微積分公式與定積分計算練習(xí)

1、微積分公式與定積分計算練習(xí)（附加三角函數(shù)公式）一、基本導(dǎo)數(shù)公式 二、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則 三、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則（1） （2）（3） （4）四、基本初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式（1） （2） (3)(4)(5) (6) (7) 五、微分公式與微分運算法則 六、微分運算法則七、基本積分公式 八、補充積分公式 九、下列常用湊微分公式積分型換元公式十、分部積分法公式形如，令，形如令，形如令，形如，令，形如，令，形如，令均可。十一、第二換元積分法中的三角換元公式(1) (2) (3) 【特殊角的三角函數(shù)值】 （1） （2） （3） （4） （5）（1） （2）（3） （4） （5）（1） （2）（3）（4）不

2、存在（5）（1）不存在 （2）（3）（4）（5）不存在十二、重要公式（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （9）（10） （11）（12） （系數(shù)不為0的情況）十三、下列常用等價無窮小關(guān)系（） 十四、三角函數(shù)公式1.兩角和公式 2.二倍角公式 3.半角公式 4.和差化積公式 5.積化和差公式 6.萬能公式 7.平方關(guān)系 8.倒數(shù)關(guān)系 9.商數(shù)關(guān)系 十五、幾種常見的微分方程1.可分離變量的微分方程： ， 2.齊次微分方程：3.一階線性非齊次微分方程： 解為：高考定積分應(yīng)用常見題型大全一選擇題（共21小題）1（2012福建）如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則

3、點P恰好取自陰影部分的概率為（）ABCD2（2010山東）由曲線y=x2，y=x3圍成的封閉圖形面積為（）ABCD3設(shè)f（x）=，函數(shù)圖象與x軸圍成封閉區(qū)域的面積為（）ABCD4定積分的值為（）AB3+ln2C3ln2D6+ln25如圖所示，曲線y=x2和曲線y=圍成一個葉形圖（陰影部分），其面積是（）A1BCD6=（）AB2CD47已知函數(shù)f（x）的定義域為2，4，且f（4）=f（2）=1，f（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，則平面區(qū)域f（2a+b）1（a0，b0）所圍成的面積是（）A2B4C5D8801exdx與01exdx相比有關(guān)系式（）A01exdx01exdx

4、B01exdx01exdxC（01exdx）2=01exdxD01exdx=01exdx9若a=，b=，則a與b的關(guān)系是（）AabBabCa=bDa+b=010的值是（）ABCD11若f（x）=（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則=（）A+e2eB+eCe2+eD+e2e12已知f（x）=2|x|，則（）A3B4C3.5D4.513設(shè)f（x）=3|x1|，則22f（x）dx=（）A7B8C7.5D6.514積分=（）ABCa2D2a215已知函數(shù)的圖象與x軸所圍成圖形的面積為（）A1/2B1C2D3/216由函數(shù)y=cosx（0x2）的圖象與直線及y=1所圍成的一個封閉圖形的面積是（）A4BCD217曲

5、線y=x3在點（1，1）處的切線與x軸及直線x=1所圍成的三角形的面積為（）ABCD18圖中，陰影部分的面積是（）A16B18C20D2219如圖中陰影部分的面積是（）ABCD20曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積是（）ABCD21如圖，點P（3a，a）是反比例函y=（k0）與O的一個交點，圖中陰影部分的面積為10，則反比例函數(shù)的解析式為（）Ay=By=Cy=Dy=高考定積分應(yīng)用常見題型大全（含答案）參考答案與試題解析一選擇題（共21小題）1（2012福建）如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為（）ABCD考點：定積分在求面積中的應(yīng)用；幾何概型501974 專題：

6、計算題分析：根據(jù)題意，易得正方形OABC的面積，觀察圖形可得，陰影部分由函數(shù)y=x與y=圍成，由定積分公式，計算可得陰影部分的面積，進(jìn)而由幾何概型公式計算可得答案解答：解：根據(jù)題意，正方形OABC的面積為1×1=1，而陰影部分由函數(shù)y=x與y=圍成，其面積為01（x）dx=（）|01=，則正方形OABC中任取一點P，點P取自陰影部分的概率為=；故選C點評：本題考查幾何概型的計算，涉及定積分在求面積中的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確計算出陰影部分的面積2（2010山東）由曲線y=x2，y=x3圍成的封閉圖形面積為（）ABCD考點：定積分在求面積中的應(yīng)用501974 專題：計算題分析：要求曲線y=x2

