電路教案第14章線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析

1、本章重點(diǎn)：(1) 拉普拉斯變換的基本原理和性質(zhì)(2) 掌握用拉普拉斯變換分析線性電路的方法和步驟 (3) 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的概念(4) 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)14.1 拉普拉斯變換的定義1. 拉氏變換法 拉氏變換法是一種數(shù)學(xué)積分變換，其核心是把時(shí)間函數(shù)f(t)與復(fù)變函數(shù)F(s)聯(lián)系起來(lái)，把時(shí)域問(wèn)題通過(guò)數(shù)學(xué)變換為復(fù)頻域問(wèn)題，把時(shí)域的高階微分方程變換為頻域的代數(shù)方程以便求解。應(yīng)用拉氏變換進(jìn)行電路分析稱為電路的復(fù)頻域分析法，又稱運(yùn)算法。2. 拉氏變換的定義定義 0 , )區(qū)間函數(shù) f(t)的拉普拉斯變換式：S: 復(fù)頻率，注意：l 積分域：0-：積分下限從0- 開(kāi)始，稱為0- 拉氏變換 。 0+：積分下限從0+

2、 開(kāi)始，稱為0+ 拉氏變換 。今后討論的均為0 - 拉氏變換。 （0- ,0區(qū)間f (t) = d (t) 時(shí)，此項(xiàng)¹0）l 象函數(shù)F(s) 存在的條件：如果存在有限常數(shù)M和 c 使函數(shù) f(t) 滿足：，即：則f(t)的拉氏變換式F(s)總存在，因?yàn)榭偪梢哉业揭粋€(gè)合適的s 值使上式積分為有限值。l 象函數(shù)F(s) 用大寫(xiě)字母表示,如I(s)，U(s)；原函數(shù)f(t) 用小寫(xiě)字母表示，如 i(t), u(t)。3.典型函數(shù)的拉氏變換 變換公式：(1)單位階躍函數(shù)的象函數(shù)(2)單位沖激函數(shù)的象函數(shù)(3)指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)14.2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)1.線性性質(zhì) ，證明：結(jié)論：根據(jù)拉氏

3、變換的線性性質(zhì)，求函數(shù)與常數(shù)相乘及幾個(gè)函數(shù)相加減的象函數(shù)時(shí)，可以先求各函數(shù)的象函數(shù)再進(jìn)行相乘及加減計(jì)算。例：解：例：解：2. 微分性質(zhì),證明：例：利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求下列函數(shù)的象函數(shù)解：， 解：， 推廣： 3.積分性質(zhì)，證明：，則： （由于f(t)有界，則第二項(xiàng)為零）例：解：，4.延遲性質(zhì)，證明： （）例：求矩形脈沖的象函數(shù)TTf(t)o解：矩形脈沖的原函數(shù)為根據(jù)延遲性質(zhì)：例：求三角波的象函數(shù)解：三角波的原函數(shù)為：對(duì)原函數(shù)進(jìn)行變換：則：例：求周期函數(shù)的拉氏變換 解：設(shè)f1(t)為一個(gè)周期的函數(shù)(單周期函數(shù))，且即：5.拉普拉斯的卷積定理證明： ，得：14.3 拉普拉斯反變換的部分分式展開(kāi)用拉氏變換求

4、解線性電路的時(shí)域響應(yīng)時(shí)，需要把求得的響應(yīng)的拉氏變換式反變換為時(shí)間函數(shù)。由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：(1)利用公式(2)對(duì)簡(jiǎn)單形式的F(s)可以查拉氏變換表得原函數(shù)(3)把F(s)分解為簡(jiǎn)單項(xiàng)的組合（部分分式展開(kāi)法） 設(shè)象函數(shù)的一般形式為：，利用部分分式可將F(s)分解為： 待定常數(shù)Ki的確定：方法1：原因： （注意：s-pi=0）方法2：求極限的方法例：解法1： ，解法2：， （K1、K2也是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)）則：例：解： ，即例：解： ， 可見(jiàn)，由F(s)求f(t) 的步驟可歸納為：1. n =m 時(shí)將F(s)化成真分式和多項(xiàng)式之和2. 求真分式分母的根，將真分式展開(kāi)成部分分式：3. 求各部分分式的

5、系數(shù)4. 對(duì)每個(gè)部分分式和多項(xiàng)式逐項(xiàng)求拉氏反變換例：解： 14.4 運(yùn)算電路1.基爾霍夫定律的運(yùn)算形式基爾霍夫定律的時(shí)域表示：，根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)得KCL、KVL的運(yùn)算形式：，2.電路元件的運(yùn)算形式l 電阻R的運(yùn)算形式。時(shí)域形式：u=Ri ；取拉氏變換：或。元件特性：l 電感L的運(yùn)算形式。時(shí)域形式：；取拉氏變換： 或；元件特性：（如上圖）l 電容C的運(yùn)算形式。時(shí)域形式：；取拉氏變換：或；元件特性： C的運(yùn)算電路l 耦合電感的運(yùn)算形式. 時(shí)域形式：；取拉氏變換：；元件特性：耦合電感的運(yùn)算電路 l 受控源的運(yùn)算形式。時(shí)域形式：；取拉氏變換：； 受控源的運(yùn)算電路 l RLC串聯(lián)電路的運(yùn)算形式。時(shí)

