應(yīng)用題數(shù)學模型的二重性與層次性

1、應(yīng)用題數(shù)學模型的二重性與層次性             本文通過具體的解題案例，探討應(yīng)用題數(shù)學模型的二重性與層次性 1原型與模式應(yīng)用題數(shù)學模型的二重性這是一道很普通的應(yīng)用題（有“雞兔同籠”的背景），但涉及一些觀念層面上的道理，在與大學生和中學教師的交談中，大都表示沒有認真思考過先看題目：例1某運貨公司有兩種車型共28輛，型車可載重5噸，型車可載重4噸，如果各車滿載一次可送貨128噸，問兩種車型各有幾輛11從常規(guī)求解過程中提出問題用二元一次方程來處理這個問題，是一個簡化的數(shù)學建

2、模過程通常設(shè)型車有輛，型車有輛，根據(jù)“兩種車型共28輛”所提供的等量關(guān)系，可得方程28再根據(jù)“型車可載重5噸，型車可載重4噸”，“各車滿載一次可送貨128噸”所提供的等量關(guān)系，又得方程54128然后，將式兩邊乘以4，得44112，得16代入，得12故型車有16輛，型車有12輛還可用5×先求等多種方式來解方程組，總之，有初中的代數(shù)知識就不難完成筆者詢問大學生或中學教師對此能提出什么疑問時，均認為很完整了，提不出什么問題來于是，筆者提出兩個問題，并聲明沒有標準答案，以鼓勵暢所欲言問題1方程反映的是車輛總數(shù)的一個平衡式，方程反映的是車輛一次滿運貨總噸數(shù)的一個平衡式，兩者建立時的單位是不一致

3、的，如何理解它們之間的加減運算?問題2作為解題過程的分析，如何給每個運算步驟一個生活現(xiàn)實的解釋?對第1個問題，被詢問者大都感到意外，表示從未思考過；對第2個問題，則結(jié)合第1個問題，統(tǒng)一單位，有信心提出一些解釋12給求解過程一個生活解釋給解方程的消元過程一個生活解釋，可以理解為“出聲思維”的一種形式，它能使抽象的模式具體化，能使形式化的運算有生活化的氣息（1）有的被詢問者說，可以認為方程中的每輛車都裝了1噸貨物，這樣兩方程的單位就一致了對此，筆者又提出一個問題問題3如果、都看成噸、噸，其和為28噸，那么，求出16，12后，為什么又成為16輛型車，12輛型車呢?對此，被詢問者不能馬上給出回答（2）

4、關(guān)于問題2，通過交流提出了這樣的解釋：1）假設(shè)每輛車都裝4噸，那么28輛車便可裝112噸，這就是4×得式；2）但型車每輛可裝5噸，比假設(shè)的裝4噸還多1噸，因而真實裝車的128噸（見式）減去假設(shè)的112噸（見式），所得多裝的16噸數(shù)字，恰好對應(yīng)著型車的輛數(shù)，這就是得出式這個解釋首先是用“噸”來統(tǒng)一兩個方程的單位，然后用“一一對應(yīng)”的觀點來回答問題3：由于每輛型車可裝5噸，比假設(shè)各車裝4噸還多1噸，在運算4×之后，對型車而言，1噸對應(yīng)著1輛車，1輛車對應(yīng)著1噸，于是16噸就對應(yīng)著16輛型車上述解釋，實際上已給出了本題的一個算術(shù)解法：型車數(shù)1284×28同理，對方程組進

5、行5×運算，可得型車數(shù)5×28128把例1中的數(shù)字換成字母，則、便給出了問題的求解公式13從求解過程看方程模型的二重性上面，將兩方程的單位統(tǒng)一為“噸”給出了一種解釋；讀者也可以將5看成型車的5倍，將4看成型車的4倍，把單位統(tǒng)一為車的“輛”數(shù)，給出解釋；或者還可以對加減消元給出更多的生活解釋這是一個開放性、發(fā)散性的問題，值得在解題訓練中提倡但是，這種訓練主要體現(xiàn)了方程模型、等的一個側(cè)面與生活現(xiàn)實的聯(lián)系其實，方程模型還有純數(shù)學的一面形式化的抽象模式為了理解這種二重性，我們先將應(yīng)用題的求解過程分為三個步驟：（1）從現(xiàn)實原型中抽象出數(shù)學模型此例中，主要表現(xiàn)為由車輛總數(shù)與一次滿運貨總

