應(yīng)用幾何畫板對斜二測法作圖的有效改進(jìn)

1、應(yīng)用幾何畫板對斜二測法作圖的有效改進(jìn)摘要：空間圖形的直觀圖，用斜二測畫法，沒有引起教師足夠重視，有以下幾個(gè)方面的原因：第一、高考中沒有出過相關(guān)的題型；第二、在實(shí)際作圖過程中又不嚴(yán)格按照此作圖的方法，只要作出的圖有立體效果就就行；第三、教師尺規(guī)作圖講起來也挺費(fèi)勁的；第四、本節(jié)內(nèi)容學(xué)生自己能看懂。因此這一節(jié)內(nèi)容在有些教師心目中就可有可無了。高爾基有句名言，學(xué)習(xí)不是簡單的摹仿，而是為了掌握某種技巧。作為教師就應(yīng)讓學(xué)生掌握作圖的技巧，因此教學(xué)要走出這一誤區(qū)，教師可以對此節(jié)內(nèi)容進(jìn)行二次開發(fā)。下面是我對斜二測法作圖的探究，作為拋磚引玉和同行們一起來分亨，目的是為了更好地開發(fā)教材，使這部分知識更適合時(shí)代發(fā)展

2、的需要。關(guān)鍵字：斜二測法、作圖、幾何畫板關(guān)鍵詞：斜二測；直觀圖；幾何畫板在高二下冊（舊人教版）講解了立體幾何，其中提到了斜二測法作圖。此書介紹了作圖的基本規(guī)則：（1）在已知圖形中取水平平面，取相互垂直的軸0x、oy再取oz軸使xoz=90°，且yoz=90°；（2）畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對應(yīng)的軸0x、oy、oz，使xoy=45°（或135°），xoz=90°。xoy所確定的平面表示水平平面；（3）己知圖形中平形于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別平行于x軸、y軸或z軸的線段；（4）己知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變；平

3、行于y軸的線段，長度為原來的一半。例：畫棱長為4cm的正方體ABCD-ABCD的直觀圖。畫法一、先畫正方體的底面，正方形ABCD的直觀圖。(1)、在底面邊長為4cm的正方形上以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xAy;(2)、畫對應(yīng)的軸A'x'、A'y'使x'A'y'=45°。(3)、以點(diǎn)A'為起點(diǎn)，在x'軸上取A'B'=AB=4cm;在y'軸上取1A'D'=2AD=2cm;再以點(diǎn)D'為起點(diǎn)，平行于X'軸作D'C'=D

4、C=4cm(4)、將A'、B'、C'、D'依次連接起來得到如圖所示的底面正方形AB C D的直觀圖 A ' B'C' D'如圖一所示。X圖一、再作A'z'軸，使x'A'z'=90(1)分別過點(diǎn)A'、B'、C'、D'，沿A'Z'的正方向取A'A=B'B=C'C=D'D=4cm(2)、依次連接A、B、C、D得到如圖二所示的正方體ABCD-A'B'C'DZTDCDC圖以上畫直觀圖的方法叫做斜二測

5、畫法。教科書上給出的圖形都是比較規(guī)則的圖形，如水平放直的正五邊形、正六邊形、正六棱柱和正五棱錐等等。沒有給出不規(guī)則的圖形的直觀圖的畫法。問題的提出：第一、不規(guī)則的圖形的直觀圖如何畫？第二、水平放直的不規(guī)則圖形怎樣給它建立直角坐標(biāo)系？第三、象水平放直的圓能否用斜二測畫法作直觀圖？教師在上課時(shí)，有學(xué)生可能會提出以上三個(gè)問題，所以教師要給出作答。不能因?yàn)檎n本上沒有給出來，就給學(xué)生一個(gè)簡單的答案，書本上沒有的，就不要去鉆研了，這樣可能會滅殺掉學(xué)生的探知欲。教師如果能將以上三個(gè)問題解答好，那么就是對斜二測法作圖的一種二次開法。下面我們就慢慢來探討這三個(gè)問題的解決方案吧。如果對斜二測法作圖進(jìn)行存細(xì)推敲，那

