為y=kx+ b其中k為斜率，b 叫做直線y=kx+b在y軸上的截距，簡稱直線的截距.注意：利用斜截式求直線方程時(shí)，需要先判斷斜率存在與否.V'(1)并非所有直線在y軸上都有截距，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，如直線x=2在y軸上就沒有截距，即只有不與y軸平行的直線在y軸上有截距，從而得/斜截式方程不能表示與x軸垂直的直線的方程./(2)直線的斜截式方程y=kx+b是y關(guān)于x的函數(shù)，當(dāng)k=0時(shí)，該函數(shù)為常yZ-量函數(shù).爐b；當(dāng)k*0時(shí)，該函數(shù)為一次函數(shù)，且當(dāng)k&g

3、t;0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng) °/*k<0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.匕(3)直線的斜截式方程是直線的點(diǎn)斜式方程的特例。要注意它們之間的/I區(qū)別和聯(lián)系及其相互轉(zhuǎn)化. 直線點(diǎn)斜式方程的理解1 .由于點(diǎn)斜式方程是由斜率公式k=q°推出的，因此匕I° = k表示的直線上缺少一個(gè)點(diǎn)P(x。，y。)， x -x0x-x0yy0= k(x x0)才是整條直線；2 .經(jīng)過點(diǎn)P0(x0, y0)的直線有無數(shù)條，這無數(shù)條直線可以分為兩類：斜率存在時(shí)，直線方程yy0=k(xx0)；斜率不存在時(shí)，直線方程為x=x0.3 .直線的點(diǎn)斜式方程實(shí)際上就是我們熟知的一次函數(shù)的解析式；4 .從函數(shù)的角

4、度來看，當(dāng)斜率 k存在時(shí)，直線方程可以看作是函數(shù)解析式，當(dāng)斜率 k不存在時(shí)，直線 方程為x=x0,它不是函數(shù)解析式。5 .直線的兩點(diǎn)式方程若直線l經(jīng)過兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2, y2), (x產(chǎn)x2),則直線l的方程為y yi = x x1 ,這種形式的方程叫 y2 - y x2 - x1做直線的兩點(diǎn)式方程. 兩點(diǎn)式方程的理解：(1)當(dāng)直線沒有斜率(x1=x2)或斜率為零(y1=y2)時(shí)，不能用兩點(diǎn)式江=x員表示它的方程； y2 -Y1 x2 - X(2)可以把兩點(diǎn)式的方程化為整式(x2x1)(y y1)= (y2 y1)(x x1)，就可以用它來求過平面上任意兩點(diǎn) 的直線方程； 如過兩

5、點(diǎn)A(1, 2), B(1, 3)的直線方程可以求得x=1,過兩點(diǎn)A(1, 3), B(-2, 3)的直線 方程可以求得y=3.(3)需要特別注意整式(x2x1)(y y1)= (y2 y1)(x x1)與兩點(diǎn)式方程 )二幺=二二瓦的區(qū)別，前者對(duì)于任 *2意的兩點(diǎn)都適用，而后者則有條件的限制，兩者并不相同，前者是后者的拓展。6 .直線的截距式方程若直線l在x軸上的截距是a,在y軸上的截距是b,且a*0, b*0,則直線l的方程為3+3=1,這種 a b形式的方程叫做直線的截距式方程。用截距式方程表示直線時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：(1)方程的條件限制為aw0, bw0,即兩個(gè)截距均不能為零，因此截距式

6、方程不能表示過原點(diǎn)的直線 以及與坐標(biāo)軸平行的直線；(2)用截距式方程最便于作圖，要注意截距是坐標(biāo)而不是長度；(3)要注意 截距相等”與 截距絕對(duì)值相等”是兩個(gè)不同的概念，截距式中的截距可正、可負(fù)，不可為零 截距式方程的應(yīng)用(1)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長為：|a|+|b|+，a2 +b2 ；(2)直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為：S= -1 ab | ；2(3)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則 k= 1或直線過原點(diǎn)，常設(shè)此方程為 乂+丫=2或丫=卜乂.7 .直線方程的一般形式方程Ax+By+C=0 (A、B不全為零)叫做直線的一般式方程.直線的一般式方程的理解1 .兩個(gè)獨(dú)立的條件可求直線方程：求直

7、線方程，表面上需求 A、B、C三個(gè)系數(shù)，由于A、B不同時(shí)為零，若Aw0,則方程化為x+y+C = 0,只需確定目,C的值；A AA A若BW0,同理只需確定兩個(gè)數(shù)值即可；因此，只要給出兩個(gè)條件，就可以求出直線方程；2,直線方程的其他形式都可以化成一般式，解題時(shí)，如果沒有特殊說明應(yīng)把最后結(jié)果化為一般式，一 股式也可以化為其他形式。3.在一般式 Ax+By+C=0 (A、B不全為零)中，若A=0,則丫=-C,它表示一條與y軸垂直的直線；BC若B=0,則x = -C ,它表小一條與x軸垂直的直線.5.直線方程的選擇直線形式直線方程局限性選擇條件點(diǎn)斜式不能表小與x軸至直 的直線已知一個(gè)定點(diǎn)和斜率k 已

