圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、圓錐曲線的方程與性質(zhì)1橢圓（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) 、F2的距離的和等于常數(shù) 2a （大于 廳店2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓 的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離 2c叫橢圓的焦距。若 M為橢圓上任意一點(diǎn)，則有|MR | - |MF2 |=2a。2 2 2 2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：篤爲(wèi)=1 （ a b 0）（焦點(diǎn)在x軸上）或 豈X2= 1 （ ）（焦點(diǎn)在y軸a bab上）。注：以上方程中a,b的大小a . b 0 ,其中b2 =a2 - c2 ；2 2 2 2在一2 '每-1和 與 -2-1兩個(gè)方程中都有a b 0的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看x和y的分a ba bx2 y2母的大

2、小。例如橢圓1 （ m 0， n0, m = n ）當(dāng)m n時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng) m ： n時(shí)m n表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓。（2）橢圓的性質(zhì)范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)稱性：在曲線方程里，若以-1知|x卜a，|yb，說(shuō)明橢圓位于直線 X二a，y所圍成的矩形里;-y代替y方程不變，所以若點(diǎn)（x,y）在曲線上時(shí)，點(diǎn)（x,-y）也在曲線上，所以曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，同理，以-x代替x方程不變，則曲線關(guān)于y軸對(duì)稱。若同時(shí)以 -x代替x，- y代替y方程也不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。所以，橢圓關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心 叫橢圓的中心；頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)

3、系中的位置，常需要求出曲線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令x=0，得y=±b，貝U B（0,b），B2（0,b）是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令 y=0得x = ±a，即A（a,0）， A>（a,0）是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時(shí)，線段 A A、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別為2a和2b , a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。由橢圓的對(duì)稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為a ;在RtAOB2F2中，|OB2 |= b , |OF2 |= c, | B2F2 |= a ,且 |OF

4、2|2=|B2F2|2 TOBH2，即 C2 二a2_b2 ；c離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的比e叫橢圓的離心率。 a c 0 ,. 0 e < 1，且e越接近1, c就a越接近a，從而b就越小，對(duì)應(yīng)的橢圓越扁；反之，e越接近于0, c就越接近于0 ,從而b越接近于a，這時(shí)橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)a二b時(shí)，c =0，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2 y2二a2。2雙曲線（1）雙曲線的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線（| PR | - | PF21|= 2a）。注意：式中是差的絕對(duì)值，在0 ：2a ：| F1F2 |條件下；|PR |-| PF2|=2a時(shí)為雙曲線

5、的一支； |PF2|-|PF1 | = 2a時(shí)為雙曲線的另一支（含 F1的一支）；當(dāng)2a =| F1F2 |時(shí)，|PF1|-|PF2|=2a表示兩條射 線；當(dāng)2a | F1F21時(shí)，| PF1 |-| PF21|= 2a不表示任何圖形；兩定點(diǎn) FF2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，|RF2|叫做 焦距。橢圓雙曲線定義|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|)|卩只| |PF2|=2a(2a£F1F2|)方程2 2z + y -1 孑產(chǎn)2 22 2xy-TV2" 1ab22yx-y -.一-12.21ab焦占八 '、八、F (士c,0)F(0, ±c)F仕c,0)F

6、 (0, 土c)注意：如何用方程確定焦點(diǎn)的位置！橢圓和雙曲線比較:（2）雙曲線的性質(zhì)范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程2 2篤一占=1，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線a bx = a的外側(cè)。即x >a ， x >a即雙曲線在兩條直線 x=±a的外側(cè)。對(duì)稱性：雙曲線2是雙曲線篤a2 2篤-厶=1關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn) a2 b22篤 =1的對(duì)稱中心，雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的中心。b2頂點(diǎn)：雙曲線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線2 2芻一卑=1的方程里，對(duì)稱軸是 x,y軸，所a2 b22 2以令y =0得x-a，因此雙曲線和x

7、軸有兩個(gè)交點(diǎn) A （-a,0） A2（a,0），他們是雙曲線 篤-卑=1的頂點(diǎn)。a b令X = 0，沒(méi)有實(shí)根，因此雙曲線和 y軸沒(méi)有交點(diǎn)。1）注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的（橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)） 端點(diǎn)。2） 實(shí)軸：線段 A A叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)等于 2a, a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)。虛軸：線段B B?叫做雙 曲線的虛軸，它的長(zhǎng)等于，雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)2b,b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。漸近線：注意到開(kāi)課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對(duì)角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從2 圖上看，雙曲線 x2a等軸雙曲線：2y2 =1的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接近。b21） 定義

8、：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：a=b ；2） 等軸雙曲線的性質(zhì)：（1 ）漸近線方程為：y=x ; （2）漸近線互相垂直。注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時(shí)其 他幾個(gè)亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征 當(dāng)'< 0時(shí)焦點(diǎn)在y軸上。2 2x y22乙乙.a =b，則等軸雙曲線可以設(shè)為：x - y = （- 0），當(dāng)，0時(shí)交點(diǎn)在x軸,2注意1與壬1699軸也變了。3.拋物線（1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn) F和一條定直線I的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線（定點(diǎn)F不在定直線I上）。定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線 I叫

9、做拋物線的準(zhǔn)線。2x1的區(qū)別：三個(gè)量a,b,c中a,b不同（互換）c相同，還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)16方程y2 =2px p 0叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F （衛(wèi)，0），它的準(zhǔn)線方程是x=-衛(wèi)；2 2（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其 他幾種形式：y2 = _2px，x2 =2py，x2二-2py.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如F表:標(biāo)準(zhǔn)方程y2 = 2 px(P>0)y2 = -2 px(P>0)x2 = 2py(P>0)x2 = -2 py(P = 0)圖形:pp"lx/IX焦點(diǎn)坐標(biāo)（匕0）2(專,0)（0，£）2(0,-£)2準(zhǔn)線方程x2X聖22y2范圍x王0x蘭0y Z0y蘭0對(duì)稱性x軸x軸y軸y軸頂