高中數(shù)學(xué)空間向量的運(yùn)算

1、3.13.1空間向量空間向量及其及其運(yùn)算運(yùn)算平面向量復(fù)習(xí)定義：既有大小又有方向的量叫向量 幾何表示法：用有向線段表示； 字母表示法：用字母a、b等或者用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母 表示AB相等的向量： 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量 ABCD平面向量的加減法運(yùn)算平面向量的加減法運(yùn)算向量的加法：向量的加法：aba+b平行四邊形法則平行四邊形法則aba+b三角形法則三角形法則(首尾相連首尾相連)平面向量的加法運(yùn)算律平面向量的加法運(yùn)算律加法交換律：加法交換律： abba 加法結(jié)合律：加法結(jié)合律： (ab)ca(bc) 推廣推廣首尾相接的若干向量之和，等于由起始向首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指

2、向末尾向量的終點(diǎn)的向量即：量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量即：nnnAAAAAAAAAA114332211A2A3A4A1nAnA首尾相接的若干向量構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，首尾相接的若干向量構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量即：則它們的和為零向量即：011433221AAAAAAAAAAnnn1A2A3A4AnA1nA向量的減法向量的減法aba-b三角形法則三角形法則 減向量減向量終點(diǎn)指向終點(diǎn)指向被減向量被減向量終點(diǎn)終點(diǎn)一、空間向量的基本概念一、空間向量的基本概念空間向量空間向量零零向量向量單位單位向量向量相等相等向量向量相反相反向量向量ABa 或01|eba aa與既有既有大小大小，又有，又有方

3、向方向的量的量長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為零零的向量的向量長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為1的向量的向量方向方向相同相同，長(zhǎng)度，長(zhǎng)度相等相等的向量的向量方向方向相反相反，長(zhǎng)度，長(zhǎng)度相等相等的向量的向量向量的模表示向量的有向線段的長(zhǎng)度|aAB9結(jié)論：結(jié)論：1）空間任意兩個(gè)向量都是共面向量。1）空間任意兩個(gè)向量都是共面向量。2）涉及空間任意兩個(gè)向量問(wèn)題，平2）涉及空間任意兩個(gè)向量問(wèn)題，平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用它們。面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用它們。abab bbABOAOBa + babABbCOOCOACAa - - b二、空間向量的加減運(yùn)算二、空間向量的加減運(yùn)算11abba 加法交換律加法交換律加法:三角形法則或平行四邊形法則減法:三

4、角形法則加法結(jié)合律加法結(jié)合律()()abcabc 注注: :兩個(gè)空間向量的加、減法兩個(gè)空間向量的加、減法與兩個(gè)平面向量與兩個(gè)平面向量的加、減法實(shí)質(zhì)是一樣的的加、減法實(shí)質(zhì)是一樣的. .2、對(duì)空間向量的加法、減法的小結(jié)、對(duì)空間向量的加法、減法的小結(jié)化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：列向量表達(dá)式，并標(biāo)出，化簡(jiǎn)下已知平行六面體DCBAABCD ；BCAB ；AAADABABCDABCD例例1(4)ACD BDC (3)ABCBAA ABCDA B C D例1、 已知平行六面體，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：；BCAB 解：ABCDABCDBCAB AC；AAADABAAADABAAAC CCAC AC始點(diǎn)相

5、同的三個(gè)不共面向量之和，等于以這三個(gè)向量始點(diǎn)相同的三個(gè)不共面向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所示向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所示向量(4)ACD BDC (3)ABCBAA 練習(xí)練習(xí)1、在如圖所示的平行六面體中，、在如圖所示的平行六面體中， 求證：求證：2.ACABADAC ABCDABCD,ABCDA B C D 變式：變式：已知平行六面體已知平行六面體 則下列四式中：則下列四式中：其中正確的是其中正確的是 。(1);(2);(3);(4).ABCBACACABB CCCAACCABBBBCC CAC 15例如例如: :a3a3a三、三、

6、 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算法則16 顯然顯然,空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律及結(jié)合律()() ()a babaaaaa 即： （）FEDCBA123891P（ ）、（ ）、（ ） 練習(xí) 17acb四、共線向量及其定理四、共線向量及其定理18lAPa BO即，P,A,B三點(diǎn)共線?；虮硎緸椋?1).OPt OAtOB 19OAM GEFCBD分析分析: 證三點(diǎn)共線可證三點(diǎn)共線可嘗試嘗試用向量來(lái)分析用向量來(lái)分析.N20五五. .共面向量及其定理共面向量及其定理: :1.1.共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .O

