立體幾何共線、共點、共面問題

1、立體幾何中的共點、共線、共面問題一、共線問題例1. 若ABC所在的平面和A1B1C1所在平面相交，并且直線AA1、BB1、CC1相交于一點O，求證：(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分別在同一平面內(nèi)；(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分別相交，那么交點在同一直線上(如圖).例2. 點P、Q、R分別在三棱錐A-BCD的三條側(cè)棱上，且PQBCX,QRCDZ,PRBDY.求證：X、Y、Z三點共線.例3. 已知ABC三邊所在直線分別與平面交于P、Q、R三點，求證：P、Q、R三點共線。二、共面問題例4. 直線m、n分別和平行直線a、b、c都相交，交點為A、B、C、

2、D、E、F，如圖，求證：直線a、b、c、m、n共面.例5. 證明兩兩相交而不共點的四條直線在同一平面內(nèi).已知：如圖，直線l1，l2，l3，l4兩兩相交，且不共點.求證：直線l1，l2，l3，l4在同一平面內(nèi)例6. 已知：A1、B1、C1和A2、B2、C2分別是兩條異面直線l1和l2上的任意三點，M、N、R、T分別是A1A2、B1A2、B1B2、C1C2的中點.求證：M、N、R、T四點共面.例7. 在空間四邊形ABCD中，M、N、P、Q分別是四邊上的點，且滿足k.(1)求證：M、N、P、Q共面.(2)當(dāng)對角線ACa,BDb，且MNPQ是正方形時，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)三、共

3、點問題例8. 三個平面兩兩相交得三條直線，求證：這三條直線相交于同一點或兩兩平行.1、(1)證明：AA1BB1O,AA1、BB1確定平面BAO，A、A1、B、B1都在平面ABO內(nèi)，AB平面ABO；A1B1平面ABO.同理可證，BC和B1C1、AC和A1C1分別在同一平面內(nèi).(2)分析：欲證兩直線的交點在一條直線上，可根據(jù)公理2，證明這兩條直線分別在兩個相交平面內(nèi)，那么，它們的交點就在這兩個平面的交線上.2證明：如圖，設(shè)ABA1B1P；ACA1C1R； 面ABC面A1B1C1PR. BC面ABC；B1C1面A1B1C1，且 BCB1C1Q QPR,即 P、R、Q在同一直線上.3解析：A、B、C是

4、不在同一直線上的三點過A、B、C有一個平面又 4解析： 證明若干條直線共面的方法有兩類：一是先確定一個平面，證明其余的直線在這個平面里；二是分別確定幾個平面，然后證明這些平面重合.證明 ab,過a、b可以確定一個平面.Aa,a，A,同理Ba.又Am，Bm,m.同理可證n.bc,過b,c可以確定平面，同理可證m.平面、都經(jīng)過相交直線b、m,平面和平面重合，即直線a、b、c、m、n共面.5、解析：證明幾條直線共面的依據(jù)是公理3及推論和公理1.先證某兩線確定平面，然后證其它直線也在內(nèi).證明：圖中，l1l2P， l1,l2確定平面.又 l1l3A,l2l3C, C,A.故 l3.同理 l4. l1,l

5、2,l3,l4共面.圖中，l1,l2,l3,l4的位置關(guān)系，同理可證l1,l2,l3,l4共面.所以結(jié)論成立.6、證明 如圖，連結(jié)MN、NR，則MNl1,NRl2，且M、N、R不在同一直線上(否則，根據(jù)三線平行公理，知l1l2與條件矛盾). MN、NR可確定平面，連結(jié)B1C2，取其中點S.連RS、ST，則RSl2，又RNl2， N、R、S三點共線.即有S，又STl1，MNl1，MNST，又S， ST. M、N、R、T四點共面. 7解析：(1) k MQBD，且 MQBD又 k PNBD，且 從而NPBD MQNP，MQ，NP共面，從而M、N、P、Q四點共面.(2) ， , MNAC，又NPBD. MN與NP所成的角等于AC與BD所成的角. MNPQ是正方形， MNP90° AC與BD所成的角為90°，又ACa，BDb， MNa又 MQb,且MQMN，ba，即k.說明：公理4是證明空間兩直線平行的基本出發(fā)點.已知：平面平面a，平面平面b，平面平面c.求證：a、b、c相交于同一點，或abc.證明：a，ba、ba、b相交或ab.(1)a、b相交時，不妨設(shè)abP，即Pa，Pb而a、b，aP，P，