線性代數(shù)總復(fù)習(xí) 很全!（課堂PPT）

1、1要求：會用其性質(zhì)與展開定理要求：會用其性質(zhì)與展開定理，計算低階及特殊的行列式。計算低階及特殊的行列式。一、行列式一、行列式兩個重要概念兩個重要概念：余子式余子式, 代數(shù)余子式代數(shù)余子式ijjiijMA )1(上（下）三角行列式的值上（下）三角行列式的值= =對角線上元素之積對角線上元素之積性質(zhì)性質(zhì)是計算行列式的中心環(huán)節(jié)，是計算行列式的中心環(huán)節(jié)，利用性質(zhì)將行列式利用性質(zhì)將行列式化為三角形行列式化為三角形行列式，然后計算是計算行列式的重要方法。然后計算是計算行列式的重要方法。3 則則的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式是是設(shè)設(shè),ijijnnijaAaA jijiAAaAaAajinjiji當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng),0222

2、11展開定理及其應(yīng)用展開定理及其應(yīng)用 jijiAAaAaAanjnijiji當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng),02211利用展開定理，高階行列式計算可以轉(zhuǎn)化為低利用展開定理，高階行列式計算可以轉(zhuǎn)化為低一階行列式的計算。一階行列式的計算。4特殊關(guān)系式特殊關(guān)系式是是數(shù)數(shù)，則則階階方方陣陣是是設(shè)設(shè)knBA, AAAkkAnn1,1 ,121*1 nAAAA BABCABAAB 0,3例題 3 31235,2, AAAAAB 設(shè)設(shè)求求，解解1213,23 AAAA 132cc B21cc 123,3 AAA 3A 12223,2 BAAAAA 其其中中計算下列行列式計算下列行列式 123 4121231123232112 ,

3、 , , 4 =m , =n+ =? 例例題題 設(shè)設(shè)均均為為 維維列列向向量量且且四四階階行行列列式式則則解方程解方程02781941321111132xxx此為范德蒙行列式此為范德蒙行列式0321xxx3, 2, 1x例題例題8二、矩陣二、矩陣smA nsB nmijnmcC )(BAAB 不能推出不能推出(1)(3)(2)0AB0A或或0BBCAB 不能推出不能推出CB 交換律不成立交換律不成立消去律不成立消去律不成立轉(zhuǎn)置矩陣的運算律轉(zhuǎn)置矩陣的運算律1 1221 sijijijissjikkjkca ba ba ba b 一、矩陣運算中注意的幾點一、矩陣運算中注意的幾點() TTTABB

4、A 9特殊矩陣特殊矩陣：AAT 若若AAT 若若階梯陣階梯陣A與行最簡階梯陣與行最簡階梯陣B 00000160007430051321A 00000210003010050021BTT-1 A A=E A =A 正正交交矩矩陣陣正正定定矩矩陣陣若若A A 為為n n階對稱矩陣階對稱矩陣A A 為為n n階反對稱矩陣階反對稱矩陣10n n 階方陣階方陣A可逆的充要條件可逆的充要條件n n階方陣階方陣A可逆可逆0 A可逆矩陣可逆矩陣EBAEABB 或或，使使存存在在方方陣陣, nAnn 秩秩0 的的特特征征值值全全部部A僅僅有有零零解解齊齊次次線線性性方方程程組組0 XAnn向向量量組組線線性性無

5、無關(guān)關(guān)。列列的的行行)(AEA11可逆矩陣的性質(zhì)可逆矩陣的性質(zhì) 設(shè)設(shè)A,B都是都是n n階可逆矩陣，階可逆矩陣，k是非零數(shù)，則是非零數(shù)，則 TTAAAkkAABABAA111111111142,31 5 5、求方陣、求方陣A的逆矩陣的方法的逆矩陣的方法 *1, 011AAAAA 且且可逆可逆則則如果如果BAA 1可可逆逆，且且 則則或或使使如如果果存存在在方方陣陣,2EBAEABB 1,3AAEEA可可逆逆，且且則則如如果果行行變變換換12nEAAAAA*1 AAA1 nAA特別：特別：AA11 13矩陣的初等變換矩陣的初等變換, ,初等方陣初等方陣用初等方陣左（右）乘用初等方陣左（右）乘 A

