2020北京大學(xué)強(qiáng)基計劃個人解析

1、2020北京大學(xué)強(qiáng)基計劃個人解析1.正實數(shù),滿足xN v2 w ,且x+yW2（w+w）,則士 +二得最小值等于（ ） x yA.1bC.lD.前三個答室都不對解析：因為x+y£2（卬+2）,則z=i,則上+£之_1+<+ >'-2"=上+工_上+=二+2_+儼二X y X 2y X 2y y 2 2y 2.x1y-xx1y-xxx1、k12v2AT2v2X2vv22eW9當(dāng)且僅當(dāng)x = w.k + .v = 2（w+z）時，等號成立,故選D.2 .在Q019x2020）mi的全體正因數(shù)中選出若干個,使得其中任意兩個的乘積都不是平方數(shù)，則最多可

2、選因數(shù)個數(shù)為（）A.16B31C.32, D.前三個答室都不對解析：素數(shù)唯一分解理論因為（2019x2020產(chǎn) =2仙x5Qx1（）F0”x32x673加可以選取最小質(zhì)數(shù)2 , 3 , 5 , 101 , 673 ,那么剩下的單個質(zhì)因數(shù)的偶數(shù)次方出現(xiàn)的最多只能選取一個不放選22再進(jìn)行組合用5個因數(shù)里面分別選取2個，3個，4個，5個則一共有32個，則最多可以選取32個，故選C.3 .已知數(shù)列/滿足：% =1.%=4，且對任意的22有U-q-*=2”T ,則的020的個位數(shù)字是（）A.8B.4C.2D.前三個答室都不對解析:因為d -%_/ = 2"T ,則心一 4限=2"因為

3、2“：<明，=，百一觸4.2，則2&+限=汩她=士&因為=q4+2 ,則4 =14 ,故= 2«一怎川=23+仆=4 怎 X4a2即.,晶,欲求個位數(shù)字，只需讓4模10.其結(jié)果為 1,4,4,8,4,0,2,8,8,6,8,0,4,6,6,2,6,0,8,2,2,4,2,0,6,4,4,8,4 . 0.從4開始周期為24 ,則a?。?。的個位數(shù)字是8 ,故選A.4.設(shè)“也j/是方程.d+2F+3,d+4x + 5 = 0的4個復(fù)根，貝（J二 +鋁 + 二+ R的值為（）a+2 +2 c+2 d+2B-|D.前三個答室都不對解析：由題意可彳導(dǎo)s = a + +c+

4、d =2, p = "b+ac + ad + bc + bd +cd = 3 a ” 一q = abc + uM +acd + bed = < r = al7cd = 5 ,設(shè)+ -c-1 + d -1c+2 d+2貝上=4-3f-L+_L+_L+_j ,只需求_L+_L+_L+_L 3 + 2 b + 2 c + 2 d2)a+2 + 2 c + 2 d + 2貝U 1 + 11 + 1 2( + 2)(c + 2)(4+ 2) q + 32 + 4 _ 16a+ 2 b + 2 c + 2 U + 2 (a + 2)S + 2)(c + 2)( + 2) , + 16 +

5、2q + 4p +8s 9故, = 4-少=-± ,由此可得選A.335.設(shè)等邊三角形ABC的邊長為1 ,過點C作以AB為直徑的囪的切線交AB的延長線于點D , AD>BD ,則三角形38的面積為（）A.今由B.與正C.今由D.前三個答室都不對161616解析如圖所示其中OE = OB=1 , C。=立則CE = 22叵，從面可得處=竺則，故選C.6.設(shè)x,y,z均不為1 ；不，其中人為整數(shù)，已知sin（F + z-x）.sin（x+z->）sinOC CE等差數(shù)列，則依然成等差數(shù)列的是（）A. sin.v, sin y, sin zB. cos acos>cosz

6、C. tanatan yJail zD.前三個答室都不對解析：2sin(x + z- v) = sin(y + z-A)+ sin(A + y - z) = 2sin vcos(a -z)貝!) sin(x+ z)cosy -cos(.r+ -z)siny = sin ycos(.v-z)貝! sin(x + z)cos y = sin vcos(x + 2) + cos(x - z) = 2sinycosxcosz則tan_v + tan之 = 2tanF，故選C.7.方程19x + 93y = 4.g的整數(shù)解的個數(shù)為()A.4B,8C.16D.前三個答室都不對解析：因式分解與整除因為 19

