方差分析公式

1、方差分析公式(2012-06-26 11:03:09) 轉(zhuǎn)載標(biāo)簽： 雜談分類： 統(tǒng)計方法 方差分析方差分析（analysis of variance，簡寫為ANOV或ANOVA）可用于兩個或兩個以上樣本均數(shù)的比較。應(yīng)用時要求各樣本是相互獨立的隨機(jī)樣本；各樣本來自正態(tài)分布總體且各總體方差相等。方差分析的基本思想是按實驗設(shè)計和分析目的把全部觀察值之間的總變異分為兩部分或更多部分，然后再作分析。常用的設(shè)計有完全隨機(jī)設(shè)計和隨機(jī)區(qū)組設(shè)計的多個樣本均數(shù)的比較。一、完全隨機(jī)設(shè)計的多個樣本均數(shù)的比較又稱單因素方差分析。把總變異分解為組間（處理間）變異和組內(nèi)變異（誤差）兩部分。目的是推斷k個樣本所分別代表的1，

2、2，k是否相等，以便比較多個處理的差別有無統(tǒng)計學(xué)意義。其計算公式見表19-6.表19-6 完全隨機(jī)設(shè)計的多個樣本均數(shù)比較的方差分析公式變異來源離均差平方和SS自由度v均方MSF總X2-C*N-1組間（處理組間）k-1SS組間/v組間MS組間/MS組間組內(nèi)（誤差）SS總-SS組間N-kSS組內(nèi)/v組內(nèi)*C=（X）2/N=ni，k為處理組數(shù)表19-7 F值、P值與統(tǒng)計結(jié)論F值P值統(tǒng)計結(jié)論0.05F0.05（v1.V2）0.05不拒絕H0，差別無統(tǒng)計學(xué)意義0.05F0.05（v1.V2）0.05拒絕H0，接受H1，差別有統(tǒng)計學(xué)意義0.01F0.01（v1.V2）0.01拒絕H0，接受H1，差別有高度

3、統(tǒng)計學(xué)意義方差分析計算的統(tǒng)計量為F，按表19-7所示關(guān)系作判斷。例19.9 某湖水不同季節(jié)氯化物含量測量值如表19-8，問不同季節(jié)氯化物含量有無差別？表19-8 某湖水不同季節(jié)氯化物含量（mg/L） Xij春夏秋冬22.619.118.919.022.822.813.616.921.024.517.217.616.918.015.114.820.015.216.613.121.918.414.216.921.520.116.716.221.221.219.614.8Xij j167.9159.3131.9129.3588.4（X）ni888832（N）Xi20.9919.9116.4916.1

4、6X2ijj 3548.51 3231.95 2206.27 2114.1111100.84（X2）H0：湖水四個季節(jié)氯化物含量的總體均數(shù)相等，即1=2=3=4H1：四個總體均數(shù)不等或不全相等=0.05先作表19-8下半部分的基礎(chǔ)計算。C= （x）2/N=（588.4）2/32=10819.205SS總=x2-C=11100.84-10819.205=281.635V總=N-1=31V組間=k-1=4-1=3SS組內(nèi)=SS總-SS組間=281.635-141.107=140.465V組內(nèi)=N-k=32-4=28MS組間=SS組間/v組間=141.107/3=47.057MS組內(nèi)=SS組內(nèi)/v組

5、內(nèi)=140.465/28=5.017F=MS組間/MS組內(nèi)=47.057/5.017=9.380以v1（即組間自由度）=3，v2（即組內(nèi)自由度）=28查附表19-2，F(xiàn)界值表，得F0.05（3，28）=2.95，F(xiàn)0.01（3，28）=4.57.本例算得的F=9.380F0.01（3，28），P0.01，按=0.05檢驗水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1，可認(rèn)為湖水不同季節(jié)的氯化物含量不等或不全相等。必要時可進(jìn)一步和兩兩比較的q檢驗，以確定是否任兩總體均數(shù)間不等。資料分析時，常把上述計算結(jié)果列入方差分析表內(nèi)，如表19-9.表19-9 例19.9資料的方差分析表變異來源SSvMSFP組間141.170347