6、么我們不難發(fā)現(xiàn)，斜二測法作圖的難點(diǎn)和關(guān)健點(diǎn)在于找與原圖形對應(yīng)的點(diǎn)且與y軸平行的線段。與y軸平行的要與y'平行，且長度要變成原來的一半。而y'軸是相對于y軸順時(shí)針或逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到的。那么我們在找點(diǎn)的過程中，能否過此點(diǎn)作x軸的垂線得到線段與y軸平行呢？再找線段的中點(diǎn)，繞垂足點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45。呢？那么這樣得到的點(diǎn)，是不是與原圖形對應(yīng)的點(diǎn)呢？下面我們按此法看看水平放置的正五邊形的直觀圖的畫法。畫法：1、作一個(gè)正五邊形ABCDEF,在其下方建立一個(gè)x軸，y軸可建可不建，如圖三所示;2、過點(diǎn)A作x軸的垂線垂足為F,取角xFA的角平分線，以點(diǎn)F為起點(diǎn)取FA'=2FA（應(yīng)用幾何畫板

7、只需取線段AF的中點(diǎn)M,以點(diǎn)F為旋轉(zhuǎn)中心，點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)450即可得到對應(yīng)的點(diǎn)A'）3、按照步驟2可以相應(yīng)作出B、C、D、E的對應(yīng)點(diǎn)B'、C'、D'、E'順次連接A'、B'、C'、D'、E'就得到正五邊形ABCDE的直觀圖A'B'C'D'E'如圖三所示。圖三這種作圖的方法原理仍然是斜二測法作圖，區(qū)別在于1、將原圖形上的各點(diǎn)都向x軸投影；2、緊緊抓住與y軸平行的線，此線要變成原來的一半，且要與y'軸平行，而y'軸是相對于y軸旋轉(zhuǎn)過的。通過上例，我們可以看到這種作

8、圖的好處是：1、對建立坐標(biāo)系的概念就淡化了，這也是學(xué)生在作圖時(shí)，在原圖上建系遇到的困難。2、這種作圖的方法對于底面不是正多邊形的立體圖形也能輕松的作出來，不受規(guī)則圖形的限制了。問題里面的前兩問算是解決了，那么第三個(gè)問題怎么解決呢？當(dāng)然，我們可以利用斜二測法作圖原理分析出來，圓的直觀圖是以圓的直徑作為橢圓的長軸，半徑作橢圓的短軸的一個(gè)橢圓了。這只是分析出來的而不是通過具體作圖作出來的。那么要想作圖作出來怎么辦？下面我們要解決的就是這個(gè)問題。隨著時(shí)代的發(fā)展，社會的進(jìn)步，辦公條件越來越好，以后我們的學(xué)生走上工作崗位后，可能面對的是一臺電腦，他作圖的方法可能要在電腦上完成而不是原式的用筆在紙上完成的。

9、下面我就接合幾何畫板來看一看斜二測法作圖原理在電腦上的應(yīng)用。分析：我們可以在圓上任意取一點(diǎn)P,任意就是點(diǎn)P能在圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)我們在高二上期學(xué)過的解析幾何可知，只要以點(diǎn)P為父對象得到有關(guān)系的子對象點(diǎn)M,就一定能通過點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而得到點(diǎn)M的軌跡。下面我們可以看一下具體的作圖過程。步驟一、打開幾何畫板，在工具欄上選取繪圓工具，畫一個(gè)圓，再在工具欄上選取點(diǎn)工具，在圓上任取一點(diǎn)P;步驟二、在工具欄上選取直線工具，在圓的下方畫一條水平直線或足夠長的線段，作為水平軸（在這里淡化了坐標(biāo)軸）；步驟三、過點(diǎn)P作軸的垂線，垂足為P',選擇點(diǎn)P、P'在菜單欄中單擊【構(gòu)造】彈出級聯(lián)菜單，選擇【線段】，這樣