7、x + 93y=4.q ,貝J(4x-93)(4,- 19) = 93x 19 = 3x 19x31v = S，此時"5;則'4y-19 = l1.93 = -93x19此時無解.則、'4y-19 = 34x-93 = 31xl9'此時無解；則i3-,此時v = 4x = -124則、'4y-19 = 194x-93 = 93xl9f4v-19 = 19,此時無解；貝叱-93 73x19則4)19=31"93 = 57，此時無解；貝!4v-19 = -31心93 = 57，此時.V = -3 x = 9則、j4v-19 = 574,v-93

8、= 31，此時比;則此時柳則、小-19 = 934工-93 = 19，此時卜=；： .v = 28f4v-19 = 9，；則八，此時無解4人-93 = 19則、f4v-19 = 31xl94x-93 = 3w"y = 152，此時74,此時無解則、f4v-19 = 19x9393 = 1；此時無解；則''4y-19 = -19x934x-93 = -1f v = -437 ，此時解析二：同余因為 19x + 93y=4-,貝J(4x-93)(4y-19) = 93x 19 = 3x 19x31因為 4x -93 = 3( nxxl4),4y -19 = 1( mod4

9、)4x-19 = 3.9L3L1767l.-57,-93,-589 4y 93 =,故共8組，選B.8.從國a2 + y2 = 4上的點向橢圓C ： £ + / = 1引切線，兩切點間的線段成為切點弦.則橢圓C內(nèi)不與任何切點弦相交的區(qū)域面積為(B-3D.前三個答室都不對解析：切線系方程如圖所示，設(shè)點2s加6)則BC直線方程為cos0 - x+2sinO y = 1由于* +琶=1在點(acos&.hsinO)0的切線方程為cosd x + sin6 y = 1則,因此,3夕2而夕尸1為橢圓+4=1的切線系方程由橢囪的面積可得砂行.故選A.9.使得“ + 12jEWa(K+y)

10、5x+12元Wa(x-y)對所有正實數(shù)x.y都成立的實數(shù)Q的最小值為()A.8B.9C.10D.前三個答室都不對解析：待定系數(shù)5x+12yfxy = 5x +12 m.x <(5 + 6/7?)x + y ,令 5 + 6i = 9,貝!J5x+12而W9（x + y）,則 5' +12A 交,貝（之9 ,故選B.10 .設(shè)P為單位立方體ABCD - A£G上的一點，貝“A + PC ；的最小值為（）A.姆萬B.42 + 20C. 2 -乎D.前三個答室都不對解析：最小值為拉，故選D.11 .數(shù)列4滿足 = 19 = 9 ,且對任意1有5 =也川-H - 20 ,其中前

11、項和為Sn .則函數(shù)Sn的最大值等于（）A.28B35C.47D.前三個笞室都不對解析：因為*=4-20，則限一%一1° = 3（-4-， 故-4 =10-2x3"-1則當(dāng)之3時，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列 可求得 = 13.q =5 ,當(dāng)n>5時，a.<0,則S的最大值為S4 = 28 ,故選A.12 .設(shè)直線>，= 3x+相與橢圓 g*l交于4,3兩點，。為坐標(biāo)原點，則三角形0公 的面積的最大值為A.8B.10C.12D.前三個答室都不對解析一：直接計算聯(lián)立方程可得 241x2 + 15O,nv + 25-400 = 0則人 加5 -1= m吆'弋工/

12、=境I7（） j ，s = d =在收（241-舟<10 ,故面積的最大值為10 ,故選B.解析二：仿射變換不妨設(shè)£ = x.£ = y，則xa = i ,直線為4y=i5X + i4Y=i5x+i 54mu , l?lT m 1 , 4 n 1I/hI貝!Jd = -j= f 5* = -6/ Afi = -X_=724122 V24T>/241241<1" 9則S： = 20S,< 10，故面積的最大值為10，故選B.13 .正整數(shù)23稱為理想的.若存在正整數(shù)使得CTC.C*構(gòu)成等差數(shù)列，其中C； = , # 一為組合數(shù)，則不超過202

13、0的理想歇個數(shù)為（）A.40B.41C.42D.前三個答室都不對解析：由題意可得構(gòu)成等差數(shù)列 則 2C =C：t+C：L 化簡可彳導(dǎo)/一(42 + 1加 + 4二一2 = 0以左為主元整理以24虎+ /-2 = 0，則太="±-+ 2 2則+ 2為完全平方數(shù),則+2 =>，5!044>/«>3若小匕正三=也* = ”2髻+ 1)因為”一 2.， + 1奇偶性相反 ?7故則對于任意44>,h>3都滿足題意riYfR 1 + 5 + 2 m: +， - 2 (m + 2)(m - 1).大,用小£<同理太=一+=-=，因為

