梯形常見輔助線作法教師

1、梯形常見輔助線作法1、平移法（1）梯形內(nèi)平移一腰(過(guò)一頂點(diǎn)做腰的平行線)例1如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABCD，C60°，AD15cm，BC49cm，求CD的長(zhǎng)解：過(guò)D作DEAB交BC于E，則四邊形ABED為平行四邊形ADBE15cm，ABDEECBCBEBCAD491534cm又ABCD，  DECD又C60°，CDE是等邊三角形，即CDEC34cm（2）梯形外平移一腰(過(guò)一頂點(diǎn)做腰的平行線)例2如圖,在梯形ABCD中，ABCD，四邊形ACED是平行四邊形，延長(zhǎng)DC交BE于F. 求證：EF=FB 證明：過(guò)點(diǎn)B作BGAD,交DC的延長(zhǎng)線于G四邊形ABG

2、D是平行四邊形 AD=BGACED中，ADCE AD=CECEBG且CE=BG CEF=GBF又CFE=GFB ECFBGF( ASA)EF=FB點(diǎn)評(píng)：過(guò)梯形上底或下底的一個(gè)端點(diǎn)作另一腰的平行線，可將梯形轉(zhuǎn)化為一個(gè)平行四邊形和三角形。（3）梯形內(nèi)平移兩腰：利用梯形中的某個(gè)特殊點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)作兩腰的平行線，把兩腰轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中。例3如圖，已知：梯形ABCD中，ADBC，C+B=90°，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn) 求證：MN證明：過(guò)點(diǎn)E分別作AB、CD的平行線，交BC于點(diǎn)G、H , 則四邊形ABGE,EDCH為平行四邊形 AE=BG，ED=HC ABEG B=EGF又DCEH C=E

3、HF則EGHEHG=BC=90°，EGH是直角三角形E、F分別是AD、BC的中點(diǎn) AE=ED，BF=CF GF=FH則有EF=(BC-BG-HC)=(BC-AD)（4）平移對(duì)角線(過(guò)一頂點(diǎn)做對(duì)角線的平行線）例4求證：對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形已知：在梯形ABCD中，ADBC，對(duì)角線AC=BD 求證：AB=DC證明：過(guò)點(diǎn)D作DEAC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E則四邊形ACED是平行四邊形 AC=DE DE=AC=DB DBC=E ACB=E DBC=ACB又BD=CA BC=CB ABCDCB(SAS) AB=DC 點(diǎn)評(píng)：過(guò)梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線的平行線，將對(duì)角線的有關(guān)條件轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中。

4、2、作梯形的高（1）作一條高，從底邊的一個(gè)端點(diǎn)作另一條底邊的垂線，把梯形轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形例6如圖，在直角梯形ABCD中，AB/DC，ABC=90°，AB=2DC，對(duì)角線ACBD，垂足為F，過(guò)點(diǎn)F作EF/AB，交AD于點(diǎn)E求證：四邊形ABFE是等腰梯形證明：過(guò)點(diǎn)D作DGAB于點(diǎn)G，則易知四邊形DGBC是矩形，所以DC=BGAB=2DCAG=GBDA=DBDAB=DBA又EF/AB四邊形ABFE是等腰梯形。（2）作兩條高：從同一底邊的兩個(gè)端點(diǎn)作另一條底邊的垂線，把梯形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形例7如圖，在梯形ABCD中，DCAB，AD=BC，若AD=5，CD=2，AB=8,求梯

5、形ABCD的面積。解：過(guò)點(diǎn)D、C分別作DEAB于E，CFAB于F.DCAB, DEAB,CFAB四邊形CDEF是矩形 DC=EF，DE=CF易證ADEDCF(HL) AE=BFAE=(AB-EF)=(AB-CD)=3 DE=3、延長(zhǎng)兩腰交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形例5如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，B=50°，C=80°，AD=2，BC=5，求CD的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E在BCE中，B=50°，C=80°E=50° BC=EC=5又AD/BC EAD =B=50° AD=ED=2CD=EC-ED=5-2=34、中位線法（

6、1）已知梯形一腰中點(diǎn)，作梯形的中位線例10如圖，在梯形ABCD中，AB/DC，O是BC的中點(diǎn)，AOD=90°，求證：ABCD=AD證明：取AD的中點(diǎn)E，連接OE，則易知OE是梯形ABCD的中位線OE=（ABCD）在AOD中，AOD=90°，AE=DE ABCD=AD點(diǎn)評(píng)：已知梯形一腰中點(diǎn)，作梯形的中位線，既可輕松解決計(jì)算問(wèn)題，也可以在證明中將梯形轉(zhuǎn)化為三角形。（2）已知梯形兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，連接梯形一頂點(diǎn)與一條對(duì)角線中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與底邊相交，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中位線例11如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，E、F分別是BD、AC的中點(diǎn)，求證：（1）EF/AD；（2）證明：連接

7、DF，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，易證AFDCFG（ASA）則AD=CG，DF=GFDE=BE，EF是BDG的中位線EF/BG且又AD/BG，BG=BC-CG=BC-ADEF/AD，EF5、構(gòu)造全等三角形（1）連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)例8(梯形中位線的性質(zhì))如圖，已知在梯形ABCD中，AD/BC，M、N為腰AB、DC的中點(diǎn)，求證：MNADBC， 證明：連結(jié)AN并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)EAD/BC， D=DCE易證ADNECN(ASA) AN=EN，AD=CE又AM=MB EFAD / BC(三角形中位線性質(zhì))（2）過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線例9(梯形的中位線性質(zhì))如圖，已知在梯形ABCD中，AD/BC，M、N為腰AB、DC的中點(diǎn)，求證：MNADBC， 證明：過(guò)F作AB的平行線，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，交BC于M則四邊形ANMB為平行四邊形 AN=BM ，AB=MN，AB/NMAD/BC， N=CMF易證DNFCMF(ASA)DN=CM，DF=CF又AE=EB AE=NF且AE/NF 四邊形AEFN為平行四邊形EFAD / BC EF=AN=BM6、作對(duì)角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形例12如圖，在直角梯形ABCD中，AD/BC，ABAD，BC=CD，BECD于點(diǎn)E，求證：AD=DE證明：連結(jié)BDAD/BC ADB=DBE又BC=CD DBC=BDC