第08課時(shí)：函數(shù)的奇偶性

1、第08課時(shí)：函數(shù)的奇偶性(兩課時(shí))考綱要求：結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)?？键c(diǎn)提示：1、判斷函數(shù)的奇偶性； 2、函數(shù)奇偶性的簡(jiǎn)單應(yīng)用； 3、函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用。命題趨勢(shì)： 函數(shù)奇偶性的判斷及應(yīng)用是高考考查的熱點(diǎn)，多與函數(shù)單調(diào)性相結(jié)合在選擇、填空中考查。（一）知識(shí)要點(diǎn)回顧：1函數(shù)的奇偶性的定義；（1）對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有或，則稱(chēng)為奇函數(shù)； （2）對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有或，則稱(chēng)為偶函數(shù). 想一想 ：函數(shù)奇偶性的定義域有什么特點(diǎn)？具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，也就是說(shuō)，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)

2、對(duì)稱(chēng)。2、函數(shù)奇偶性的判斷：通常采用圖像法或定義法判斷函數(shù)的奇偶性. 3奇偶函數(shù)的性質(zhì)：（1）偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；（2）若是奇函數(shù)且在處有定義，則；若f(x)是偶函數(shù)，則（3）奇函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性相反。（二）學(xué)法指導(dǎo)：抓定義、想圖像、用性質(zhì)1判斷函數(shù)的奇偶性，首先要研究函數(shù)的定義域，有時(shí)還要對(duì)函數(shù)式化簡(jiǎn)整理，但必須注意使定義域不受影響； 2牢記奇偶函數(shù)的圖象特征，有助于判斷函數(shù)的奇偶性；3判斷函數(shù)的奇偶性有時(shí)可以用定義的等價(jià)形式：，4設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

3、5注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用（三）基礎(chǔ)訓(xùn)練：見(jiàn)先鋒行動(dòng)考點(diǎn)一 函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷下列各函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）由，得定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)，為非奇非偶函數(shù)（2）由得定義域?yàn)椋?為偶函數(shù)（3）當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，綜上所述，對(duì)任意的，都有，為奇函數(shù)（4）由f(x)+f(-x)=可知f(x)是奇函數(shù).想一想：函數(shù)的奇偶性如何？練習(xí)1判斷下列函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由;(1) (2) (3) ;(4).解答：（1）是非奇非偶函數(shù)，（2）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，（3）是奇函數(shù)，（4）是偶函數(shù)。想一想：函數(shù)的奇偶性如何？考點(diǎn)二 函數(shù)奇偶性的簡(jiǎn)單應(yīng)用例2（1）（07年海南、寧夏

4、，理14）設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則a= ;解法一：利用定義由恒等式原理可解得a=-1解法二：利用f(1)+f(-1)=0可解得a=-1(2)已知是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則的解析式是 。簡(jiǎn)解：利用f(x)=-f(-x)可得練習(xí)2已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，,求f(x)的解析式。答案：例3（1）（2010年江蘇，5）設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=_解析考查函數(shù)的奇偶性的知識(shí)。g(x)=ex+ae-x為奇函數(shù)，由g(0)=0，得a=1。（2）（2010年課標(biāo)全國(guó)卷，理8）設(shè)偶函數(shù)滿(mǎn)足，則（ ）(A) (B) (C) (D) 解：，選B命題意圖：利用函數(shù)性質(zhì)解不等式（

5、3）（2009年全國(guó)卷一，理11）函數(shù)的定義域?yàn)镽，若與都是奇函數(shù)，則( D ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (A) 是偶函數(shù) (B) 是奇函數(shù) (C) (D) 是奇函數(shù)解: 與都是奇函數(shù)，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)，及點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，函數(shù)是周期的周期函數(shù).，即是奇函數(shù)。故選D練習(xí)3（1）（2010山東，理4）設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)=+2x+b(b為常數(shù))，則f(-1)=（ ）(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3【答案】D（2） (2010年安徽，理4)若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿(mǎn)足f(1)=1,f(2)=2，則f(3)-f(4）=( )A.-1 B.1 C

6、.-2 D.2解析：f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-1,所以選A.（3）2008年福建，理4）函數(shù)，若f(a)=2，則的值為（ ） A3B0CD解析： 而故選B.考點(diǎn)三 奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用例4（1）（2008年全國(guó)，理9）設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）ABCD解析：由題意可得.當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí)，所以不等式的解集是，故選D.草圖如上。（2）（2009年遼寧，理9）已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加，則滿(mǎn)足的x 取值范圍是（ ）（A）（，） (B) ，） (C)（，） (D) ，）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解析：由于f(x)是偶函數(shù),故f(

7、x)f(|x|) 得f(|2x1|)f(),再根據(jù)f(x)的單調(diào)性 得|2x1| 解得x 【答案】A練習(xí)4（1）（2010年寧夏中衛(wèi)）若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且f(2)=0，則使得的取值范圍是（ ）A. B. C. D.解析：因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，且f(2)=f(-2)=0，可畫(huà)示意圖如下：由圖可知的解集為，故選D.（2）（08年遼寧，理12）設(shè)是連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)是單調(diào)函數(shù)，則滿(mǎn)足的所有x之和為（ C ）ABCD簡(jiǎn)析：由題意可得 即或 或 ，故方程的所有根之和為，選C補(bǔ)充例題：（高州中學(xué)09屆模擬）已知函數(shù)。 （）若為奇函數(shù)，求的值； （）若在上恒大于0，求的取值范圍。解析（）；（）的取值范圍為（）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)若為奇函數(shù)，則 （）在上在上單調(diào)遞增在上恒大于0只要大于