6、 A， 相當(dāng)于對相當(dāng)于對 A A 作初等行作初等行（列）變換得到的矩陣，（列）變換得到的矩陣，矩陣矩陣A A的標(biāo)準(zhǔn)型的標(biāo)準(zhǔn)型 0, 00rm nm nEr ArA 初初等等變變換換設(shè)設(shè)則則141 1、R（A）：）：A的不等于的不等于0 0的子式的最大階數(shù)。的子式的最大階數(shù)。2 2、秩的基本關(guān)系式：、秩的基本關(guān)系式： TnmARARnmAR ;,min13 3、關(guān)于秩的重要結(jié)論：、關(guān)于秩的重要結(jié)論： 矩矩陣陣的的秩秩；矩矩陣陣的的初初等等變變換換不不改改變變1 003 AnARAAnARnA可可逆逆階階方方陣陣，則則是是設(shè)設(shè)矩陣的秩矩陣的秩 矩矩陣陣是是階階可可逆逆矩矩陣陣，階階、分分別別是是、

7、設(shè)設(shè)nmAnmQP 2 PAQRAQRPARAR 則則 002 AAR15)(),(min()(BrArABr重要結(jié)論重要結(jié)論則則設(shè)設(shè),)(,)(tnijnmijbBaA)()()()1(ABrnBrArnBrArAB)()(, 0)2(特特別別,)()3(nAr若若0, 0BAB則則且且陣，則陣，則均為均為nmBA,)4()()()(BrArBAr則則階階方方陣陣為為, 2,)5(nnA)(*Ar.)(,nArn. 1)(, 1 nAr. 2)(, 0 nAr定理定理16秩的求法：秩的求法：1)1)R（A）：）：A的不等于的不等于0 0的子式的最大階數(shù)。的子式的最大階數(shù)。2 2）初等變換法：

8、初等變換法：TA階階梯梯形形,R（A）= =T的階梯數(shù)的階梯數(shù)3 3）若）若P可逆，則可逆，則 APRAR , ,常需先驗證常需先驗證P可逆可逆4 ）利利用用矩矩陣陣的的秩秩和和矩矩陣陣對對應(yīng)應(yīng)的的其其次次方方程程組組的的解解的的關(guān)關(guān)系系5 ）利利用用相相似似矩矩陣陣的的秩秩 （矩矩陣陣的的秩秩n n- -0 0特特征征秩秩的的重重數(shù)數(shù)）17選擇題 1設(shè)設(shè) A A、B B 都是都是 n n 階方陣，則階方陣，則 222()2 aABAABB e e, ABBA 當(dāng)當(dāng)時時 成成立立 1 nABBA , ABBA 當(dāng)當(dāng)時時成成立立, ABBA 當(dāng)當(dāng)時時 成成立立 ABA BBABA bABBA 1

9、,:1 cIfAthenA 22()() dABABAB eABBA 18選擇題2,nA,B,CABC = E設(shè)設(shè) 階階方方陣陣滿滿足足關(guān)關(guān)系系式式則則必必有有：1 2(3) 4ACB = ECBAEBACE BCA= E （ ）（ ）（ ）（4）19 3 , 0 A BnABA,B 選選擇擇題題 設(shè)設(shè)都都是是 階階非非零零矩矩陣陣，且且，則則的的秩秩為為：1 2 (3) n（ ）必必有有一一個個等等于于零零（ ）都都小小于于一一個個小小于于n ,n ,一一個個等等于于n (4) n (4) 都都等等于于n n（2）20選擇題411=(,0,0,), ,222 E , TTnAEBEnAB =

