控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型

1、2.2 控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型 線(xiàn)性元部件、線(xiàn)性系統(tǒng)微分方程的建立用解析法列寫(xiě)系統(tǒng)或元部件微分方程的一般步驟是： 根據(jù)系統(tǒng)的具體工作情況，確定系統(tǒng)或元部件的輸入、輸出變量； 從輸入端開(kāi)始，按照信號(hào)的傳遞順序，依據(jù)各變量所遵循的物理（或化學(xué)）定律，列寫(xiě)出各元部件的動(dòng)態(tài)方程，一般為微分方程組； 消去中間變量，寫(xiě)出輸入、輸出變量的微分方程； 將微分方程標(biāo)準(zhǔn)化，即將與輸入有關(guān)的各項(xiàng)放在等號(hào)右側(cè)，與輸出有關(guān)的各項(xiàng)放在等號(hào)左側(cè)，并按降冪排列。下面舉例說(shuō)明建立微分方程的步驟和方法。 例2-1 R-L-C無(wú)源網(wǎng)絡(luò)如圖2-1所示，試列寫(xiě)輸入電壓ur與輸出電壓uc之間的微分方程。 解 這是一個(gè)電學(xué)系統(tǒng)，根據(jù)克希荷

2、夫定律可寫(xiě)出 （2-1） （2-2）消去上兩式的中間變量，整理可得 （2-3）假定都是常數(shù)，則上式即為二階線(xiàn)性常系數(shù)微分方程。令 即 （2-4）式中，表示R-L-C網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間常數(shù)；表示阻尼系數(shù)。將式（2-4）代入式（2-3）并整理，可得一標(biāo)準(zhǔn)形式為 （2-5a）同樣，若令（自然頻率），可將（2-5a）表示為另一種標(biāo)準(zhǔn)形式 （2-5b）例2-2 彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)如圖2-2所示，其中，為彈簧的彈性系數(shù)， 為阻尼器的阻尼系數(shù)，表示小車(chē)的質(zhì)量。如果忽略小車(chē)與地面的摩擦，試列寫(xiě)以外力為輸入，以位移為輸出的系統(tǒng)微分方程。解 這是一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)。首先對(duì)小車(chē)進(jìn)行隔離體受力分析，如圖2-3所示。 在水平方向

3、應(yīng)用牛頓第二定律可寫(xiě)出 (2-6) 若令： 則可將式(2-6)寫(xiě)成如下標(biāo)準(zhǔn)形式 (2-7) 例2-3 試列寫(xiě)圖2-4所示電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)的微分方程。圖中，電樞電壓為輸入量，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為輸出量。分別是電樞電路的電阻和電感，是折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩。假設(shè)激磁電流為常值。 解 這是一個(gè)電學(xué)-力學(xué)系統(tǒng)。電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)是將輸入的電能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能，其工作原理是，由輸入的電樞電壓在電樞回路中產(chǎn)生電樞電流，再由電流與激磁磁通相互作用對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩，從而拖動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng)。電動(dòng)機(jī)的微分方程可由以下三部分組成。 電樞回路電壓平衡方程： （2-8）式中：是電樞旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的反電勢(shì)，其大小轉(zhuǎn)速成正比，

4、即，是反電勢(shì)系數(shù)。 電磁轉(zhuǎn)矩方程為 （2-9）式中，是電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)；是電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩。 電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程： （2-10）式中：是電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)；是電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由式（2-8）（2-10）中消去中間變量便可以得到以為輸出量，以為輸入量的電動(dòng)機(jī)微分方程 （2-11）可見(jiàn),式(2-11)為二階線(xiàn)性微分方程。在工程應(yīng)用中，由于電樞電路電感較小，通?？珊雎圆挥?jì)，因而式（2-11）可簡(jiǎn)化成如下形式 （2-12）式中：是電動(dòng)機(jī)的機(jī)電時(shí)間常數(shù)（單位：s）, ，是電動(dòng)機(jī)的傳動(dòng)系數(shù)。若、均為常數(shù)時(shí)，則式（2-12）就是一個(gè)一階常系數(shù)線(xiàn)性微分方

5、程。另外,在隨動(dòng)系統(tǒng)中,也常常以電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)角作為輸出量，將代入式（2-12），有 （2-13）例2-4 設(shè)有圖1-4(a)所示電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)，試列寫(xiě)其微分方程。解 給定電壓為輸入量，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為輸出量。從產(chǎn)生偏差的元件開(kāi)始，按信號(hào)流通方向依次寫(xiě)出組成該系統(tǒng)各元件的微分方程。 測(cè)量元件：測(cè)速發(fā)電機(jī)作為測(cè)量元件，它可將系統(tǒng)輸出角速度轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的電壓，即 （2-14）其中是測(cè)速發(fā)電機(jī)的傳遞函數(shù)，可看作常數(shù)。 比較元件：比較元件將反饋電壓與給定電壓進(jìn)行比較，并產(chǎn)生偏差電壓，即 （2-15） 放大元件：包括電壓放大器和功率放大器兩部分，作用是對(duì)偏差電壓進(jìn)行電壓和功率放大，即 （2-16）式中，是電壓