7、Aaa注意：注意：空間任意兩個(gè)空間任意兩個(gè)向量是共面的向量是共面的，但空，但空間任意三個(gè)向量就不間任意三個(gè)向量就不一定共面的了。一定共面的了。AabBCPp 21OAabBCPp 22231.對(duì)于空間任意一點(diǎn)對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，下列命題正確的是：，下列命題正確的是：(A)若若 ，則，則P、A、B共線共線(B)若若 ，則，則P是是AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)(C)若若 ，則，則P、A、B不共線不共線(D)若若 ，則，則P、A、B共線共線OPOAt AB 3OPOAAB OPOAt AB OPOAAB 2.已知點(diǎn)已知點(diǎn)M在平面在平面ABC內(nèi)，并且對(duì)空間任意一點(diǎn)內(nèi)，并且對(duì)空間任意一點(diǎn)O， , 則則x的值為的值為

8、( )1( )1( )0( )3()3ABCDOMxOAOBOC11113333 243.下列下列說(shuō)明正確的是：說(shuō)明正確的是： (A)在平面內(nèi)共線的向量在空間不一定共線在平面內(nèi)共線的向量在空間不一定共線(B)在空間共線的向量在平面內(nèi)不一定共線在空間共線的向量在平面內(nèi)不一定共線(C)在平面內(nèi)共線的向量在空間一定不共線在平面內(nèi)共線的向量在空間一定不共線(D)在空間共線的向量在平面內(nèi)一定共線在空間共線的向量在平面內(nèi)一定共線4.下列說(shuō)法正確的是：下列說(shuō)法正確的是： (A)平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量都共線平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量都共線(B)空間的任意三個(gè)向量都不共面空間的任意三個(gè)向量都不共面(C)空間的任意兩個(gè)向

9、量都共面空間的任意兩個(gè)向量都共面(D)空間的任意三個(gè)向量都共面空間的任意三個(gè)向量都共面AMCGDB1)2abc（1)3abc（例例3(課本例課本例1)如圖，已知平行四邊形如圖，已知平行四邊形ABCD,從平從平面面AC外一點(diǎn)外一點(diǎn)O引向量引向量 , , , ,求證：求證：四點(diǎn)四點(diǎn)E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.OEkOA OFkOBOGkOCOHkOD 例例3 (課本例課本例1)已知已知 ABCD ，從平面，從平面AC外一點(diǎn)外一點(diǎn)O引向量引向量 A,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求證：求證：四點(diǎn)四點(diǎn)E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG.BC

10、DOEFGH證明：證明：四邊形四邊形ABCD為為 ACABAD （）EGOGOE kOCkOA ()k OCOA kAC （）代入（）代入()k ABAD ()k OBOAODOA OFOEOHOE 所以所以 E、F、G、H共面。共面。EFEH 例例3 已知已知 ABCD ，從平面，從平面AC外一點(diǎn)外一點(diǎn)O引向量引向量 ,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求證：求證：四點(diǎn)四點(diǎn)E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG。證明：證明：由面面平行判定定理的推論得：由面面平行判定定理的推論得：EFOFOE kOBkOA ()k OBOA kAB 由由知知EGkAC /EGAC/

11、EFAB/EGAC面面面面ABCDOEFGH六、兩個(gè)向量的夾角六、兩個(gè)向量的夾角兩條相交直線的夾角是指這兩條直線所成的銳角或直角，即取值范兩條相交直線的夾角是指這兩條直線所成的銳角或直角，即取值范圍是圍是(0,90,而向量的夾角可以是鈍角而向量的夾角可以是鈍角,其取值范圍是其取值范圍是0,180七、兩個(gè)向量的數(shù)量積七、兩個(gè)向量的數(shù)量積注注: :兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量?jī)蓚€(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量. . 規(guī)定規(guī)定: :零向量與任意向量的數(shù)量積等于零零向量與任意向量的數(shù)量積等于零.abBB1 1AA1 12、空間兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)、空間兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)3、空間向量數(shù)量積的

