最新力學(xué)漆安慎第二版答案05章

1、力學(xué)（第二版）漆安慎習(xí)題解答第五章 角動(dòng)量 關(guān)于對(duì)稱性第五章一、基本知識(shí)小結(jié) 力矩力對(duì)點(diǎn)的力矩 力對(duì)軸的力矩 角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量 質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量 角動(dòng)量定理適用于慣性系、質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于作用于質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)該點(diǎn)的力矩之和質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某軸的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于作用于質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)該軸的力矩之和角動(dòng)量守恒定律適用于慣性系、質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系若作用于質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)某點(diǎn)的力矩之和始終為零，則質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變?nèi)糇饔糜谫|(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)某軸的力矩之和始終為零，則質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該軸的角動(dòng)量保持不變對(duì)質(zhì)心參考系可直接應(yīng)用角動(dòng)量

2、定理及其守恒定律，而不必考慮慣性力矩。二、思考題解答5.1下面的敘述是否正確,試作分析,并把錯(cuò)誤的敘述改正過(guò)來(lái):（1）、一定質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中某時(shí)刻的加速度一經(jīng)確定，則質(zhì)點(diǎn)所受的合力就可以確定了，同時(shí)作用于質(zhì)點(diǎn)的力矩也就確定了。 （2）、質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)必定受到力矩的作用；質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)必定不受力矩的作用。（3）、力與z軸平行，所以力矩為零；力與z軸垂直，所以力矩不為零。（4）、小球與放置在光滑水平面上的輕桿一端連結(jié)，輕桿另一端固定在鉛直軸上。垂直于桿用力推小球，小球受到該力力矩作用，由靜止而繞鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，產(chǎn)生了角動(dòng)量。所以，力矩是產(chǎn)生角動(dòng)量的原因，而且力矩的方向與角動(dòng)量方向相同。（5）、作勻速

3、圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量m，速率v及圓周半徑r都是常量。雖然其速度方向時(shí)時(shí)在改變，但卻總與半徑垂直，所以，其角動(dòng)量守恒。 答：（1）不正確. 因?yàn)橛?jì)算力矩, 必須明確對(duì)哪個(gè)參考點(diǎn). 否則沒(méi)有意義. 作用于質(zhì)點(diǎn)的合力可以由加速度確定. 但沒(méi)有明確參考點(diǎn)時(shí), 談力矩是沒(méi)有意義的. （2）不正確. 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí), 有兩種情況: 一種是勻速圓周運(yùn)動(dòng), 它所受合力通過(guò)圓心; 另一種是變速圓周運(yùn)動(dòng), 它所受的合力一般不通過(guò)圓心. 若對(duì)圓心求力矩, 則前者為零, 后者不為零.質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng), 作用于質(zhì)點(diǎn)的合力必沿直線. 若對(duì)直線上一點(diǎn)求力矩, 必為零; 對(duì)線外一點(diǎn)求力矩則不為零。 （3）不正確. 該題應(yīng)首

4、先明確是對(duì)軸的力矩還是對(duì)點(diǎn)的力矩. 力與軸平行, 力對(duì)軸上某點(diǎn)的力矩一般不為零, 對(duì)軸的力矩則必為零.力與軸垂直, 一般力對(duì)軸的力矩不 為零, 但力的作用線與軸相交, 對(duì)軸力矩應(yīng)為零（4）不正確. 因?yàn)橐粋€(gè)物體在不受力的情況下, 保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài), 它對(duì)直線外一點(diǎn)具有一定的角動(dòng)量而并無(wú)力矩. 根據(jù)角動(dòng)量定理, 力矩為物體對(duì)同一點(diǎn)角動(dòng)量變化的原因. 力矩的方向與角動(dòng)量變化的方向相同, 而與角動(dòng)量的方向一定不相同. （5）不正確. 因?yàn)樽鲃蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn), 所受合力通過(guò)圓心, 對(duì)圓心的力矩為零，對(duì)圓心的角動(dòng)量守恒，但對(duì)其他點(diǎn)，力矩不為零，角動(dòng)量不守恒。52回答下列問(wèn)題，并作解釋： （1

5、）、作用于質(zhì)點(diǎn)的力不為零，質(zhì)點(diǎn)所受的力矩是否也總不為零？（2）、作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力矢量和為零，是否外力矩之和也為零？ （3）、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量不為零，作用于該質(zhì)點(diǎn)上的力是否可能為零 ?答：（1）、不一定。作用于質(zhì)點(diǎn)的力矩不僅與力有關(guān)，還和所取得參考點(diǎn)有關(guān)。當(dāng)力的作用線過(guò)參考點(diǎn)時(shí)，對(duì)該點(diǎn)的力矩就一定為零。 （2）、不一定。作用質(zhì)點(diǎn)系的外力矢量和為零，但對(duì)某點(diǎn)的力矩之和不一定為零。如一對(duì)力偶，因，。但對(duì)任一點(diǎn)的力矩之和等于力偶矩，并不等于零。 （3）、可能為零。因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)不受力時(shí)，保持靜止或勻速直線狀態(tài)。作勻速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)對(duì)線外一點(diǎn)的角動(dòng)量為，不為零，但質(zhì)點(diǎn)受的力為零。 53試分析下面的論述是否正確：