10、就得到線段PP',再一次單擊【構(gòu)造】選種中點(diǎn)得到點(diǎn)M。步驟四、雙擊點(diǎn)P'保證以點(diǎn)P'為旋轉(zhuǎn)中心，再用選擇工具選取點(diǎn)M,在菜單欄上單擊【變換】彈出級聯(lián)菜單，再單擊【旋轉(zhuǎn)】彈出對話框，在對話框里輸入-45。點(diǎn)確定。這樣我們就得到一點(diǎn)M'。步驟五、選中點(diǎn)P和點(diǎn)M'在菜單上單擊【構(gòu)造】，在彈出的級聯(lián)菜單中點(diǎn)擊【軌跡】，就得到一個(gè)橢圓，此橢圓就是圓的直觀圖。如圖四：M仁二P4圖四根據(jù)圓的直觀圖的作法，我們能否得到一點(diǎn)啟法？那就是任意多邊形的直觀圖能否作能否象圓一樣快速作圖呢？用幾何出來呢？上面例子中正五邊形的直觀圖作法是很麻煩的,畫板我們的想法是可以實(shí)現(xiàn)的。方法是

11、打開幾何畫板，用畫點(diǎn)工具任意給出五點(diǎn)ABCDE（注意是凸五邊形）依次選種這五點(diǎn)，在菜單欄上單擊【構(gòu)造】，在級聯(lián)菜單中單擊【五邊形內(nèi)部】，用點(diǎn)工具在五邊形內(nèi)部的邊緣上點(diǎn)上一點(diǎn)P,則此點(diǎn)P可圍繞著五邊形ABCDE運(yùn)動(dòng)了，如圖五左，下面部分就可以按圓的直觀圖的作法得到五邊形ABCDE的直觀圖。如圖五以上能快速作出立體圖形的直觀圖。再接合幾何畫板帶參數(shù)的迭代功能。正棱柱和正棱錐的作圖更快更方便了。當(dāng)然這要求我們老師對幾何畫板要有足夠的了解，要求還是比較高的。下面我們一起來看看吧。步驟一：打開幾何畫板，畫一點(diǎn)O和一條線段L,以點(diǎn)O為圓心，線段L為半徑作圓。步驟二：利用圖表菜單新建一個(gè)參數(shù)n,參數(shù)n的大小

12、是可以任意調(diào)節(jié)，作為多邊形的邊數(shù)。3600步驟三：用度量菜單計(jì)算n得出正多邊形一條邊所對應(yīng)的圓心角。0360步驟四：在圓上取一點(diǎn)A,以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，用變換菜單將點(diǎn)A以n旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)Bo步驟五：過點(diǎn)O作一條水平線段OK,過點(diǎn)A作線段OK的垂線段，取其中點(diǎn)，將中點(diǎn)以垂足為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)450得到對應(yīng)的點(diǎn)A',用相同的方法可以得到點(diǎn)B對應(yīng)的點(diǎn)B'。連接線段A'B'且用虛線表示，再連接線段AB。步驟六：作豎直線段ED,控制棱柱的測棱。利用變換菜單將ED作為標(biāo)記向量把點(diǎn)A'和線段A'B'平移。以上各步操作得到的最終效果如圖六左所示。步驟七：將圓隱藏掉，選種點(diǎn)A和參數(shù)n利用變換菜單中的帶參數(shù)迭代，將點(diǎn)A,迭代到點(diǎn)B,最終得到圖六右的正n棱柱?？梢哉{(diào)節(jié)參數(shù)n的大小，得到對應(yīng)的底面為正n邊形的棱柱。拖動(dòng)點(diǎn)D還可以改變棱柱的高和傾斜