10、 設(shè)設(shè) 維維列列向向量量矩矩陣陣其其中中為為 階階單單位位矩矩陣陣則則T(1) 0 (2) -E(3) E (4) E+ （3）21, 1, 23,. 3 BABA階階方方陣陣，如如果果都都是是設(shè)設(shè) BAABABAAAA 計計算算設(shè)設(shè),2321321解解 3221,2ABAABA 3221,4ABAA 12124,4321321 ABAAAA *1,41AA 計計算算 114141AA413 A *13,128141AA例例22例例：設(shè)方陣：設(shè)方陣 A滿足滿足2A2A2 2-5A-8E = 0-5A-8E = 0，證明，證明 A- -2E 可逆，可逆， 12 EA求求關(guān)鍵：尋求方陣關(guān)鍵：尋求方

11、陣 B B，使（，使（A-2EA-2E）B = EB = E分析分析 EEAEA 21012并且可逆所以,2EA EAEA 210121原式可寫為原式可寫為 010)2(2 EEAEA（重點）（重點）23例例：設(shè)矩陣：設(shè)矩陣 X 滿足：滿足：AXB = XB+C，求，求X，其中，其中 110101,100012002,2012CBA由已知，得由已知，得 AXB- -XB= =C，則得則得 1CXBEA 顯然顯然A-E、B均可逆，并且均可逆，并且 1000110021,10111011111BEA 11CBEAX 11 BCEAX解解（重點）（重點）242 101020 201ABA BABEA

12、B 設(shè)設(shè)三三階階方方陣陣 、 滿滿足足，則則？2 A BABEA+ E)(A- E)B -(A+ E)= 0 解解： 由由， （ A+E, 顯顯然然可可逆逆 于于是是()AE BE, -1B = (A- E)以以下下的的做做法法有有多多種種 比比如如 求求, A A- E B求求 的的特特征征值值的的特特征征值值的的特特征征值值例25 12341,3456 56780112101 ,110R AABR BA 求求設(shè)設(shè)求求12340246 0000A R(A)R(A)=2=2 2 R BAR A 初等初等變換變換例（重點）（重點）2641312114321 TA例例,4 , 3 , 2 , 1

13、,41,31,21, 1 , TA ,TBNnABAn,求求解解13424431233213212413121143214131211TB 427三向量組的線性關(guān)系三向量組的線性關(guān)系定義定義定義定義 極大無關(guān)組、等價極大無關(guān)組、等價等價定義等價定義（重點）（重點）28結(jié)論結(jié)論: :2 2、 ,2121mm線線性性無無關(guān)關(guān)，設(shè)設(shè)向向量量組組。3 3、1 1、矩陣初等行變換不改變列向量組線性關(guān)系矩陣初等行變換不改變列向量組線性關(guān)系線線性性表表示示，必必可可由由則則線線性性相相關(guān)關(guān)m ,21并并且且表表法法惟惟一一。注意：求極大無關(guān)組、討論線性表示主要用此方法注意：求極大無關(guān)組、討論線性表示主要用此

14、方法； 秩（秩（A）= = 列向量組的秩列向量組的秩 = = 行向量組的秩行向量組的秩29定理定理線線性性表表示示可可由由向向量量m ,21有有解解 mmxxx2211 有有解解線線性性方方程程組組 mmxx121, ，mmRR,2121 30定理定理線線性性相相關(guān)關(guān)向向量量組組m ,21有有非非零零解解02211 mmxxx 非非零零解解線線性性方方程程組組0,121 mmxx 是是向向量量個個數(shù)數(shù)mmRm ,2131判別法判別法 1 1 nrnnnnn ,0,212121線線性性相相關(guān)關(guān)元元個個判別法判別法 2 2.1元元向向量量必必線線性性相相關(guān)關(guān)個個 nn 等價的向量組的等價的向量組的

