概率練習及答案

1、第一章 事件與概率1、對一個五人學習小組考慮生日問題：（1） 求五個人的生日都在星期日的概率； （2） 求五個人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五個人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 設A1=五個人的生日都在星期日，基本事件總數(shù)為75，有利事件僅1個，故 P（A1）=（）5 （2） 設A2=五個人生日都不在星期日，有利事件數(shù)為65，故P（A2）=()5(3) 設A3=五個人的生日不都在星期日P（A3）=1-P(A1)=1-()52、一架升降機開始時有6位乘客，并等可能地停于十層樓的每一層.試求下列事件的概率：（1） A=“某指定的一層有兩位乘客離開”；（2） B=“沒有兩位及兩位以上

2、的乘客在同一層離開”；（3） C=“恰有兩位乘客在同一層離開”；（4） D=“至少有兩位乘客在同一層離開”.【解】 由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開，故所有可能結果為106種.（1） （2） 6個人在十層中任意六層離開，故（3） 由于沒有規(guī)定在哪一層離開，故可在十層中的任一層離開，有種可能結果，再從六人中選二人在該層離開，有種離開方式.其余4人中不能再有兩人同時離開的情況，因此可包含以下三種離開方式：4人中有3個人在同一層離開，另一人在其余8層中任一層離開，共有種可能結果；4人同時離開，有種可能結果；4個人都不在同一層離開，有種可能結果，故（4） D=.故3、兩人約定上午9001000

3、在公園會面，求一人要等另一人半小時以上的概率.【解】設兩人到達時刻為x,y,則0x,y60.事件“一人要等另一人半小時以上”等價于|x-y|>30.如圖陰影部分所示.4、一個袋內裝有大小相同的7個球，其中4個是白球，3個是黑球，從中一次抽取3個，計算至少有兩個是白球的概率.【解】 設Ai=恰有i個白球（i=2,3），顯然A2與A3互斥.故 5、設A，B，C為三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件發(fā)生的概率.【解】 P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(

4、ABC)=+-=6、對任意的隨機事件A，B，C，試證P（AB）+P（AC）-P（BC）P(A).【證】 7、證明：域之交仍為域。證：設是域，記.(i) 每一，所以，即.(ii) ，則每一，由是域得每一，所以，從而.(iii) ，則諸必屬于每一，由于是域，所以每一，即.是域。第二章 條件概率與統(tǒng)計獨立性 1、某地某天下雪的概率為0.3，下雨的概率為0.5，既下雪又下雨的概率為0.1,求：（1） 在下雨條件下下雪的概率；（2） 這天下雨或下雪的概率.【解】 設A=下雨，B=下雪.（1） （2） 2、甲、乙、丙三人獨立地向同一飛機射擊，設擊中的概率分別是0.4,0.5,0.7，若只有一人擊中，則飛機

5、被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中，則飛機被擊落的概率為0.6；若三人都擊中，則飛機一定被擊落，求：飛機被擊落的概率.【解】設A=飛機被擊落，Bi=恰有i人擊中飛機，i=0,1,2,3由全概率公式，得=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.4583、按以往概率論考試結果分析，努力學習的學生有90%的可能考

6、試及格，不努力學習的學生有90%的可能考試不及格.據(jù)調查，學生中有80%的人是努力學習的，試問：（1）考試及格的學生有多大可能是不努力學習的人？（2）考試不及格的學生有多大可能是努力學習的人？【解】設A=被調查學生是努力學習的，則=被調查學生是不努力學習的.由題意知P（A）=0.8，P（）=0.2，又設B=被調查學生考試及格.由題意知P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故由貝葉斯公式知（1） 即考試及格的學生中不努力學習的學生僅占2.702%(2) 即考試不及格的學生中努力學習的學生占30.77%.4、設兩兩相互獨立的三事件，A，B和C滿足條件：ABC=F，P(A)=P(B)=P(C)&l

7、t; 1/2，且P（ABC）=9/16，求P（A）.【解】由 故或,按題設P（A）<,故P（A）=.5、已知某種疾病患者的痊愈率為25%，為試驗一種新藥是否有效，把它給10個病人服用，且規(guī)定若10個病人中至少有四人治好則認為這種藥有效，反之則認為無效，求：（1） 雖然新藥有效，且把治愈率提高到35%，但通過試驗被否定的概率.（2） 新藥完全無效，但通過試驗被認為有效的概率.【解】（1） (2) 6、證明：若P（AB）=P(A)，則A，B相互獨立.【證】 即亦即 因此 故A與B相互獨立.7、證明：若P（A|C）P(B|C), P(A|)P(B|)，則P（A）P(B).【證】由P（A|C）P

8、(B|C),得即有 同理由 得 故 第三章 隨機變量與分布函數(shù)1、設在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個數(shù)，求：（1） X的分布律；（2） X的分布函數(shù)并作圖；(3).【解】故X的分布律為X012P（2） 當x0時，F(xiàn)（x）=P（X<x）=0當0<x1時，F(xiàn)（x）=P（X<x）=P(X=0)= 當1<x2時，F(xiàn)（x）=P（X<x）=P(X=0)+P(X=1)=當x>2時，F(xiàn)（x）=P（X<x）=1故X的分布函數(shù)(3) 2、設連續(xù)型隨機變量X分布函數(shù)為F（x）=（1） 求常數(shù)A，B；（2） 求P