8、知一點(diǎn)，可設(shè)點(diǎn)斜式 方程斜截式不能表小與x軸至直 的直線已知在y軸上的截距 已知斜率，可設(shè)斜截式 方程兩點(diǎn)式不能表示與x軸、y 軸垂直的直線已知兩個(gè)定點(diǎn) 已知兩個(gè)截距截距式不能表小與x軸垂 直、與y軸垂直、過 原點(diǎn)的的直線已知兩個(gè)截距已知直線與坐標(biāo)軸圍成 三角形的面積問題可設(shè) 截距式方程一M式能表示所有的直線求直線方程的最后結(jié)果 均可以化為一般式方程題型1.直線的點(diǎn)斜式方程例1. 一條直線經(jīng)過點(diǎn)M(-2, 3),傾斜角a=135° ,求這條直線的方程。解：這條直線經(jīng)過點(diǎn)M(-2, 3),斜率是k=tana=1代入點(diǎn)斜式方程得：y+3= 1 x (x+2),即x+y+5=0,這就是所求

9、直線的方程 例2.求斜率為 包,且分別滿足下列條件的直線方程：3(1)經(jīng)過點(diǎn)M(V3, 1)； (2)在x軸上的截距是一5.解：(1)所求直線經(jīng)過點(diǎn)(<3, 1),斜率為且，所求直線方程為y+1 =，3(x 百)，即73x 3y- 336=0.(2)所求直線的斜率是在x軸上的截距為5,即過點(diǎn)( 5, 0),所求直線的方程為y=(x+5),即 3x3y 5x3 -0.題型2.直線的斜截式方程例3.若直線Ax+By+C=0通過第二、三、四象限，則系數(shù) A、B、C需滿足條件()(A) A、B、C同號(hào)(B) AC<0, BC<0(C) C=0, AB<0(D) A=0, BC&

10、lt;0解：原方程可化為y=.Ax-C,因?yàn)橹本€通過第二、三、四象限，所以其斜率小于0, y軸上的截距小B B一 AC于0,即AA0,且CA0,即A、B同號(hào)，A、C同號(hào)，故選A.BB例4.直線y=ax+b (a+b=0)的圖象是()解：由已知，直線y=ax+b的斜率為a,在y軸上的截距為b.當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b=0,即直線經(jīng)過點(diǎn)(1, 0),選D.例5.寫出過下列兩點(diǎn)的直線方程，再化成斜截式方程 .(1) P1(2, 1), P2(0, 3); (2) P1(2, 0), P2(0, 3)。解：(1)直線P1P2的兩點(diǎn)式方程為：整理得斜截式方程為：y=2x3.-3-10 -2(2)直線P1P

11、2的兩點(diǎn)式方程為：9=*，整理得斜截式方程為：y=-x+3o3-00-22例6.三角形的頂點(diǎn)是A(-5, 0)、B(3, 3)、C(0, 2),求這個(gè)三角形三邊所在的直線方程.解：(用兩點(diǎn)式求AB所在直線的方程)直線AB經(jīng)過點(diǎn)A(5, 0)、B(3, 3),由兩點(diǎn)式得 上=工也，整理得3x+8y+15=0,這就是直線AB的-33 5方程！(用斜截式求BC所在直線方程)因?yàn)锽(3, 3)、C(0, 2),所以 kBC="3 = 5,截距b=2,由斜截式得 y=5x+2, -333整理得5x+3y 6=0,這就是直線BC的方程.(用截距式求AC所在直線的方程)因?yàn)锳(5, 0)、C(0,

12、 2),所以直線在x, 一軸上的截距分別是5與2,有截距式得 上 T=1,整理得-5 22x-5y+10=0,這就是直線AC的方程。題型4.直線的截距式方程例7.已知直線的斜率為1,且和坐標(biāo)軸圍成面積為3的三角形，求該直線的方程。 6解：設(shè)直線方程為x y a bb 1一 1=1 ,因?yàn)橹本€斜率k又S = | ab |= 3a 62例8.解:(2)或 一b = -1所求直線方程為x6y+6=0或x 6y6=0o過點(diǎn)A(1, 4)且縱截距與橫截距的絕對(duì)值相等的直線共有的條數(shù)為(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(1)當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，橫截距和縱截距都為 0,符合題意；當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直

