循環(huán)卷積與線性卷積的實(shí)現(xiàn)

1、實(shí)驗(yàn)四 循環(huán)卷積與線性卷積的實(shí)現(xiàn)一、仿真實(shí)驗(yàn)?zāi)康?）進(jìn)一步理解并掌握循環(huán)卷積與線性卷積的概念；2）理解掌握二者的關(guān)系。二、實(shí)驗(yàn)分析和計(jì)算 兩個(gè)序列的N點(diǎn)循環(huán)卷積定義為 從定義中可以看到，循環(huán)卷積和線性卷積的不同之處在于：兩個(gè)N點(diǎn)序列的N點(diǎn)循環(huán)卷積的結(jié)果仍為N點(diǎn)序列，而它們的線性卷積的結(jié)果的長度為2N-1；循環(huán)卷積對序列的移位采取循環(huán)移位，而線性卷積對序列采取線性移位。正是這些不同，導(dǎo)致了線性卷積和循環(huán)卷積有不同的結(jié)果和性質(zhì)。 循環(huán)卷積和線性卷積雖然是不用的概念，但它們之間由一個(gè)有意義的公式聯(lián)系在一起其中。 也就是說，兩個(gè)序列的N點(diǎn)循環(huán)卷積是它們線性卷積以N為周期的周期延拓。設(shè)序列還的長度為，序

2、列的長度為，此時(shí)，線性卷積結(jié)果的序列的點(diǎn)數(shù)為；因此如果循環(huán)卷積的點(diǎn)數(shù)N小于，那么上述周期性延拓的結(jié)果就會產(chǎn)生混疊，從而兩種卷積會有不同的結(jié)果。而如果N滿足的條件，就會有 這就意味著時(shí)域不會產(chǎn)生混疊。因此，我們得出結(jié)論：若通過在序列的末尾填充適當(dāng)?shù)牧阒?，使得和成為點(diǎn)序列，并作為這兩個(gè)序列的循環(huán)卷積，那么循環(huán)卷積與線性卷積的結(jié)果在范圍內(nèi)相同。 根據(jù)DFT循環(huán)卷積性質(zhì)中卷積定理便可通過兩種方法求兩個(gè)序列的循環(huán)卷積：一直直接根據(jù)定義計(jì)算；二是根據(jù)性質(zhì)先分別求兩個(gè)序列的N點(diǎn)DFT，并相乘，然后取IDFT以得到循環(huán)卷積。第二種方法看起來要經(jīng)過若干個(gè)步驟，但由于求序列的DFT和IDFT都有快速算法，因此它的

3、效率比第一種方法高得多。 同樣，根據(jù)線性卷積和循環(huán)卷積的關(guān)系，可以通過計(jì)算循環(huán)卷積以求得線性卷積，提高計(jì)算序列線性卷積的效率。例 已知有限長序列x(n)和h(n)如圖題所示，試畫出：（1） x(n)和h(n)的線卷積；（2） x(n)和h(n)的9點(diǎn)循環(huán)卷積；（3） x(n)和h(n)的5點(diǎn)循環(huán)卷積。解：(1)x(n)和h(n)的線卷積m 0 1 2 3 4 h(m) 0 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 最后得出 其線性卷積圖形繪于

4、圖4-1中。 （2） x(n)和h(n)的9點(diǎn)循環(huán)卷積；012345678012340000100001111110000111111000011111100001111110000011111000001111100000111110000011111 最后得出 其線性卷積圖形繪于圖4-2中。 (3) x(n)和h(n)的5點(diǎn)循環(huán)卷積。01234012341111111111111111111111111 最后得出 其線性卷積圖形繪于圖4-3中。3、 應(yīng)用MATLAB仿真 所用程序?qū)崿F(xiàn)如下： 首先得有計(jì)算循環(huán)卷積的函數(shù)。這里，根據(jù)上面提到的兩種方法，編寫兩個(gè)實(shí)現(xiàn)循環(huán)卷積的函數(shù)。 functi

5、on y = circonv1(x1,x2,N)if length(x1)>Nerror('N must not be less than length of x1')endif length(x2)>Nerror('N must not be less than length of x2')endx1=x1,zeros(1,N-length(x1);x2=x2,zeros(1,N-length(x2);n=0:1:N-1;x2=x2(mod(-n,N)+1);H=zeros(N,N);for n=1:1:NH(n,:)=cirshiftd(x2,n

6、-1,N);endy=x1*H'function y=cirshiftd(x,m,N)% 輸出序列含循環(huán)移位（y=Output sequence contains circular shift。）% 輸入序列長度x<=N。% 樣本位移m=sample shift.% 循環(huán)范圍N=size of circular buffer.% 模式：y(n)=x(n-m)mod N).if length(x)>N error('N 必須大于等于x 的長度！')endx=x zeros(1,N-length(x);n=0:1:N-1;n=mod(n-m,N);y=x(n+1

7、);上述函數(shù)直接利用循環(huán)函數(shù)的定義。本來最簡單的方法是用兩個(gè)for循環(huán)嵌套，但是這樣的效率顯然很低。因此，這里采用矩陣計(jì)算的方法，即先生成矩陣H，它的第k行包括序列 ,這樣，矩陣H與序列相乘的結(jié)果就是兩個(gè)序列的循環(huán)卷積。這種方案的效率有很大的提高。function y =circonv2(x1,x2,N)if length(x1)>Nerror('N must not be less than length of x1')endif length(x2)>Nerror('N must not be less than length of x2')en

8、dX1k=fft(x1,N);X2k=fft(x2,N);Yk=X1k.*X2k;y=ifft(Yk);if(all(imag(x1)=0)&&(all(imag(x2)=0);y=real(y);end 該函數(shù)采取的是第二種方法。注意到，在該函數(shù)的末尾，也判斷了是否是兩實(shí)序列卷積的情形。 下面利用這兩種的兩個(gè)函數(shù)來實(shí)現(xiàn)循環(huán)卷積和線性卷積。計(jì)算序列的循環(huán)卷積采用conv，因?yàn)楝F(xiàn)在序列都默認(rèn)從零時(shí)刻開始，函數(shù)conv正好滿足要求。輸入以下MATLAB命令：n=0:1:4;m=0:1:4; N1=length(n);N2=length(m);xn=ones(1,N1);hn=m;y1n=conv(xn,hn);y2n=circonv2(xn,hn,N1+N2-1);y3n=circonv1(xn,hn,N1);ny1=0:1:length(y1n)-1;ny2=0:1:length(y3n)-1;subplot(3,1,1);stem(ny1,y1n);subplot(3,1,2);stem(ny1,y2n