高中數(shù)學——空間向量與立體幾何練習題(附答案)

1、空間向量練習題1. 如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，BCD60°，E是CD的中點，PA底面ABCD，PA2. （）證明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標系.則相關各點的坐標分別是A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2）,（）證明 因為，平面PAB的一個法向量是，所以共線.從而BE平面PAB.又因為平面PBE，故平面PBE平面PAB.()解 易知 設是平面PBE的一個法向量，則由得所以 設是平面PAD的一個法向量，則由得所以故可取 于是， 故平面PAD和平面PBE所

2、成二面角（銳角）的大小是2. 如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點。（）求證：AB1面A1BD；（）求二面角AA1DB的大小；（）求點C到平面A1BD的距離；（）證明 取中點，連結為正三角形，在正三棱柱中，平面平面，平面取中點，以為原點，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，xzABCDOFy，平面（）解 設平面的法向量為，令得為平面的一個法向量由（）知平面，為平面的法向量，二面角的大小為（）解 由（），為平面法向量，點到平面的距離ACDOBEyzx3.如圖，在四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，（1）求證：平面BCD；（2）求異面直線AB與CD所成

3、角的余弦值；（3）求點E到平面ACD的距離 證明 連結OC， 在中，由已知可得 而， ACDOBEyzx即 平面 (2)解 以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則， 異面直線AB與CD所成角的余弦值為解 設平面ACD的法向量為則，令得是平面ACD的一個法向量又點E到平面ACD的距離4.已知三棱錐PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=½AB，N為AB上一點，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點.（）證明：CMSN；（）求SN與平面CMN所成角的大小.證明：設PA=1，以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標系如圖。則P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,0）.4分（）,因為，所以CMSN 6分（）,設a=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量，則 9分因為所以SN與片面CMN所成角為45°。 12分5. 如圖，在三棱柱中，已知學，網，側面，（1）求直線C1B與底面ABC所成角正切值；（2）在棱（不包含端點上確定一點的位置,使得(要求說明理由).（3）在（2）的條件下,若，求二面角的大小.解：（1）在直三棱柱中， 在平面上的射影為. 為直線與底面所成角. ， 即直線與底面所成角正切值為2. （2）當E為中點時，. ，即