12、運(yùn)算律、空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律與平面向量一樣，空間向量的數(shù)量積滿足如下運(yùn)算律：與平面向量一樣，空間向量的數(shù)量積滿足如下運(yùn)算律： 向量數(shù)量積的運(yùn)算適合乘法結(jié)合律嗎向量數(shù)量積的運(yùn)算適合乘法結(jié)合律嗎?即即(ab)c一定等于一定等于a(bc)嗎嗎?例例4、已知空間向量、已知空間向量a，b滿足滿足|a|=4，|b|=8，a與與b的夾角是的夾角是150，計(jì)算：，計(jì)算：(1)(a+2b)(2a-b)；(2)|4a一一2b|如圖，已知空間四邊形如圖，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于等于a，點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別是分別是AB、AD、DC的中點(diǎn)。求的中點(diǎn)。求下列向量的數(shù)量積：下列向

13、量的數(shù)量積：(1);(2);(3);(4).AB ACAD BDGF ACEF BC 練習(xí)練習(xí)6ABCDEFG練習(xí)練習(xí)7ABCDA B C D 4AB 3 ,5 ,90 ,60ADAABADBAADAA AC DCBDABCA解：解：ACABADAA |85AC 22|()ACABADAA 222|2()ABADAAAB ADAB AAAD AA 2224352(0107.5)85 在平行四邊形在平行四邊形ABCD中，中，AB=AC=1，ACD=90，將它沿對(duì)，將它沿對(duì)角線角線AC折起，使折起，使AB與與CD成成60角，求角，求B，D間的距離間的距離練習(xí)練習(xí)8已知空間四邊形已知空間四邊形OAB

14、C中，中，M，N，P，Q分別為分別為BC，AC，OA，OB的中點(diǎn)，若的中點(diǎn)，若AB=OC，求證：，求證：PMQN證明：證明：練習(xí)練習(xí)9練習(xí)練習(xí)11123123(,),( ,)aa a abb b b設(shè)則;ab;ab;a; a b/;ab;ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b112233,()abab ab abR1 1223300 a ba ba ba b八、向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算八、向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算新課新課2222123| aa aaaa2222123| bb bbbb1. 1.距離公式距離公式（1

15、1）向量的長(zhǎng)度（模）公式）向量的長(zhǎng)度（模）公式注意：此公式的幾何意義是表示長(zhǎng)方體注意：此公式的幾何意義是表示長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度。的對(duì)角線的長(zhǎng)度。九、距離與夾角九、距離與夾角|ABABABAB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222212121|()()()ABdABxxyyzz在空間直角坐標(biāo)系中，已知、在空間直角坐標(biāo)系中，已知、，則，則111(,)A xyz222(,)B xyz（2）空間兩點(diǎn)間的距離公式）空間兩點(diǎn)間的距離公式cos,| | a ba bab1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb2. 2.兩個(gè)向量夾角公式

16、兩個(gè)向量夾角公式注意：注意：（1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，同向；時(shí)，同向；（2）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，反向；時(shí)，反向；（3）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，。時(shí)，。cos,1 a b與 abcos,1 a b與 abcos,0 a bab例例5已知已知 (2, 3,5),( 3,1, 4),|,8 ,abab ab aa a b 求(2, 3,5)( 3,1, 4)(5, 4,9)ab (2, 3,5)( 3,1, 4)( 1, 2,1)ab 222| |2( 3)538a 88(2, 3,5)(16, 24,40)a (2, 3,5) ( 3,1, 4)2 ( 3) ( 3) 1 5 ( 4)29a b 解解:F1E1C1B1A1D

17、1DABCyzxO解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，如圖建，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則立空間直角坐標(biāo)系，則Oxyz13(1,1, 0) ,1,1,4BE11(0 , 0 , 0) ,0 , 1.4DF，1311,1(1,1, 0)0 ,1,44BE 例例6如圖如圖, 在正方體中，在正方體中，求與所成的角的余弦值，求與所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D 11B E 11114A BD F1BE1DF1110, 1 (0,0,0)0, 1 .44DF ，1111150 01 1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 111111151516cos,.17| |171744BE DFBE DFBEDF 證明：不妨設(shè)已知正方體的棱長(zhǎng)為證明：不妨設(shè)已知正方體的棱長(zhǎng)為1 1個(gè)單個(gè)單位長(zhǎng)度位長(zhǎng)度, ,設(shè)設(shè) 1,DAi DCj DDk 分別以分別以 為坐標(biāo)向量建立空