6、放大器和功率放大器的放大系數(shù)，為常數(shù)。 執(zhí)行元件：直流電動(dòng)機(jī)作為執(zhí)行元件，它將電樞電壓轉(zhuǎn)換成電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸的角速度，根據(jù)例2-3 中式（2-12）可知，直流電動(dòng)機(jī)的微分方程為 （2-17） 減速器：減速器是用來(lái)減速并增大力矩的，其微分方程為 （2-18）式中，是減速器的傳動(dòng)比，為常數(shù)。聯(lián)立式（2-14）（2-18），消去中間變量、，可得電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的微分方程為 （2-19） 從上述系統(tǒng)或元部件的微分方程可以看出，不同類(lèi)型的元件或系統(tǒng)可具有形式相同的數(shù)學(xué)模型。例如，例2-1和例2-2系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型均是二階微分方程，例2-3和例2-4系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型均為一階微分方程。我們稱(chēng)這些物理系統(tǒng)為相似系統(tǒng)

7、，相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象間的相似關(guān)系，也為控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)仿真提供了基礎(chǔ)。 非線(xiàn)性系統(tǒng)微分方程的線(xiàn)性化前文討論的元件和系統(tǒng)，假設(shè)都是線(xiàn)性的，因而，描述它們的數(shù)學(xué)模型也都是線(xiàn)性微分方程。事實(shí)上，任何一個(gè)元件或系統(tǒng)總是存在一定程度的非線(xiàn)性。例如，彈簧的剛度與其形變有關(guān)，并不一定是常數(shù)；電阻R、電感L、電容C等參數(shù)值與周?chē)h(huán)境（溫度、濕度、壓力等）及流經(jīng)它們的電流有關(guān)，也不一定是常數(shù)；電動(dòng)機(jī)本身的摩擦、死區(qū)等非線(xiàn)性因素會(huì)使其運(yùn)動(dòng)方程復(fù)雜化而成為非線(xiàn)性方程；等等。嚴(yán)格地說(shuō)，實(shí)際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一般都是非線(xiàn)性的，而非線(xiàn)性微分方程沒(méi)有通用的求解方法。因此，在研究系統(tǒng)時(shí)總是力圖將非線(xiàn)性問(wèn)題在合理、可能的條

8、件下簡(jiǎn)化為線(xiàn)性問(wèn)題處理。如果做某些近似或縮小一些研究問(wèn)題的范圍，可以將大部分非線(xiàn)性方程在一定的工作范圍內(nèi)近似用線(xiàn)性方程來(lái)代替，這樣就可以用線(xiàn)性理論來(lái)分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)。雖然這種方法是近似的，但它便于分析計(jì)算，在一定的工作范圍內(nèi)能反映系統(tǒng)的特性，在工程實(shí)踐中具有實(shí)際意義。例2-5 鐵芯線(xiàn)圈如圖2-5(a)所示。試列寫(xiě)以電壓為輸入，電流為輸出的鐵芯線(xiàn)圈的微分方程。解 根據(jù)克希荷夫定律有 （2-20）式中，為線(xiàn)圈的感應(yīng)電勢(shì)，它正比于線(xiàn)圈中磁通變化率，即 （2-21）式中，為比例常數(shù)。鐵芯線(xiàn)圈的磁通是線(xiàn)圈中電流的非線(xiàn)性函數(shù)，如圖2-5（b）所示。將式（2-21）代入式（2-20）得 （2-22）顯然這是一個(gè)非線(xiàn)性微分方程。 (a) (b) 圖2-5 鐵芯線(xiàn)圈及磁通曲線(xiàn) 如果在工作過(guò)程中，線(xiàn)圈的電壓、電流只在平衡工作點(diǎn)（）附近作微小的變化，在的鄰域內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，則在平衡點(diǎn)鄰域內(nèi)，磁通可表示成泰勒級(jí)數(shù)，即式中，當(dāng)“足夠小”時(shí)，略去高階項(xiàng)，取其一次近似，有式中，為平衡點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，令它為，則有 上式表明，經(jīng)小擾動(dòng)線(xiàn)性化處理后，線(xiàn)圈中電流增量與磁通增量之間已經(jīng)近似為線(xiàn)性關(guān)系了。將式（2-22）中，均表示成平衡點(diǎn)附近的增量方程，即將上述三式代入方程(2-22)，消去中間變量并整理，可