15、秩相等秩相等； nrnnnnn ,0,212121線線性性無無關(guān)關(guān)元元個個部分相關(guān)，整體必相關(guān)；整體無關(guān)，部分必?zé)o關(guān)部分相關(guān)，整體必相關(guān)；整體無關(guān)，部分必?zé)o關(guān)321212.,.,. jjmmbAB b bbBA 即即添添上上一一個個分分量量后后得得向向量量若若向向量量組組：線線性性無無關(guān)關(guān) 則則向向量量組組 ：也也線線性性無無關(guān)關(guān) 反反言言之之，若若向向量量組組 線線性性相相關(guān)關(guān) 則則向向量量組組 也也線線性性相相關(guān)關(guān)判別法判別法3 33例題例題 線線性性相相關(guān)關(guān)維維向向量量組組mn ,121DFDF 中中至至少少有有一一個個零零向向量量；mA ,21 對對應(yīng)應(yīng)成成比比例例；中中至至少少有有兩

16、兩個個向向量量分分量量mB ,21 個個線線性性表表示示；余余中中每每一一個個向向量量都都可可由由其其1,21 mCm 個線性表示；個線性表示；其余其余中至少有一個向量可由中至少有一個向量可由1,21 mDm mnE mRFm ,2134例題例題 則則的秩為的秩為維向量組維向量組設(shè)設(shè),221rnm BC 個個向向量量必必線線性性無無關(guān)關(guān)；中中任任意意rAm ,21 個個向向量量必必線線性性相相關(guān)關(guān)；中中任任意意1,21 rBm 都都構(gòu)構(gòu)成成極極大大無無關(guān)關(guān)組組；個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的向向量量中中任任意意rCm ,2135 00000010005011040201123111131111311

17、63421設(shè) 987675431310745432432154321 ，的的一一個個極極大大無無關(guān)關(guān)組組與與秩秩，求求54321, 解解 進進行行初初等等行行變變換換：，對對矩矩陣陣54321, A9713548510437473263421A 54321,，無無關(guān)關(guān)組組線線性性表表示示。并并將將其其余余向向量量用用此此極極大大例例重點重點36( (續(xù)續(xù)) ) 9713548510437473263421A 00000010005011040201的的一一個個極極大大無無關(guān)關(guān)組組為為：，54321, 421 ，其余向量由此極大無關(guān)組表示為：其余向量由此極大無關(guān)組表示為：215213542 ，所

18、以所以37向量4-例題4 1231131,1 ,7 11bbb 討討論論 取取何何值值時時，向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)？解解 1)1)因為行列式因為行列式 1131731 11Dbbbb 所以當(dāng)所以當(dāng)b=3b=3或或b=1b=1時，時，D=0D=0，線性相關(guān)；，線性相關(guān)； 否則線性無關(guān)。否則線性無關(guān)。38證明,3211321 設(shè)設(shè)線線性性無無關(guān)關(guān)設(shè)設(shè)證明證明 .10332211 xxx設(shè)設(shè) 03232123211 xxx即即 03312321121 xxxxxxx所所以以線線性性無無關(guān)關(guān)因因為為,321 20003132121 xxxxxxx., 0:321321線線性性無無關(guān)關(guān)故故解解之之

19、得得 xxx.,:,321323212也也線線性性無無關(guān)關(guān)證證明明 39證明證明,mmnnmEBABmnAnm 滿滿足足矩矩陣陣與與矩矩陣陣設(shè)設(shè)分析：只要證明：分析：只要證明：B B的列秩的列秩= m ;= m ;證明證明 mBBR 的的列列數(shù)數(shù)顯顯然然 mERABRBRm 又又因因為為 的的列列數(shù)數(shù)所所以以BmBR 的的列列向向量量數(shù)數(shù)的的列列向向量量組組的的秩秩所所以以BmBRB 的的列列向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)。所所以以B。的列向量組必線性無關(guān)的列向量組必線性無關(guān)證明：證明：并且并且Bnm, 402)(, 03334 ArABBA矩陣且矩陣且為為矩陣，矩陣，為為例設(shè)例設(shè)的的列列向向量