6、“質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量為零，則質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量也為零；質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量為零，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量也為零?！贝穑翰徽_。以兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的最簡(jiǎn)單的質(zhì)點(diǎn)系為例說(shuō)明。（1）、兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量相同，運(yùn)動(dòng)速度等大反向，且不沿同一條直線質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。但對(duì)中心的角動(dòng)量大小為，為兩速度方向垂直距離的一半，并且不為零。 （2）、兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量相同，運(yùn)動(dòng)速度等大同向，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，不為零。但對(duì)中心的角動(dòng)量 54本章5.12圖中題是否可以運(yùn)用動(dòng)量守恒定律來(lái)解釋？為什么？答：不能。將盤、重物、膠泥視為質(zhì)點(diǎn)系，碰撞過(guò)程中受外力為繩的拉力和重力。由于沖擊， 繩的拉力會(huì)增大，重力無(wú)變化，外力之和，所以總動(dòng)量不守恒。55一圓盤內(nèi)有冰，冰面水平，與盤面共同繞

7、過(guò)盤中心的鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。后來(lái)冰化成水，問(wèn)盤的轉(zhuǎn)速是否改變？如何改變。不計(jì)阻力矩。答：有變化。因?yàn)楸癁樗?，體積變小，各質(zhì)元到軸的距離也變小。對(duì)軸的角動(dòng)量 守恒，其中，變小，變大 57角動(dòng)量是否具有對(duì)伽利略變換的對(duì)稱性？角動(dòng)量守恒定律是否具有對(duì)伽利略變換的對(duì)稱性？答：角動(dòng)量對(duì)不同的參照系具有不同的值，所以角動(dòng)量對(duì)伽利略變換不具對(duì)稱性；但角動(dòng)定理對(duì)不同的慣性系具有相同的形式，所以角動(dòng)量定理對(duì)伽利略變換具有對(duì)稱性。同理，角動(dòng)量守恒定理對(duì)伽利略變換也具有對(duì)稱性。 58南北極的冰塊溶化，使地球海平面升高，能否影響地球自轉(zhuǎn)快慢？答：南北極的冰塊溶化，地球海平面升高，南北極的水質(zhì)元向赤道方向移動(dòng)，到軸的距離增

8、大，角動(dòng)量守恒。其中，變大，變小，而地球?qū)S的轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)變慢。三、習(xí)題解答 我國(guó)發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星近地點(diǎn)高度d近=439km,遠(yuǎn)地點(diǎn)高度d遠(yuǎn)=2384km,地球半徑R地=6370km,求衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度之比。解：衛(wèi)星在繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，只受地球引力（有心力）的作用，力心即為地心，引力對(duì)地心的力矩為零，所以衛(wèi)星對(duì)地心的角動(dòng)量守恒m月v近（d近+R地）=m月v遠(yuǎn)（d遠(yuǎn)+R地）v近/v遠(yuǎn)=（d遠(yuǎn)+R地）/（d近+R地）=（2384+6370）/（439+6370）1.29 一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿著的空間曲線運(yùn)動(dòng)，其中a、b及皆為常數(shù)。求此質(zhì)點(diǎn)所受的對(duì)原點(diǎn)的力矩。解： 一個(gè)具有單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)

9、在力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其中t是時(shí)間。該質(zhì)點(diǎn)在t=0時(shí)位于原點(diǎn)，且速度為零。求t=2時(shí)該質(zhì)點(diǎn)所受的對(duì)原點(diǎn)的力矩。解：據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的微分形式，地球質(zhì)量為6.01024kg，地球與太陽(yáng)相距149106km，視地球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)，它繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)，求地球?qū)τ趫A軌道中心的角動(dòng)量。解：根據(jù)5.1.2題所給的條件，求該質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量。解：根據(jù)5.1.3題所給的條件，求質(zhì)點(diǎn)在t=2時(shí)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量。解： 水平光滑桌面中間有一光滑小孔，輕繩一端伸入孔中，另一端系一質(zhì)量為10g小球，沿半徑為40cm的圓周作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這時(shí)從孔下拉繩的力為10-3N。如果繼續(xù)向下拉繩，而使小球沿半徑為10cm的圓周作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這時(shí)小

10、球的速率是多少？拉力所做的功是多少？解：設(shè)小球的質(zhì)量為m=1010-3kg,原來(lái)的運(yùn)動(dòng)半徑為R1=40cm,運(yùn)動(dòng)速率為v1;后來(lái)的運(yùn)動(dòng)半徑為R2=10cm,運(yùn)動(dòng)速率為v2.先求小球原來(lái)的速率v1：據(jù)牛頓第二定律，F(xiàn)=mv12/R1，所以，由于各力對(duì)過(guò)小孔的豎直軸的力矩為零，所以小球?qū)υ撦S的角動(dòng)量守恒，m v1R1=m v2R2，v2=v1R1/R2=0.20.4/0.1=0.8m/s在由R1R2的過(guò)程中，只有拉力F做功，據(jù)動(dòng)能定理，有5.1.8 一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在o-xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其位置矢量為，其中a、b和是正常數(shù)，試以運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)證明該質(zhì)點(diǎn)對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)角動(dòng)量守恒。證明：運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)：