9、X<2，PX3；（3） 求分布密度f（x）.【解】（1）由得（2） (3) 3、設隨機變量（X，Y）的分布密度f（x，y）=求：（1） 常數(shù)A；（2） 隨機變量（X，Y）的分布函數(shù)；（3） P0X<1，0Y<2.【解】（1） 由得 A=12（2） 由定義，有 (3) 4、.設隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求條件概率密度fYX（yx），fXY（xy）. 題4圖【解】 所以 5、設隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布.證明：Y=1-e-2X在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布. 【證】X的密度函數(shù)為由于P（X>0）=1，故0<1-e-2X<1，即P（0<

10、;Y<1）=1當y0時，F(xiàn)Y（y）=0當y1時，F(xiàn)Y（y）=1當0<y<1時，即Y的密度函數(shù)為即YU（0，1）6、設X，Y是相互獨立的隨機變量，其分布律分別為PX=k=p（k），k=0，1，2，PY=r=q（r），r=0，1，2，.證明隨機變量Z=X+Y的分布律為PZ=i=，i=0，1，2，.【證明】因X和Y所有可能值都是非負整數(shù)，所以 于是 第四章 數(shù)字特征與特征函數(shù)1、設隨機變量X的概率密度為f（x）=求E（X），D（X）.【解】 故 2、設隨機變量X的概率密度為f(x)=對X獨立地重復觀察4次，用Y表示觀察值大于/3的次數(shù)，求Y2的數(shù)學期望。【解】令 則.因為及,所以,

11、從而3、設兩個隨機變量X，Y相互獨立，且都服從均值為0，方差為1/2的正態(tài)分布，求隨機變量|X -Y|的方差. 【解】設Z=X -Y，由于且X和Y相互獨立，故ZN（0，1）.因 而 ，所以 .4、試求均勻分布的特征函數(shù)。解：。當時；當時.5、設隨機變量X的概率密度為fX(x)=令Y=X2，F(xiàn)（x,y）為二維隨機變量（X，Y）的分布函數(shù)，求：(1) Y的概率密度fY(y)；(2) Cov(X,Y);(3). 解： (1) Y的分布函數(shù)為.當y0時， ，；當0y1時，；當1y<4時， ；當y4時，.故Y的概率密度為(2) , , ,故 Cov(X,Y) =.(3) .6、設二維隨機變量（X，

12、Y）的概率密度為f（x，y）=試驗證X和Y是不相關的，但X和Y不是相互獨立的.【解】設. 同理E(Y)=0.而 ,由此得,故X與Y不相關.下面討論獨立性，當|x|1時， 當|y|1時，.顯然故X和Y不是相互獨立的.7、對于任意兩事件A和B，0<P(A)<1，0<P(B)<1,則稱=為事件A和B的相關系數(shù).試證：（1） 事件A和B獨立的充分必要條件是=0；（2） |1. 【證】（1）由的定義知，=0當且僅當P(AB) -P(A)·P(B)=0.而這恰好是兩事件A、B獨立的定義，即=0是A和B獨立的充分必要條件.(2) 引入隨機變量X與Y為 由條件知，X和Y都服從

13、0 -1分布，即 從而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B),D(X)=P(A)·P(),D(Y)=P(B)·P(),Cov(X,Y)=P(AB) -P(A)·P(B)所以，事件A和B的相關系數(shù)就是隨機變量X和Y的相關系數(shù).于是由二元隨機變量相關系數(shù)的基本性質可得|1.第五章 極限定理1、設隨機變量X和Y的數(shù)學期望是2, 方差分別為1和4, 而相關系數(shù)為0.5, 試用切比雪夫不等式估計概率P(|XY| ³ 6).解. E(XY) = E(X)E(Y) = 22 = 0 D(XY) = D(X) + D(Y)= 1 + 42×0.5×

14、1×2 = 3所以 .2、某廠有400臺同型機器, 各臺機器發(fā)生故障的概率均為0,02, 假如各臺機器相互獨立工作, 試求機器出現(xiàn)故障的臺數(shù)不少于2臺的概率.解. 假設X表示400臺機器中發(fā)生故障的臺數(shù), 所以XB(400, 0.02)由棣莫佛拉普拉斯定理: 所以 » 1F(2.5) = F(2.5) = 0.9938.3、設供電網中有10000盞燈, 夜晚每一盞燈開著的概率都是0.7, 假設各燈開、關時間彼此無關, 計算同時開著的燈數(shù)在6800與7200之間的概率.解. 假設X表示10000盞燈中開著的燈數(shù), 所以XB(10000, 0.7)由棣莫佛拉普拉斯定理: 所以 » F(4.36)F(4.36) = 2F(4.36)1 = 2×0.9999931 = 0.999.4、在一定保險公司里有10000人參加保險，每人每年付12元保險費，在一年內一個人死亡的概率為0.006,死亡者其家屬可向保險公司領得1000元賠償費.求：（1） 保險公司沒有利潤的概率為多大；（2） 保險公司一年的利潤不少于60000元的概率為多大？【解】設X為在一年中參加保險者的死亡人數(shù)，則XB（10000，0.006）.(1) 公司沒有利潤當且僅當“1000X=10000×12”即“X