6、.0579.380.01組內(nèi)140.465285.017總281.63531二、隨機(jī)區(qū)組（配伍組）設(shè)計的多個樣本均數(shù)比較又稱兩因素方差分析。把總變異分解為處理間變異、區(qū)組間變異及誤差三部分。除推斷k個樣本所代表的總體均數(shù)，1，2，k是否相等外，還要推斷b個區(qū)組所代表的總體均數(shù)是否相等。也就是說，除比較多個處理的差別有無統(tǒng)計學(xué)意義外，還要比較區(qū)組間的差別有無統(tǒng)計學(xué)意義。該設(shè)計考慮了個體變異對處理的影響，故可提高檢驗效率。表19-10隨機(jī)區(qū)組設(shè)計的多個樣本均數(shù)比較的方差分析公式變異來源離均差平方和SS自由度v均方MSF總X2-CN-1處理間k-1SS處理/v處理MS處理/MS誤差區(qū)組間b-1SS區(qū)

7、組/v區(qū)組MS區(qū)組MS誤差誤差SS總-SS處理-SS區(qū)組V總-v處理-v區(qū)組SS誤差/v誤差C、k、N的意義同表19-6，b為區(qū)組數(shù)例19.10為研究酵解作用對血糖濃度的影響，從8名健康人中抽血并制成血濾液。每個受試者的血濾液被分成4份，再隨機(jī)地把4份血濾液分別放置0，45，90，135分鐘，測定其血溏濃度（表19-11），試問放置不同時間的血糖濃度有無差別？處理間：H0：四個不同時間血糖濃度的總體均數(shù)相等，即1=2=3=4表19-11 血濾放置不同時間的血糖濃度（mmol/L） 區(qū)組號放置時間（分）受試者小計 Xijj0459013515.275.274.944.6120.0925.275.

8、224.884.6620.0335.885.835.385.0022.0945.445.385.275.0021.0955.665.445.384.8821.3666.226.225.615.2223.2775.835.725.384.8821.8185.275.115.004.4419.82Xij j44.8444.1941.8438.69169.56（X）Ni888832（N）Xi5.60505.52385.23004.8363X2ij j252.1996245.0671219.2962187.5585904.1214（X2）H1：四個總體均數(shù)不等或不全相等=0.05區(qū)組間：H0：八個區(qū)組

9、的總體均數(shù)相等，即1=2=8H1：八個區(qū)組的總體均數(shù)不等或不全相等=0.05先作表19-11下半部分和右側(cè)一欄的基本計算。C=（X）2/N=（169.56）2/32=898.45605SS總=X2-C=904.1214-898.45605=5.66535V總=N-1=32-1=31V處理=k-1=4-1=3V區(qū)組=b-1=8-1=7SS誤差=SS總-SS處理-SS區(qū)組=5.66535-2.90438-2.49800=0.26297V誤差=（k-1）（b-1）=3×7=21MS處理=SS處理/v處理=2.90438/3=0.9681MS區(qū)組=SS區(qū)組/v區(qū)組=2.49800/7=0.3

10、569MS誤差=SS誤差/v誤差=0.26297/21=0.0125F處理=MS處理/MS誤差=0.9681/0.0125=77.448F區(qū)組=MS區(qū)組/MS誤差=0.3569/0.0125=28.552推斷處理間的差別，按v1=3，v2=21查F界值表，得F0.005（3，21）=3.07，F(xiàn)0.01（3，21）=4.87，P0.01；推斷區(qū)組間的差別，按v1=7，v2=21查F界值表，得F0.05（7，21）=2.49，F(xiàn)0.01（7，21）=3.64，P0.01.按=0.05檢驗水準(zhǔn)皆拒絕H0，接受H1，可認(rèn)為放置時間長短會影響血糖濃度且不同受試者的血糖濃度亦有差別。但尚不能認(rèn)為任兩個不

