202X年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.7.3球的表面積和體積課件2北師大版必修2

1、7.3 球的外表積和體積7 簡單幾何體的再認(rèn)識簡單幾何體的再認(rèn)識 1 1、如果用油漆去涂一個乒乓球和一個籃球，且涂的油漆厚度、如果用油漆去涂一個乒乓球和一個籃球，且涂的油漆厚度一樣，問哪一個球所用的油漆多？為什么？一樣，問哪一個球所用的油漆多？為什么？籃球的外表積大于乒乓球的外表積籃球的外表積大于乒乓球的外表積 2 2、一個充滿空氣的足球和一個充滿空氣的籃球，球內(nèi)的、一個充滿空氣的足球和一個充滿空氣的籃球，球內(nèi)的氣壓一樣，假設(shè)忽略球內(nèi)部材料的厚度，那么哪一個球充入氣壓一樣，假設(shè)忽略球內(nèi)部材料的厚度，那么哪一個球充入的氣體較多？為什么？的氣體較多？為什么？籃球的體積大于足球的體積籃球的體積大于足

2、球的體積那如何計(jì)算球的外表積和體積呢？那如何計(jì)算球的外表積和體積呢？請進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)！請進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)！問題問題2 2：把直線換成平面，圓換成球，即用一個平面：把直線換成平面，圓換成球，即用一個平面去截球，去截球， 截面是截面是 . .探究探究1 1 球的截面球的截面問題問題1 1：一條直線與圓相交，在圓內(nèi)的局部是什么圖形？：一條直線與圓相交，在圓內(nèi)的局部是什么圖形？提示：弦線段提示：弦線段. .圓面圓面rdRO 2.2.球心到截面的距離球心到截面的距離d d與球的半徑與球的半徑R R和截面半徑和截面半徑r r有有下面的關(guān)系下面的關(guān)系: :1.1.球心和截面圓心的連線垂直于該截面球心和截面

3、圓心的連線垂直于該截面22.rRd截面：截面：用一個平面去截一個球用一個平面去截一個球, ,截面是截面是 截面圓：截面圓：平面截球面所得圖形是平面截球面所得圖形是 . . 探究探究2 2 截面的性質(zhì)：截面的性質(zhì)：O1圓面圓面(黃色圓面黃色圓面).圓圓大小圓的定義：大小圓的定義： 1.1.大圓：大圓：o oO 2.2.小圓：小圓：球面被不經(jīng)過球心的球面被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做球的小圓平面截得的圓叫做球的小圓.如如 O球面被經(jīng)過球心的平球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做球的面截得的圓叫做球的大圓大圓.如如 O.探究點(diǎn)探究點(diǎn)3 3 球的切線球的切線 直線與球相切：直線與球相切：問題問題3 3：過

4、球外一點(diǎn)過球外一點(diǎn)P P，有無數(shù)條切線，那么所有，有無數(shù)條切線，那么所有切線長都相等嗎？所有切點(diǎn)組成什么圖形？切線長都相等嗎？所有切點(diǎn)組成什么圖形？當(dāng)直線與球有唯一交點(diǎn)時，稱直線與球相切，當(dāng)直線與球有唯一交點(diǎn)時，稱直線與球相切，其中它們的交點(diǎn)稱為直線與球的切點(diǎn)其中它們的交點(diǎn)稱為直線與球的切點(diǎn).A.OlP提示：提示：如圖如圖 可知可知 ，APAP為定值，為定值，這說明，過球外一點(diǎn)的所有切線長都相等，這說明，過球外一點(diǎn)的所有切線長都相等，這些切點(diǎn)的集合是一個圓這些切點(diǎn)的集合是一個圓. .22APPOR球球的的切切線線性性質(zhì)質(zhì)怎樣求球的體積怎樣求球的體積? ?知識探究知識探究探究點(diǎn)探究點(diǎn)4 4 球的

5、外表積和體積球的外表積和體積h實(shí)驗(yàn)：排液法測小球的體積實(shí)驗(yàn)：排液法測小球的體積hH小球的體積小球的體積 等于等于它排開它排開液體的體積液體的體積實(shí)驗(yàn)：排液法測小球的體積實(shí)驗(yàn)：排液法測小球的體積R.34,32:33RVRV 從從而而猜猜測測半半球球? 半球半球V331RV 圓圓錐錐333RV 圓柱圓柱高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積比照高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積比照ihnVVVVV 321nnhShShShSV 31313131332211 O OiSiVO O 如果網(wǎng)格分的越細(xì)如果網(wǎng)格分的越細(xì), ,那么那么: “: “小小錐體錐體就越接近小棱錐就越接近小棱錐RSRSRSRSVni 313131313