20、量組組線線性性相相關(guān)關(guān)。證證明明B3)()(0 nBrArAB證證明明：2)( Ar 1)( Br的的列列向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)。B41例例 設(shè)向量組設(shè)向量組 1111k 1112k k1113 20kk 問問 k 為何值時為何值時線性表示？線性表示？，可由可由321 表示法唯一，表示法唯一，不唯一，不唯一，不可表示。不可表示。解解 設(shè)設(shè) 332211xxx即即 01321xxxk kxxkx 3211 23211kxkxx kkkDA 111111111用克萊姆法則用克萊姆法則)3(2 kk30 kk0)3(2 kk42 k = - 3 時時.321線性表示線性表示，可由可由 表示法唯

21、一，表示法唯一，0 k時時 011101110111A同解方程組同解方程組321xxx 有無窮多解。有無窮多解。 921131210112A 1000123309211.321線線性性表表示示，不不可可由由 30 kk時時方程組有唯一解方程組有唯一解,321線性表示線性表示，可由可由 表示法不唯一，表示法不唯一，43線性方程組線性方程組解的存在性定理解的存在性定理各種解法各種解法解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)四、線性方程組的解法與解的結(jié)構(gòu)四、線性方程組的解法與解的結(jié)構(gòu)定理定理1 1 設(shè)有非齊次線性方程組設(shè)有非齊次線性方程組 10, XAnm 有有解解；則則如如果果1,2 ARAR 無解；無解；則則如果如果1

22、,1 ARAR 有惟一解；有惟一解；則則有解時，如果有解時，如果1,nAR 有有無無窮窮多多解解；則則如如果果1, nAR 44定理定理1 1 設(shè)有齊次線性方程組（設(shè)有齊次線性方程組（2 2）方程組方程組-2-2-通解、基礎(chǔ)解系通解、基礎(chǔ)解系0 XAnm 則則設(shè)設(shè), rAR 個個解解向向量量；基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系中中含含rn 通通解解為為：則則基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系設(shè)設(shè),21rn RkkkkkkXrnrnrn ,212211 僅僅有有零零解解；則則如如果果,1nr 必有非零解；必有非零解；則則如果如果2,2nr 45方程組方程組-2-2-通解、基礎(chǔ)解系通解、基礎(chǔ)解系定理定理2 2 設(shè)有非齊次線性方程組（

23、設(shè)有非齊次線性方程組（1 1） 0, XAnm 則則如如果果設(shè)設(shè),nrARARrAR 必必有有無無窮窮多多解解；方方程程組組 AX1 ,2的的一一個個特特解解是是設(shè)設(shè) AXRkkkkkkXrnrnrn ,212211 ,基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系的的是是設(shè)設(shè)0,21 AXrn 的通解為：的通解為：則則 AX46 討論討論a a滿足什么條件時，如下方程組無解、有唯一解、滿足什么條件時，如下方程組無解、有唯一解、 23213213211aaxxxaxaxxxxax解解系數(shù)行列式系數(shù)行列式aaaD111111 212111111121111222 aaaaaaaaaa所以所以1):1):有有惟惟一一解解；時時

24、并并且且即即當(dāng)當(dāng),21, 0 aaD增增廣廣矩矩陣陣時時當(dāng)當(dāng),2 a2):2): 421121211112A 300021211112 213rrr有無窮多解？有無窮多解時，求其通解。有無窮多解？有無窮多解時，求其通解。（重點）（重點）例例47例題例題3 3（續(xù)）（續(xù)）由于同解方程組中出現(xiàn)了矛盾方程由于同解方程組中出現(xiàn)了矛盾方程:0=3,:0=3,故無解故無解. .2):2):增增廣廣矩矩陣陣時時當(dāng)當(dāng),1 a 111111111111A1312,rrrr 000000001111 方方程程組組為為，有有無無窮窮多多解解，一一同同解解此此時時31 ARAR 33223211xxxxxxx則通解為