13、線方程為：xa二1v-=1 ,由題思 b|a|=|b|a - -31 a = 5、，,解得廣 或/ 5,綜合(1)、( 2),符合題意的直線共有三條.故選C.b=3 b=5題型5.直線的一般式方程 例9.已知直線經(jīng)過點(diǎn)A(6, 4),斜率為求直線的點(diǎn)斜式和一般式方程.344. . 一解：經(jīng)過點(diǎn)A(6, 4),并且斜率等于 的直線萬程的點(diǎn)斜式是：y+4=- -(x-6),化成一般式得：4x+3y 33-12=0.例10.把直線l的方程x 2y+6=0化成斜截式，求出直線l的斜率和它在x軸與y軸上的截距，并畫圖.解：將原方程整理，得斜截式y(tǒng)=；x+3,令y=0,可得x= 6,因止匕,.、1直線1的

14、斜率k=1,它在x軸上的截距6 / 6為6,在y軸上的截距是3.【教考動(dòng)向演練】1.卜列說法中不正確的是(A)(B)(C)(D)點(diǎn)斜式y(tǒng)y0=k(xx0)適用于不垂直于x軸的任何直線斜截式y(tǒng)=kx+b適用于不垂直x軸的任何直線兩點(diǎn)式 上上=紅瓦適用于不垂直于坐標(biāo)軸的任何直線 y2 -y1*2 - 截距式-+1 =1適用于不過原點(diǎn)的任何直線a b2.直線3x 2y=4的截距式方程為(A)濘=1(B) x3Dr123.過點(diǎn)(3, 4)且平行于x軸的直線方程是y+4=0)2二14 -23;過點(diǎn)(5, 2)且平行于y軸的直線方程是x 5=04.過點(diǎn)P(1, 3)的直線分別與兩坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，若P

15、為AB的中點(diǎn)，求直線的方程.(3x+y 6=0)5.已知 ABC中，A(1, 4), B(6, 6), C(-2, 0),求：(1) ABC的平行于BC邊的中位線的一般式方程和截距式方程;(2) BC邊的中線的一般式方程，并化為截距式方程.(1) 6x-8y- 13=0;(2) 7x-y-11=0例11.已知兩直線aix+biy+1=0和a»+b2y+1=0的交點(diǎn)為P(2, 3),求過兩點(diǎn)Qi(ai, bi), Q2(a2, b2)的直線 方程.解：P(2, 3)在已知直線上,所以分 的 1 °,兩式相減得 2(ai a2)+3(bi b2)=0,即 b2 -bi =二=k

16、QQ 2a2 3b2 i = 0a2 - ai3 i 22故所求直線方程為 y bi =(x ai),即 2x+3y 3bi 2ai=03而2ai+3bi = i,所求直線方程為2x+3y+i=0.解法二：P(2, 3)在已知直線上，2司心i=0所以i,2a2 3b2 i -0可見兩點(diǎn)Qi(ai, bi), Q2(a2, b2)的坐標(biāo)都滿足方程2x+3y+i=0,所以過Qi(ai, bi), Q2(a2, b2)兩點(diǎn)的直線方程是2x+3y+i=0.例i2.過點(diǎn)P(i, 2)作直線l,交x, y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，求使 OAB面積取得最小值時(shí)直線l的方程. 解：設(shè)直線l的截距式方程為：x+Y

17、=i,依題意a>0, b>0,又因?yàn)辄c(diǎn)P(i, 2)在直線l上，所以+2=i,a ba b即b+2a=ab,又因?yàn)?OAB的面積S= i ab.21 ii2ib4a所以 S= -(b+2a)= (b - 2a)(- - -)(2 2 - -)2 2ab2abi > (4 4) =4 2當(dāng)且僅當(dāng)2=絲時(shí)等號(hào)成立.即b=2a時(shí)等號(hào)成立。 a bb=2aa =2由i 2 ，解得<,+=ib=4ka b'所以當(dāng)且僅當(dāng)a=2且b=4時(shí)， OAB的面積即最小值4.此時(shí)，直線的方程為H+'=i即2x+y 4=0.2 4【教考動(dòng)向演練】6 .如果AC<0, BC<0,那么直線Ax+By+C=0不通過( C )(A)第一象限(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限7 .直線l過點(diǎn)P(i, 3),且與x, y軸正半軸所圍成的三角形的面積等于 6,則l的方程是(A )(A) 3x+y 6=0(B) x+3y i0=0(C) 3x-y=0(D) x 3y+8=08 .若直線(2m2+m3)x+(m2m)y=4mi在x軸上的截距為i,則實(shí)數(shù)m是(D )i,、 iA) iB) 2C) - i D) 2或一229 .已知直線l: Ax+By+C=0(A2+B2w0),點(diǎn)P(x°, y。)在l上，則l的方程可化為( D )(A) A(x+x