6、2 RSSSSSRni31).(3132334RV 又又球球的的體體積積為為：RiS iVihiSO OiV,31343RSRRhi的的值值就就趨趨向向于于球球的的半半徑徑 24RS從而343VR球球的體積球的體積24SR球球的外表積球的外表積都是以都是以R為自變量的函數(shù)為自變量的函數(shù)O R思考：假設(shè)兩球的半徑之比為思考：假設(shè)兩球的半徑之比為R1R2R1R2，那么兩球的表，那么兩球的表面積之比及體積之比分別是多少？面積之比及體積之比分別是多少？提示：提示：所以兩球的外表積之比為所以兩球的外表積之比為 兩球的體積之比為兩球的體積之比為322311111122332222224RS4 RRVR34

7、S4 RRVRR3因?yàn)椋?212RR；3312RR .8cm8.5cm例例1.1.一個圓柱形的玻璃瓶的內(nèi)半徑為一個圓柱形的玻璃瓶的內(nèi)半徑為3 cm3 cm，瓶里所，瓶里所裝的水深為裝的水深為8 cm8 cm，將一個鋼球完全浸入水中，瓶中，將一個鋼球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到水的高度上升到8.5 cm8.5 cm，求鋼球的半徑，求鋼球的半徑. .3cm3cm解：解：設(shè)鋼球半徑為設(shè)鋼球半徑為 ,則由題意有則由題意有R23243838.53 R，解得解得1.5 cm .R答：鋼球的半徑為答：鋼球的半徑為1 .5 c m .8.5cm8cm3cm3cm 穩(wěn)固訓(xùn)練穩(wěn)固訓(xùn)練1 1：正方體的棱長為：正

8、方體的棱長為4 4，假設(shè)它，假設(shè)它的八個頂點(diǎn)都在同一球面上，那么這個球的的八個頂點(diǎn)都在同一球面上，那么這個球的外表積是外表積是 分析：正方體內(nèi)接于球，那么由球分析：正方體內(nèi)接于球，那么由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，那么正方體的體對角線們中心重合，那么正方體的體對角線就是球的直徑。就是球的直徑。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O22221148442 +4)2(:RS2R=4RDDBRt 中中略解：略解：3448 穩(wěn)固訓(xùn)練穩(wěn)固

9、訓(xùn)練2 2：長方體的一個頂點(diǎn)上三條：長方體的一個頂點(diǎn)上三條棱長分別為棱長分別為3 3、4 4、5 5，假設(shè)它的八個頂點(diǎn)都，假設(shè)它的八個頂點(diǎn)都在同一球面上，那么這個球的外表積是在同一球面上，那么這個球的外表積是 分析：長方體內(nèi)接于球，那么由球分析：長方體內(nèi)接于球，那么由球和長方體都是中心對稱圖形可知，它和長方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，那么長方體的體對角線們中心重合，那么長方體的體對角線就是球的直徑。就是球的直徑。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O222211504

10、42+5)2(:RS2R=3RDDBRt 中中略解：略解：5 21.1.填空填空(1)(1)球的外表積變?yōu)樵瓉淼那虻耐獗矸e變?yōu)樵瓉淼? 2倍倍, ,那么半徑變?yōu)樵瓉淼哪敲窗霃阶優(yōu)樵瓉淼?倍倍. .(2)(2)球半徑變?yōu)樵瓉淼那虬霃阶優(yōu)樵瓉淼? 2倍，那么外表積變?yōu)樵瓉淼谋?，那么外表積變?yōu)樵瓉淼?倍倍. .(3)(3)兩球外表積之比為兩球外表積之比為1 12 2，那么其體積之比是，那么其體積之比是 . .(4)(4)兩球體積之比是兩球體積之比是1 12 2，那么其外表積之比是，那么其外表積之比是 . .241:2 231:4注意注意: :影響球的外表積及體積的只有一個元素，就影響球的外表積及體積的只有一個元素，就是球的半徑是球的半徑. . 兩球的外表積之比為兩球的外表積之比為 兩球的體積之比為兩球的體積之比為2212RR；3312RR .2. 2. 某幾何體的三視圖如下圖某幾何體的三視圖如下圖, ,它的體積為它的體積為( )( )A. B. C. D.A. B. C. D.72483024C C【解析】選【解析】選C.C.該幾何體下該幾何體下局部是半徑為局部是半徑為3,3,高為高為4 4的的圓錐圓錐, ,體積為體積為 , ,上局部是半球上局部是半球, ,體積體積為為 , ,所以體積為所以體積為 . . 2134 123V 31