25、則通解為Rkkkkxxx 2121321,00110101148 0, 當(dāng)當(dāng)時，時，稱稱與與正交正交。定理定理 nrr ,21nR中兩兩正交、非零向量組中兩兩正交、非零向量組線性無關(guān)。線性無關(guān)。 jijiji, 1, 0, n ,21若若滿足滿足n ,21稱稱為為規(guī)范正交基規(guī)范正交基。定義定義3 五、內(nèi)積、施密特正交化。五、內(nèi)積、施密特正交化。元列向量）元列向量）為為nTT ,(),( 49定義定義4 4 A是是n n階方陣階方陣, ,若若 是是正交矩陣正交矩陣A稱稱EAAT 性質(zhì)性質(zhì)2 2A的列的列( (行行) )向量組為正交單位向量組向量組為正交單位向量組是正交矩陣是正交矩陣A1 AAT性

26、質(zhì)性質(zhì)1 是是正交矩陣正交矩陣則則A可逆且可逆且A設(shè)設(shè)性質(zhì)性質(zhì)3 設(shè)設(shè) A、B 都是正交矩陣，都是正交矩陣， 則則 AB 也是正交矩陣。也是正交矩陣。EAAT jiji , jiji, 1, 0即即 A 的的 n 個列向量是單位正交向量組。個列向量是單位正交向量組。性質(zhì)性質(zhì)4 設(shè)設(shè) A 是正交矩陣，則是正交矩陣，則 AA與與1也是正交矩陣。也是正交矩陣。性質(zhì)性質(zhì)5 設(shè)設(shè) A 是正交矩陣，則是正交矩陣，則. 1 A503、施密特正交化方法、施密特正交化方法321, 3R設(shè)在設(shè)在中中為線性無關(guān)向量組為線性無關(guān)向量組11 令令正交化過程：正交化過程： 1111222, 222231111333, 3

27、21, 則則是正交向量組，是正交向量組，單位化單位化iii 51六、特征值與特征向量、矩陣的對角化六、特征值與特征向量、矩陣的對角化內(nèi)容：內(nèi)容： 矩陣的特征值與特征向量的定義矩陣的特征值與特征向量的定義,求法求法,性質(zhì)；性質(zhì)；相似矩陣的概念、性質(zhì)、矩陣對角化的條件和方法相似矩陣的概念、性質(zhì)、矩陣對角化的條件和方法定義定義1 1使方程使方程XAX ,nnijaA 設(shè)方陣設(shè)方陣,X成立成立數(shù)數(shù) 和和 n 元非零列向量元非零列向量521-1-特征值、特征向量特征值、特征向量-求法求法1 1、特征值特征值的求法的求法個個特特征征值值的的就就是是，的的根根nAAEn 210 2 2、特征向量的求法、特征

28、向量的求法 riiXAE , 0,1得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系解解對對特特征征值值 所所對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量為為i 不不全全為為零零rrrkkkk,111 532-2-特征值、相似矩陣特征值、相似矩陣-的性質(zhì)的性質(zhì) nnnijnaA ,1個個特特征征值值分分別別為為的的設(shè)設(shè)矩矩陣陣 性質(zhì)性質(zhì) .1221121nnnaaa 的的跡跡A An 212 nAA ,0321 可可逆逆全不為零。全不為零。543-3-特征值、相似矩陣特征值、相似矩陣-的性質(zhì)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)2 200,0,AA 設(shè)設(shè)是是 的的一一個個特特征征值值且且則則 01000*04400112,343356537537TmmAAAA

29、AAAAAAE 特特征征向向量量可可逆逆時時特特征征向向量量特特征征向向量量特特征征向向量量可可逆逆時時特特征征向向量量55例例2 2、3-3-特征值、相似矩陣特征值、相似矩陣 3,AA 設(shè)設(shè)的的一一個個特特征征值值為為 ，是是相相應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量，則則2 2 11*211323444565AEAAAAAA 的的一一個個特特征征值值為為的的一一個個特特征征值值為為的的一一個個特特征征值值為為的的一一個個特特征征值值為為的的一一個個特特征征值值為為的的一一個個特特征征值值為為 1322182481322A5 .1921252例例3 3 設(shè)設(shè)A A是一個方陣是一個方陣 102030,kAE