6、域形式：拉氏變換電路： ；元件等效：。有：整理：小結(jié)電路的運(yùn)算形式：1. 電壓、電流用象函數(shù)形式；2. 元件用運(yùn)算阻抗或運(yùn)算導(dǎo)納表示；3. 電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示。例：給出圖示電路的運(yùn)算電路模型。解：t=0 時(shí)開(kāi)關(guān)打開(kāi)，uc(0-)=25V；iL(0-)=5A。（注意附加50V電源支路） 14.5 應(yīng)用拉普拉斯變換法分析線性電路1. 運(yùn)算法的計(jì)算步驟l 由換路前的電路計(jì)算uc(0-) , iL(0-) ；l 畫(huà)運(yùn)算電路模型，注意運(yùn)算阻抗的表示和附加電源的作用；l 應(yīng)用前面各章介紹的各種計(jì)算方法求象函數(shù)；l 反變換求原函數(shù)。例：電路原處于穩(wěn)態(tài)，t =0 時(shí)開(kāi)關(guān)閉合，試用運(yùn)算法求電

7、流 i(t)。解：(1) 計(jì)算初值：，。 (2) 畫(huà)運(yùn)算電路：， (3) 應(yīng)用回路電流法： (4)反變換求原函數(shù)，； 例2：圖示電路，求uC(t)、iC(t)。解：畫(huà)運(yùn)算電路例3. t = 0時(shí)打開(kāi)開(kāi)關(guān) ,求電感電流和電壓。解：計(jì)算初值： 畫(huà)運(yùn)算電路： 則：注意：， ，即： ，即：注意：l 由于拉氏變換中用0- 初始條件，躍變情況自動(dòng)包含在響應(yīng)中，故不需先求 t =0+時(shí)的躍變值。l 兩個(gè)電感電壓中的沖擊部分大小相同而方向相反，故整個(gè)回路中無(wú)沖擊電壓。l 滿足磁鏈?zhǔn)睾恪?，如上例，；，14.6 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義1. 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H（s）的定義線性線性時(shí)不變網(wǎng)絡(luò)在單一電源激勵(lì)下，其零狀態(tài)響應(yīng)的像函數(shù)與

8、激勵(lì)的像函數(shù)之比定義為該電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)。注意：由于激勵(lì)E(s)可以是電壓源或電流源，響應(yīng)R(s)可以是電壓或電流，故 s 域網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可以是驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗（導(dǎo)納），轉(zhuǎn)移阻抗（導(dǎo)納），電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)或電流轉(zhuǎn)移函數(shù)。若E(s)=1，響應(yīng)R(s)=H(s)，即網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是該響應(yīng)的像函數(shù)。網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的原函數(shù)是電路的沖激響應(yīng) h(t)。2.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的應(yīng)用由網(wǎng)絡(luò)函數(shù)求取任意激勵(lì)的零狀態(tài)響應(yīng) 例：解：畫(huà)運(yùn)算電路3. 應(yīng)用卷積定理求電路響應(yīng)可以通過(guò)求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)與任意激勵(lì)的象函數(shù)E(s)之積的拉氏反變換求得該網(wǎng)絡(luò)在任何激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng) 。 14.7 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)1. 極點(diǎn)和零點(diǎn) 當(dāng) s =zi 時(shí)，

9、H(s)=0，稱 zi為零點(diǎn)，zi為重根，稱為重零點(diǎn)；當(dāng) s =pj 時(shí)，H(s)，稱 pj為極點(diǎn)，pj為重根，稱為重極點(diǎn)；2. 復(fù)平面（或s 平面）由于，則zi ，Pj為復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上把 H(s) 的極點(diǎn)用 ´ 表示 ，零點(diǎn)用 o 表示。例：，繪出其極零點(diǎn)圖。解： 14.8 極點(diǎn)、零點(diǎn)與沖激響應(yīng)1. 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與沖擊響應(yīng)，h(t)稱為沖擊響應(yīng)?？梢?jiàn)：H(s) 和沖激響應(yīng)構(gòu)成一對(duì)拉氏變換對(duì)。2. 極點(diǎn)、零點(diǎn)與沖激響應(yīng)若網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為真分式且分母具有單根，則網(wǎng)絡(luò)的沖激響應(yīng)為： 注意：極點(diǎn)位置不同，響應(yīng)性質(zhì)不同，極點(diǎn)反映網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)動(dòng)態(tài)過(guò)程中自由分量的變化規(guī)律。l 當(dāng)pi為負(fù)實(shí)根時(shí)，h(t)為衰減的指數(shù)函數(shù)，當(dāng)pi為正實(shí)根時(shí)，h(t)為增長(zhǎng)的指數(shù)函數(shù)； l 當(dāng)pi為共軛復(fù)數(shù)時(shí)，h(t)為衰減或增長(zhǎng)的正弦函數(shù)； l 當(dāng)pi為虛根時(shí)，h(t)為純正弦函數(shù)，當(dāng)Pi為零時(shí)，h(t)為實(shí)數(shù)； 注意：一個(gè)實(shí)際的線性電路是穩(wěn)定電路，其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)一定位于左半平面。根據(jù)極點(diǎn)分布情況和激勵(lì)變化規(guī)律可以預(yù)見(jiàn)時(shí)域響應(yīng)