6、數(shù)分別提供等量關(guān)系，再由等量關(guān)系代入數(shù)學符號，得出方程模型，即、式如果說，建立等量關(guān)系時需要統(tǒng)一單位，與量綱有關(guān)的話（參見文1例1、例2，以及由此引發(fā)的文2、3、4的熱烈討論），那么代入數(shù)學符號之后得出的方程，已經(jīng)脫離具體單位而成為形式化的抽象模式了（2）進行抽象的數(shù)學運算此例中，主要表現(xiàn)為用消元法求出16，12這些運算是形式化的，已與具體原型無關(guān)，不管當初、是代表車輛數(shù)還是貨物數(shù)，是蘋果數(shù)還是兒童數(shù)（兒童分蘋果），運算都一樣（3）將運算結(jié)果還原為現(xiàn)實原型這時要將抽象的數(shù)字回到現(xiàn)實中來，與當初的具體原型有關(guān)，于是16便成為型車有16輛，12便成為型車有12輛由這個應(yīng)用題的處理過程可以看到，應(yīng)用

7、題的數(shù)學模型的確有兩個側(cè)面原型與模式在第1、3兩步中，雖有抽象模式的因素，但與具體原型直接相聯(lián)系，體現(xiàn)了抽象模式的“來龍”與“去脈”；在第2步中，雖有具體的“來龍去脈”作背景，但基本上是獨立的形式化運算所以，我們說應(yīng)用題數(shù)學模型同時具有具體原型與抽象模式的雙重性質(zhì)，在數(shù)學問題解決的不同階段，性質(zhì)側(cè)面的鮮明度是有區(qū)別的回到問題1，其實解方程所進行的是抽象模式的形式化運算，與當初提煉這些方程的具體背景無關(guān)，這主要體現(xiàn)了應(yīng)用題數(shù)學模型的“抽象模式”性質(zhì)；回到問題2，這主要想闡發(fā)應(yīng)用題數(shù)學模型具有“具體原型”的性質(zhì)，它使“出聲思維”與“數(shù)學作文”相聯(lián)系波利亞對“雞兔同籠”問題描述的“巧妙的想法”，其實

8、也就是消元求解的一次“數(shù)學作文”（詳見文528）14再深入思考幾個問題問題4由式乘以4，得44112與相加，得16（下略）此處，如何理解“乘以4”及式中的負號?請給出生活解釋問題5由，得28代入，得54（28）128，即112128，得16代入，得12此處，如何給出代入消元法或式一個生活解釋?2淺層與深層應(yīng)用題數(shù)學模型的層次性文6在談基本解法與新解特解的認識時，引用了一個例子：例2一游泳者在流水河中逆流而上，在橋處不慎遺失水壺，后又繼續(xù)逆流游了20分鐘才發(fā)現(xiàn)水壺遺失，立即調(diào)頭順流追尋，結(jié)果在橋下游2公里的橋處追上，求水流的速度分析文6談到的兩種解法可以看到應(yīng)用題數(shù)學模型有認識上的深淺之別，膚淺

9、未必常規(guī)，深刻并非特殊21“常規(guī)解法”只是一種淺層的、零散的認識文6所冠名的“常規(guī)解法”，其實只是一部分人（決非全體）的一種思路，并且表現(xiàn)為解題初始階段，逐句理解題意的認識，我們將其分解為5步（1）一見是應(yīng)用題就想到設(shè)未知數(shù)、列方程，而不深入領(lǐng)會題目的基本關(guān)系與具體條件（2）一見有水的流動和人的游動就設(shè)兩個未知數(shù)（水流動的速度）、（人游動的速度）（3）一見有逆流、順流游泳，就分別計算相應(yīng)的距離或時間：逆游（2060）（）公里，順游（2（2060）（）（）小時（4）以時間為等量關(guān)系得出方程（2060）（）（）（2）（2060）這是一個二元分式方程，一般情況下，不能惟一確定、兩個未知數(shù)的值，并且a

10、x有可能小于0（5）解方程得出3，但沒有進行反思回顧，也沒有從“在解方程中自動約去”獲取積極的啟示下文將會談到，把3代入就能有新的發(fā)現(xiàn)這個過程顯示：所謂“常規(guī)的思考”停留在淺層面上，（屬于文6說的綜合素質(zhì)的前三個層次），甚至在題目解完之后，我們對題目的認識仍然沒有獲得多少新的進展22回顧求解過程會有新的發(fā)現(xiàn)文6曾作了一個“認知框架”的轉(zhuǎn)移，即“綜合應(yīng)用物理知識與數(shù)學知識交互性與相關(guān)性”得出，“水流對人與水壺是共同的，從水壺失落到追上的每一時刻，人與水壺的距離不依水速的大小或者流與不流而改變，從而想到水壺失落到發(fā)現(xiàn)所用的時間與發(fā)現(xiàn)到追上所用的時間是相等的，而這兩個時間之和正是水壺漂流的時間”這種

11、認識比“常規(guī)解法”本質(zhì)得多（文6稱為綜合素質(zhì)的優(yōu)秀狀況），但對物理知識的敘述令學生費解，并且與“常規(guī)解法”缺少聯(lián)系我們的分析表明，對“常規(guī)解法”的回顧與分析，可以發(fā)現(xiàn)題目隱含的不變量，導(dǎo)出文6所說的“特別簡捷、特別優(yōu)秀”的特解當我們從方程中求出3時，結(jié)論也成了已知信息，多了這個信息，就如同在黑房間里拉亮了電燈，隱含的條件更容易明朗，本質(zhì)的關(guān)系更容易發(fā)現(xiàn)把3代入式時，有左邊（2（2060）（）（）（6（3）3（3）13（小時），右邊（2）（2060）（23）（13）13（小時）由此可見：（1）順流追水壺所用的13小時，正是逆游所用的時間20分鐘，兩者相等是一個隱含的不變量（2）由式或解方程的過程