11、同放置時間的血糖濃度總體均數(shù)皆有差別，必要時可進(jìn)一步作兩兩比較的q檢驗。表19-12 例19.10資料的方差分析表變異來源SSvMSFP處理間2.9043830.968177.4480.01區(qū)組間2.4980070.356928.5520.01誤差0.26297210.0125總5.6653831三、多個樣本均數(shù)間的兩兩比較的q檢驗經(jīng)方差分析后，若按=0.05檢驗水準(zhǔn)不拒絕H0，通常就不再作進(jìn)一步分析；若按=0.05甚至=0.01檢驗水準(zhǔn)拒絕H0，且需了解任兩個總體均數(shù)間是否都存在差別，可進(jìn)一步作多個樣本均數(shù)間的兩兩比較。兩兩比較的方法較多，在此僅介紹較常用的q檢驗（Newman-Keuls法

12、）（各組ni相等）公式（19.14）（各組ni不等）公式（19.15）式中，xA-xB為兩兩對比中，任兩個對比組A、B的樣本均數(shù)之差；sxA-xB為兩樣本均數(shù)差的標(biāo)準(zhǔn)誤；ni為各處理組的樣本含量；nA，nB分別為A、B兩對比組的樣本含量；MS誤差為單因素方差分析中的組內(nèi)均方（MS組內(nèi)）或兩因素方差分析中的誤差均方（MS誤差）。計算的統(tǒng)計量為q，按表19-13所示關(guān)系作判斷。例19.11 對例19.9資料作兩兩比較H0：任兩個季節(jié)的湖水氯化物含量的總體均數(shù)相等，即A=BH1：任兩總體均數(shù)不等，即AB表19-13 |q| 值、P值與統(tǒng)計結(jié)論|q|P值統(tǒng)計結(jié)論0.05q0.05（v.a）0.05不拒

13、絕H0，差別無統(tǒng)計學(xué)意義0.05q0.05（v.a）0.05拒絕H0。接受H1，差別有統(tǒng)計學(xué)意義0.01q0.01（v.a）0.01拒絕H0，接受H1，差別有高度統(tǒng)計學(xué)意義= 0.051.將四個樣本的均數(shù)由大到小排列編秩，注明處理組。xi167.9159.3131.9129.3處理組春夏秋冬秩次12342.計算 sxA-xB本例各處理組的樣本含量n1相等，按式（19，14）計算兩均數(shù)差的標(biāo)準(zhǔn)誤。已知MS組內(nèi)=5.017，n=83.列兩兩比較的q檢驗計算表（表19-14）表19-14 兩兩比較的q檢驗計算表A與B （1）x-x （2）組數(shù)，a（3）q值 （4）=（2）/0.7919q0.05（v

14、.a）（5）q0.01（v.a）（6）P值 （7）（1）與（4）38.6448.7443.854.800.01（1）與（3）36.0345.4603.494.450.01（1）與（2）8.6210.8602.893.890.01（2）與（4）30.0337.8843.494.450.01（2）與（3）27.4234.6002.893.890.01（2）與（4）2.623.2832.893.890.05表中第（1）欄為各對比組，如第一行1與4，指A為第1組，B為第4組。第（2）欄為兩對比組均數(shù)之差，如第一行為X1與X4之差，余類推。第（3）欄為四個樣本均數(shù)按大小排列時，A、B兩對比組范圍內(nèi)所包含的組數(shù)a，如第一“1與4”范圍內(nèi)包含4個組，故a=4.第（4）欄是按式（19.13）計算的統(tǒng)計量q值，式中的分母0.7919是按式（19.14）計算出來的SXA-XB.第（5）、（6）欄是根據(jù)誤差自由度v與組數(shù)a查附表19-3q界值表所得的q界值，本例v誤差=28，因q界值表中自由度一欄無28，可用近似值30或用內(nèi)插法得出q界值，本例用近似值30查表，當(dāng)a=4時，q0.05（30，4）=3.85，q0.01（30，4）=4.80 ，余類推。第（7）欄是按表19-13判定的。4.結(jié)論由表1