Copula理論簡介

1、Copula理論簡介引 言 國際金融市場快速發(fā)展市場間相互依存性加強。 金融創(chuàng)新不斷涌現(xiàn)金融風(fēng)險越發(fā)集中和隱蔽。 相關(guān)性分析是多變量金融分析中的一個中心問題，資產(chǎn)定價、投資組合、波動的傳導(dǎo)和溢出、風(fēng)險管理等問題都涉及相關(guān)性分析。而常用的線性相關(guān)系數(shù)有具有一定的局限性。如它要求變量間是線性的，且方差存在，但是金融市場中出現(xiàn)的不少數(shù)據(jù)往往是厚尾分布，它們的方差有時并不存在。 金融波動和危機的頻繁出現(xiàn)使風(fēng)險度量和多變量金融時間序列分析成為國內(nèi)外關(guān)注的焦點，原有的多變量金融模型已不能完全滿足發(fā)展的需要。如用Var來度量風(fēng)險時須具備一定的條件，它在非橢圓分布時就不可用。主要內(nèi)容常用的Copula函數(shù)Co

2、pula函數(shù)的定義1Copula函數(shù)的相關(guān)測度23Copula模型的構(gòu)建45Copula模型的參數(shù)估計1.Copula函數(shù)的定義什么是Copula函數(shù)？ 形象地說，我們可以把Copula函數(shù)叫做“連接函數(shù)”或“相依函數(shù)”，它是把多個隨機變量的聯(lián)合分布與它們各自的邊緣分布相連接起來的函數(shù)。 nnnxFxFxFCxxxF,221121多元聯(lián)合分布函數(shù)邊緣分布Copula函數(shù)1.Copula函數(shù)的定義Sklar定理 令 為具有邊緣分布的聯(lián)合分布函數(shù)，那么存在一個Copula函數(shù) ，滿足：,FnFFF,21,C nnnxFxFxFCxxxF,221121 若 連續(xù)，則 唯一確定。 nFFF,21,C2

3、.相關(guān)性測度 2.1.提出問題 2.2.基于Copula函數(shù)的相關(guān)性測度 2.3.尾部相關(guān)性2.1.關(guān)于相關(guān)系數(shù)一個問題 我們知道，對于兩個變量之間的相關(guān)性關(guān)系，我們可以利用相關(guān)系數(shù) 來度量，但是，我們看下面的問題： 若 （x，y顯然關(guān)系密切） 則 即x，y的相關(guān)系數(shù)為0。 因此，當(dāng)變量間的關(guān)系是非線性時，用相關(guān)系數(shù)來度量其關(guān)系是不可靠的。而Copula函數(shù)在一定的范圍內(nèi)就可以避免這個問題。2,1 , 0 xyNx 0,23xExExEyExExyEyxCov2.2.基于Copula函數(shù)的相關(guān)性測度定理 對隨機變量 做嚴(yán)格的單調(diào)增變換，相應(yīng)的Copula函數(shù)不變。nxxx,21Kendall秩

4、相關(guān)系數(shù)Spearman秩相關(guān)系數(shù)Gini關(guān)聯(lián)系數(shù)2.2.基于Copula函數(shù)的相關(guān)性測度11, yx22, yxKendall秩相關(guān)系數(shù) 考察兩個變量的相關(guān)性時，最直觀的方法是考察它們的變化趨勢是否一致。若一致，表明變量間存在正相關(guān)；若不一致，表明變量間是負相關(guān)的。 令 和 為隨機向量(X,Y)的兩組觀測值，如果 且 ，或者 且 ,即 ，則稱 和 是一致的，反之，即 ，則為不一致。21xx 21yy 21xx 21yy 02121yyxx11, yx22, yx02121yyxx2.2.基于Copula函數(shù)的相關(guān)性測度定義： 和 為獨立同分的隨機向量，0021212121yyxxPyyxxP

5、1，完全正相關(guān)； ，完全負相關(guān)； ，無法判定。10可以看到，對于單調(diào)增函數(shù)s(x)和t(y)，有 0021212121yyxxytytxsxs因此值對單調(diào)增的變換是不變的。Kendall秩相關(guān)系數(shù)可以由Copula函數(shù)給出（證明略）：1,41010 vudCvuC11, yx22, yx2.2.基于Copula函數(shù)的相關(guān)性測度Spearman秩相關(guān)系數(shù)定義： 和 為獨立同分布的隨機向量，則 2211,yxyx33, yx00331213121yyxxPyyxxPSperman秩相關(guān)系數(shù)對嚴(yán)格單調(diào)增的變換也是不變的，由相應(yīng)的Copula函數(shù)來表示如下： 101010103,123,12duvvu