11、顯然與時(shí)間t無(wú)關(guān)，是個(gè)守恒量。動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)：,該質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒。5.1.9 質(zhì)量為200g的小球B以彈性繩在光滑水平面上與固定點(diǎn)A相連。彈性繩的勁度系數(shù)為8 N/m，其自由伸展長(zhǎng)度為600mm.最初小球的位置及速度v0如圖所示。當(dāng)小球的速率變?yōu)関時(shí)，它與A點(diǎn)的距離最大，且等于800mm，求此時(shí)的速率v及初速率v0.解：設(shè)小球B的質(zhì)量m=0.2kg,原來(lái)與固定點(diǎn)A的距離r0=0.4m,當(dāng)速率為v時(shí)，與A點(diǎn)距離r=0.8m,彈性繩自由伸展的長(zhǎng)度為d=0.6m. 小球B的速率由v0v的過(guò)程中，作用在小球B上的力對(duì)過(guò)A點(diǎn)軸的力矩之和始終為零，因而小球?qū)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒，有r0mv0sin30= rmv

12、(最大距離時(shí)， （1）另外,在此過(guò)程中,只有保守內(nèi)力（繩的彈力）做功,因而能量守恒，為求解方便，將化簡(jiǎn)，并代入已知數(shù)據(jù)可得：解此方程組，求得：v0 1.3 m/s v 0.33 m/s 一條不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩穿過(guò)鉛直放置的、管口光滑的細(xì)管，一端系一質(zhì)量為0.5g的小球，小球沿水平圓周運(yùn)動(dòng)。最初l1=2m,1=30，后來(lái)繼續(xù)向下拉繩使小球以2=60沿水平圓周運(yùn)動(dòng)。求小球最初的速度v1，最后的速度v2以及繩對(duì)小球做的總功。解：隔離小球，受力情況如圖示應(yīng)用牛頓第二定律，有： ；當(dāng)=1時(shí)當(dāng)=2時(shí),由于作用質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)管軸的力矩始終等于零,角動(dòng)量守恒：，將（4）式和三角函數(shù)值代入，可求得：將v2代入（4）中

13、，可求得l2=0.8m，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理： 理想滑輪懸掛兩質(zhì)量為m的砝碼盤。用輕線拴住輕彈簧兩端使它處于壓縮狀態(tài)，將此彈簧豎直放在一砝碼盤上，彈簧上端放一質(zhì)量為m的砝碼。另一砝碼盤上也放置質(zhì)量為m的砝碼，使兩盤靜止。燃斷輕線，輕彈簧達(dá)到自由伸展?fàn)顟B(tài)即與砝碼脫離。求砝碼升起的高度，已知彈簧勁度系數(shù)為k，被壓縮的長(zhǎng)度為l0.解：設(shè)滑輪半徑為R，彈簧釋放后，彈簧上邊的砝碼獲得的速度為v，方向向上，左邊砝碼盤獲得的速度為v，方向向下，顯然右邊砝碼盤及砝碼獲得的速度大小也是v,但方向向上（如圖示）。 把左盤、左盤上的砝碼和右盤及盤中砝碼視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，作為研究對(duì)象。 在彈簧釋放過(guò)程中，作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力

14、對(duì)滑輪軸的力矩之和始終為零，故質(zhì)點(diǎn)系對(duì)滑輪軸的角動(dòng)量守恒，規(guī)定垂直紙面向外的角動(dòng)量為正，則有： -mvR+mvR+2mvR = 0，即 v = 3 v (1)另外，在此過(guò)程中，只有彈簧的彈力和重力做功，因而質(zhì)點(diǎn)系能量守恒，忽略重力勢(shì)能的微小變化，則有：，即 左盤中的砝碼脫離彈簧獲得速度v后做豎直上拋運(yùn)動(dòng),達(dá)到最大高度h時(shí)速度為零,據(jù)能量守恒,由可求得v2=3kl02/4m，代入中得：h = 3 k l02/8mg 兩個(gè)滑冰運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量各為70kg，以6.5m/s的速率沿相反方向滑行，滑行路線間的垂直距離為10m，當(dāng)彼此交錯(cuò)時(shí)，各抓住10m繩索的一端，然后相對(duì)旋轉(zhuǎn)。在抓住繩索一端之前，各自對(duì)繩索中心的角動(dòng)量是多少？抓住之后是多少？它們各自收攏繩索，到繩長(zhǎng)為5m時(shí)，各自的速率如何？繩長(zhǎng)為5m時(shí)，繩內(nèi)張力多大？二人在收攏繩索時(shí)，各自做了多少功總動(dòng)能如何變化？解：設(shè)每個(gè)運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量為m=70kg，收繩前相對(duì)繩中心o的距離為d=d1=5m，速率為v=v1=6.5m/s；當(dāng)把繩收攏為d=d2=2.5m, 速率v=v2. 對(duì)繩中心o點(diǎn)的角動(dòng)量各