30、AA 如如果果，則則的的一一個個特特征征值值為為如如果果，則則的的一一個個特特征征值值為為如如果果則則的的特特征征值值必必為為 -10000kkA 56例4-相似矩陣設(shè)矩陣設(shè)矩陣A A、B B相似，求參數(shù)相似，求參數(shù)a,b,c.a,b,c.;11,201200011bBaA解解 1 1）因為矩陣）因為矩陣A A、B B相似，所以相似，所以 trAtrBAB 1 2 21 14bab 即即31ba57例4-相似矩陣設(shè)矩陣設(shè)矩陣A A、B B相似，求參數(shù)相似，求參數(shù)a,b,c.a,b,c.2 2）因為矩陣）因為矩陣A A、B B相似，所以相似，所以1 1也是也是A A的特征值，所以的特征值，所以

31、1452016 ,03Ac 并且并且1 1是是B B的一個特征值的一個特征值0,242060054010cccAE583-3-特征向量的性質(zhì)特征向量的性質(zhì)1 1）方陣方陣A A的不同特征值所對應(yīng)的特征向量必線性無關(guān)的不同特征值所對應(yīng)的特征向量必線性無關(guān)。2 2）實對稱矩陣實對稱矩陣A A的不同特征值所對應(yīng)的特征向量必相的不同特征值所對應(yīng)的特征向量必相3 3）正交向量組必是線性無關(guān)組。）正交向量組必是線性無關(guān)組?；フ换フ?。594-n4-n階方陣階方陣A A可對角化的條件、方法可對角化的條件、方法1 1、一個充分必要條件：、一個充分必要條件：n n階方陣階方陣A可對角化可對角化A有有n個線性無

32、關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量2 2、兩個充分條件、兩個充分條件：1 1）如果）如果A有有n個互不相同的特征值，則個互不相同的特征值，則A必可對角化必可對角化2 2）如果）如果A是實對稱矩陣，則是實對稱矩陣，則A必可用正交矩陣對角化。必可用正交矩陣對角化。3 3、對角化方法對角化方法：nnnA ,2121，個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量的的是是設(shè)設(shè) nAPP 2114 4、正交對角化、正交對角化 可可逆逆，并并且且，則則令令是是相相應(yīng)應(yīng)的的特特征征值值PPn ,21 （重點）（重點）（重點）（重點）60,10100002xA例例1 1（1）求）求設(shè)設(shè),BA相似于相似于（1）由性質(zhì)）

33、由性質(zhì)., yx yx12（2）1y,10000002yB.3EA（2）解解.402453EA0 xBA 的的特特征征值值相相同同與與BA112，為為的的特特征征值值為為EA3245 ，y22 61例例5, 3, 2, 13321 的特征值為的特征值為階方陣階方陣設(shè)設(shè)A：對應(yīng)的特征向量分別是對應(yīng)的特征向量分別是,)4 , 2 , 1(,)1 , 1 , 1(21TT ,)9 , 3 , 1(3T ).(ZnAn 求求),(321 C取取解解ACC1 321 1 CCAnnCCA)(1 111 CCCCCCAn1 CCAnn62三階實對稱矩陣三階實對稱矩陣 的特征值分別為的特征值分別為A, 3, 221 ,321, 秩秩 ,2A例例8 8相應(yīng)的特征向量分別為相應(yīng)的特征向量分別為已知已知,0111 X 1112X3. A求求 的值及矩陣的值及矩陣解解秩秩 ,2A, 0321 A, 03 A有三個不同有三個不同特征值特征值, 則則 可取可取A03 的特征向量為的特征向量為,321 xxxX則則 0021321xxxxx63七、二次型化標(biāo)準(zhǔn)型七、二次型化標(biāo)準(zhǔn)型-1-1-基本定義、基本內(nèi)容基本定義、基本內(nèi)容1