6、CvuuvdC2.2.基于Copula函數(shù)的相關(guān)性測度Gini關(guān)聯(lián)系數(shù) 和只考慮了隨機變量變化方向的一致性和不一致性，而Gini關(guān)聯(lián)系數(shù)則更細致地考慮了隨機變量變化順序的一致性和不一致性。 設(shè)隨機變量(X,Y)的n個樣本為 ，將 按從小到大順序排列后， 的名次 稱為它的秩，同樣 在 中的名次（秩）記為 。 如果x，y的變化是一致的， 就應(yīng)該很小，所以 反映了不一致的程度。如果變化方向相反，那么與 應(yīng)處于兩端， 位于 位置時， 應(yīng)位于倒數(shù)第 的位置上，即第 的位置上，因此， 就應(yīng)該很小，而 就反映了相反變化的不一致程度。 nnyxyxyx,2211nxxx,21ixiriynyyy,21isii

7、sr niiisr1irisixirisirirn1iirns1niiinsr112.2.基于Copula函數(shù)的相關(guān)性測度定義：令 為隨機變量X,Y的樣本 ，i=1,2,.,n的秩，則iisr,iiyx ,niiiniiisrnsrn11212int1Gini系數(shù)可以擴展到無限樣本的情形，并有相應(yīng)的Copula函數(shù)給出：vudCvuvu,121010 2.3.尾部相關(guān)性 在金融風(fēng)險分析中，更有意義的是隨機變量的尾部相關(guān)性，這一特性用Copula函數(shù)來處理十分方便?？紤]條件概率 ，它可以用來討論金融市場之間或金融市場中各類資產(chǎn)之間的相關(guān)性。當(dāng)x,y趨于無窮大或足夠大時， 即反映了隨機變量X與Y的

8、尾部相關(guān)性。xXyYP|xXyYP|2.3.尾部相關(guān)性定義：(上尾相關(guān)與獨立、下尾相關(guān)與獨立) 令 為連續(xù)隨機變量的向量，邊緣分布分別為F,G，則 的上尾相關(guān)系數(shù)為,YX,YX UuuFXuGYP111|lim若 ，X,Y稱為上尾相關(guān)；若 ，X,Y稱為上尾獨立。1 , 0U0U LuuFXuGYP110|lim下尾相關(guān)系數(shù)為若 ，X,Y稱為下尾相關(guān)；若 ，X,Y稱為下尾獨立。1 , 0L0L2.3.尾部相關(guān)性由于同樣可證因此，基于Copula函數(shù)的尾部相關(guān)性可以表示為 uuuCuFXPuFXuGYPuFXuGYP,|11111 uuuCuuFXuGYP1,21|11uuuCuuU1,21lim

9、1uuuCuL,lim0相關(guān)性測度總結(jié)1,41010 vudCvuC 101010103,123,12duvvuCvuuvdCvudCvuvu,121010 uuuCuuU1,21lim1uuuCuL,lim0Kendall秩相關(guān)系數(shù)Spearman秩相關(guān)系數(shù)Gini關(guān)聯(lián)系數(shù)上尾相關(guān)系數(shù)下尾相關(guān)系數(shù)3.常用的Copula函數(shù) 3.1.二元正態(tài)Copula函數(shù) 3.2.二元t-Copula函數(shù) 3.3.二元阿基米德Copula函數(shù)3.1.二元正態(tài)Copula函數(shù) uvdrdsrssrvuC112222122exp121;, 2exp122exp11;,212121121212vuvuvuvuc3

10、.2.二元t-Copula函數(shù) uTvTdsdtsttsvuC11222222121121,;,22221222212221221112121222,;,iivuc3.3二元阿基米德Copula函數(shù) 阿基米德分布函數(shù)的定義: nnuuuuuuC21121,其中 稱為阿基米德Copula函數(shù)的生成元，它是一個凸的減函數(shù)。常用的二元阿基米德Copula函數(shù)： Gumbel Copula函數(shù) Clayton Copula函數(shù) Frank Copula函數(shù)3.3二元阿基米德Copula函數(shù)Gumbel Copula函數(shù)11lnlnexp;,vuvuCG11lnlnlnlnlnln;,;,1121111

11、vuvuuvvuvuCvucGG生成元1lnt1G22GU0GL3.3二元阿基米德Copula函數(shù)上尾部變化十分敏感3.3二元阿基米德Copula函數(shù)Clayton Copula函數(shù)11;,vuvuCcl12111;,vuuvvuccl生成元1t0CU2C12CL3.3二元阿基米德Copula函數(shù)下尾部變化十分敏感3.3二元阿基米德Copula函數(shù)Frank Copula函數(shù)1111ln1;,eeevuCvuF 21111;,vuvuFeeeeevuc生成元11lneet111410dtettF0FU0FL3.3二元阿基米德Copula函數(shù)描述對稱相關(guān)結(jié)構(gòu)，上尾下尾相關(guān)性變化都不敏感4.Copula模型的構(gòu)建兩階段法：1.確定邊緣分布；2.選取一個適當(dāng)?shù)腃opula函數(shù)，以便能很好地描述出隨機變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)。4.Copula模型的構(gòu)建選擇適當(dāng)?shù)腃opula函數(shù)1.看這種Copula函數(shù)的特征是否與現(xiàn)實金融市場指數(shù)的收益率之間的相關(guān)性符合。2.看這種Copula函數(shù)在實際應(yīng)用中的可操作性。3.看這種Copula函數(shù)所模擬結(jié)果與實際符合的程度。邊緣分布的選擇:自回歸模型常用