12、可以看到，人游泳的速度（0）是可以自動消去的（像化學上的催化劑），真正有價值的數(shù)據(jù)是時間這兩點新認識，正是文6中關(guān)于相對運動的基本內(nèi)容，但更淺白據(jù)此，題目的求解就有新的思路：為了求水流的速度，又已知水流的距離（2公里），只需去求時間；由于時間等于逆游時間（20分鐘13小時）的兩倍，故問題的基本模式是行程問題速度距離時間23抓住不變量，將認識引向深入用公式求速度，關(guān)鍵是確定時間，而求時間的關(guān)鍵是揭示不變量：逆游離開水壺的時間順游追上水壺的時間為了說明這一點，我們來作認知框架的兩個轉(zhuǎn)移（參見文8379例636），使認識進入更具綜合性的層次231動靜轉(zhuǎn)換的觀點第1步，先靜止，假定人在靜水里游泳，20

13、分鐘后發(fā)現(xiàn)水壺失落，轉(zhuǎn)身游回來取水壺，水壺應(yīng)在原處，而人回來也還需20分鐘，來回共需40分鐘23小時第2步，再運動，由于水壺是動的，它隨水而下，漂流了2公里，這是在40分鐘完成的，故水流的速度為2÷（23）3（公里/小時）這就把二元分式方程轉(zhuǎn)變?yōu)樾W的算術(shù)，其中“先靜止”的假設(shè)，還可以設(shè)計為火車車廂內(nèi)人與座位的相對運動，以及火車本身對大地的相對運動232車廂的行程問題例3在勻速奔馳的火車上有一位旅客，當車經(jīng)過地時，他起身向后方走去，漏拿了隨身攜帶的水壺，走了分鐘后才發(fā)現(xiàn)，又轉(zhuǎn)身回來取當他回到原處取回水壺時，火車已到達距地千米的地，求火車的速度解：在車廂內(nèi)，人離開座位分鐘，返回取水壺也

14、應(yīng)是分鐘，共2分鐘；車廂外，火車在2分鐘的時間里，已從地到地，共走了千米，故火車的速度為2例2與例3在形式上有很大的不同，但卻有相同的基本模式（行程問題），這反映了對應(yīng)用題的深層次認識類似的，有下面的兩對例子：例4媽媽去商店買布，所帶的錢剛好可買甲布2米，或買乙布3米，或買丙布6米，她決定3種布買一樣多米，問最多能各買幾米?（見文8345例63）這到底是什么類型的問題?在學生中有多種說法：按比例分配，不定方程，函數(shù)求極值等等事實上，深層次的認識是與下面的工程問題屬于同一類型例4一項工程，甲干2天完成，乙干3天完成，丙干6天完成甲、乙、丙一齊干幾天完成?再看一對例子（見文9）例5一堆麥子有（2）

15、個麥粒，把它任意分成兩堆，記下這兩堆麥粒數(shù)的乘積，在以下的過程中，只要某堆麥子的麥粒數(shù)大于1，就把這堆麥子分成兩堆，并記下這兩堆麥子的麥粒數(shù)的乘積，直至每堆麥子只有1粒為止試求上述所有乘積之和這是一個什么類型的問題呢?我們的求解也許要費一番周折才找到一個遞推式（）但是，如果將麥?？闯牲c，兩堆麥粒數(shù)的乘積看成兩個點集間連線的條數(shù)（乘法原理），那么麥粒堆的連續(xù)分細，就相當于點集內(nèi)繼續(xù)分出兩個非空點集并連線，如此類推，直至每兩點都連線因此，深層次的認識是與下面的組合問題屬于同一類型例5平面上有個點（2），其中無三點共線，在每兩點間連一條直線，一共可以作多少條直線?上述討論，實際上已經(jīng)涉及應(yīng)用題數(shù)學模型的多樣性，涉及代數(shù)方程解法與算術(shù)解法的溝通參考文獻1羅增儒解題分析面對兩種矛盾的解法中學數(shù)學教學參考，1999，62呂秦忠應(yīng)用問題數(shù)據(jù)“單位”的變換法則中學數(shù)學教學參考，2001，83舒金根注意量綱?一類應(yīng)用題正誤之辨析中學生數(shù)學，2001，84申祝文函數(shù)關(guān)系式是數(shù)的等式中學生數(shù)學，2002，25波利亞著，歐陽絳譯數(shù)學的發(fā)現(xiàn)北京：科學出版社，1982，86李德欽活躍基本解法