14、，- 2.? + 1奇偶性相反故則對于任意44>,n>3都滿足題意綜上：滿足題意的有42個，故選C.14 .在 ABC 中，ZA = 15O°.DIDr.tD2jW 依次為邊 BC 上的點，且 BD、= D、D產(chǎn) DR= =。刈9?，F(xiàn)=。2020。, 設(shè) 4AD = %.ZDADn = %“刈血=網(wǎng)血網(wǎng)=總則:黑的值為(A. 101020202021D.前三個答室都不對解析：正弦定理不妨設(shè)/4£>£ = £, BR=m貝！一=迫.一=2._sintr) sinB sin%sin一因此史馬=型紋，同理皿=包旦，sina2 sin A &#

15、39; sina sinmsinBAC2021? sin 3 _ 8c sin 32021-AC2021 AC15.函數(shù) /(6)=43 + 2小cos6 + co% +- 2y/3cos0 + cos'0 + 4sin20 的最大值為(A. V2 + V3 B.2V2+V3C.V2+2V3D.前三個答室都不對解析：易知當(dāng)e=g時怎卜3 +小>d+6因為 /(') = "+ cos 0 + 5 - 2-cos0 + cos2 + 4sin2 下面證明 /(6) < V? + 2/ u> 7? + x/3- cos0 > 5/5 - 2>/

16、3cos0 + cos 6 + 4sin2 6 兩邊平方即證4s加2e+25/5cose<2« ,因為 4s 加 «）+ 242cos0 < 4sin0 + 2y/2cos6 = 26$加（夕+二 25/6 兩個等號不同時成立，故Asiif6 + 20co§6<2瓜,則選D.16.方程4 + 5-46+1 +4+ 2-2衣+1 = 1的實I艮個數(shù)為（)A.1B.2C.3D.前三個答室都不對解析：由題意可得原|Jv+1 -2卜|4 +1 -1| = 1當(dāng)14"訂42時，上式恒為1 ,故選D.17.凸五邊形ABCDE的對角線CE分別與對角線

17、BD和AD交于點F和G ,已知BF：ra = 5:4,AG:GD = l:hCF:FG:GE = 2:2:3 ,和 S,神 分別為 力田 和 JBE 的面積，則S&CFD : S&椀的值等于()A.8 ： 15B,2 ： 3C.11 ： 23解析：如圖所示，廷長CF=CM則根據(jù)比例可得3WMD則要= M=4，因為G為4。中點GD GM 2 14因此 AO = OG = gGD.MD = -B£MD = 2OE ,貝！1。£ = ,8七，不妨設(shè)5.即=598貝U Sqoe = 2sA田。=4.Sfd = 4x1=因此2劭應(yīng)椀=8:15,故選A.D.前三個答室都

18、不對18 .設(shè)p , q均為不超過100的正整數(shù)，則有有理根的多項式/(x) = V + px + 4的個數(shù)為()A.99B.133C.150D.前三個答室都不對解析：因為/(入)=/ + 工+ 4有有理根，則有理根必小于零.、，m.| / pm 八設(shè)/=_，且(而，尸 1 ,貝！Jr + 4 = 0 nn n貝!“ =/ + /,顯然|l f因為。，,”尸1 ,則，=1 ,故q =因為 q ="+ nip < KX) r 故 1 4 區(qū) 2當(dāng)利=1時，q = l + 4100 ,因此1J499,共99組當(dāng)利=2時，q = 32+2«100 , S(l<p<34，共34組綜上所述：滿足條件的（p , g洪133組，故選B.19 .滿足對任意2in"有,=2"-3% ,且嚴(yán)格遞增的數(shù)列/的個數(shù)為（）A.0B.lC.無窮多個D.前三個答室都不對解析：因為% = 2”-3則金=-%笨+ ；.噬T，*卜說（D，皿"當(dāng)4 =三時，滿足嚴(yán)格遞增，當(dāng)多工,時，會出現(xiàn)正負(fù)交替，不滿足，故選B.20 .設(shè)函數(shù)/（工收）=一+二一+，一，其中My,三均為正實數(shù)，則有（）X +