學(xué)年春季高等數(shù)學(xué)A(二)期中考試答案及評(píng)分

1、20102011學(xué)年春季高等數(shù)學(xué)A（二）期中考試答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題（每小題2分，共20分）1. 設(shè)向量，則當(dāng) -10時(shí)，與垂直。2. 方程所表示的曲面是 橢球面 。3. 函數(shù)的定義域是 。4. 函數(shù)在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)與存在是函數(shù)在點(diǎn)可微的 必要 條件。(在“充分、必要或充要”中選一個(gè)填在橫線上)5. 曲線在點(diǎn)的法平面為 。6函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分 。7函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為 （1,2,0）或i+2j 。8. 直線與平面的位置關(guān)系是平行 。9. 二重極限 ln2 。10. 過(guò)點(diǎn)且平行于向量的直線的對(duì)稱式方程是 。二、按要求解答下列各題（每小題8分，共16分）1.已知平行四邊形的兩條鄰邊，求

2、此平行四邊形的面積。解：根據(jù)叉積的幾何意義 =| 5分 = = 8分 2. 求過(guò)直線與平面的交點(diǎn)，且與平面垂直的直線方程。解：聯(lián)立直線方程和平面方程，求得交點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-4，-7） 4分 根據(jù)直線的點(diǎn)向式方程，所求直線的方程為 8分 三、按要求解答下列各題（每小題8分，共16分）1求過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的平面方程。解：依題意，所求平面的法向量 4分 根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程，所求平面的方程為 8分 2 設(shè)一個(gè)立體由上半球面和錐面所圍成，求它在坐標(biāo)面上的投影曲線方程。解：聯(lián)立上半球方程和錐面方程得 消去z得 6分立體在坐標(biāo)面上的投影曲線方程 8分四、按要求解答下列各題（每小題8分，共16分）1、設(shè)，

3、求。解： 4分 8分2.設(shè)求全導(dǎo)數(shù)。解 根據(jù)多元復(fù)合函數(shù)的全微分公式有 4分 6分 8分 五、（本題8分）求二元函數(shù)的極值。解：解方程組求得駐點(diǎn)為 4分再求駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù) 6分因?yàn)榍?所以函數(shù)在駐點(diǎn)處取得極小值，此極小值等于。 8分六、（本題8分）利用向量知識(shí)證明三角形的中位線定理。證明：如圖 2分又因?yàn)镈,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，所以有，而 故 6分 即三角形的中位線平行于第三邊并等于第三邊的一半。8分七、（本題10分）設(shè)，其中具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求。解： = 4分 = 8分八、（本題6分）在橢圓 上求一點(diǎn)，使其到直線 的距離最短，并求最短距離。解：（條件極值法） 設(shè)點(diǎn)為橢圓 上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線 的距離 1分欲求d的最小值，只要求得最小值，為此作拉格朗日函數(shù) .3分令