7、，y=x3圍成的封閉圖形面積，根據(jù)定積分的幾何意義，只要求01（x2x3）dx即可解答：解：由題意得，兩曲線的交點坐標(biāo)是（1，1），（0，0）故積分區(qū)間是0，1所求封閉圖形的面積為01（x2x3）dx，故選A點評：本題考查定積分的基礎(chǔ)知識，由定積分求曲線圍成封閉圖形的面積3設(shè)f（x）=，函數(shù)圖象與x軸圍成封閉區(qū)域的面積為（）ABCD考點：分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；函數(shù)的圖象；定積分在求面積中的應(yīng)用501974 專題：計算題；數(shù)形結(jié)合分析：利用坐標(biāo)系中作出函數(shù)圖象的形狀，通過定積分的公式，分別對兩部分用定積分求出其面積，再把它們相加，即可求出圍成的封閉區(qū)域曲邊圖形的面積解答：解：根據(jù)題

8、意作出函數(shù)的圖象：根據(jù)定積分，得所圍成的封閉區(qū)域的面積S=故選C點評：本題考查分段函數(shù)的圖象和定積分的運用，考查積分與曲邊圖形面積的關(guān)系，屬于中檔題解題關(guān)鍵是找出被積函數(shù)的原函數(shù)，注意運算的準(zhǔn)確性4定積分的值為（）AB3+ln2C3ln2D6+ln2考點：定積分；微積分基本定理；定積分的簡單應(yīng)用501974 專題：計算題分析：由題設(shè)條件，求出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后根據(jù)微積分基本定理求出定積分的值即可解答：解：=（x2+lnx）|12=（22+ln2）（12+ln1）=3+ln2故選B點評：本題考查求定積分，求解的關(guān)鍵是掌握住定積分的定義及相關(guān)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題5如圖所示，曲線y=x2

9、和曲線y=圍成一個葉形圖（陰影部分），其面積是（）A1BCD考點：定積分；定積分的簡單應(yīng)用501974 專題：計算題分析：聯(lián)立由曲線y=x2和曲線y=兩個解析式求出交點坐標(biāo)，然后在x（0，1）區(qū)間上利用定積分的方法求出圍成的面積即可解答：解：聯(lián)立得，解得 或，設(shè)曲線與直線圍成的面積為S，則S=01（x2）dx=故選：C點評：考查學(xué)生求函數(shù)交點求法的能力，利用定積分求圖形面積的能力6=（）AB2CD4考點：微積分基本定理；定積分的簡單應(yīng)用501974 專題：計算題分析：由于F（x）=x2+sinx為f（x）=x+cosx的一個原函數(shù)即F（x）=f（x），根據(jù)abf（x）dx=F（x）|ab公式即

10、可求出值解答：解：（ x2+sinx）=x+cosx，（x+cosx）dx=（ x2+sinx） =2故答案為：2點評：此題考查學(xué)生掌握函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求函數(shù)的定積分運算，是一道基礎(chǔ)題7已知函數(shù)f（x）的定義域為2，4，且f（4）=f（2）=1，f（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，則平面區(qū)域f（2a+b）1（a0，b0）所圍成的面積是（）A2B4C5D8考點：定積分的簡單應(yīng)用501974 分析：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象，分析原函數(shù)的性質(zhì)或作出原函數(shù)的草圖，找出a、b滿足的條件，畫出平面區(qū)域，即可求解解答：解：由圖可知2，0）上f（x）0，函數(shù)f（x）在2，0）上單調(diào)遞減，（0

11、，4上f（x）0，函數(shù)f（x）在（0，4上單調(diào)遞增，故在2，4上，f（x）的最大值為f（4）=f（2）=1，f（2a+b）1（a0，b0）表示的平面區(qū)域如圖所示：故選B點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及線性規(guī)劃問題的綜合應(yīng)用，屬于高檔題解決時要注意數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用801exdx與01exdx相比有關(guān)系式（）A01exdx01exdxB01exdx01exdxC（01exdx）2=01exdxD01exdx=01exdx考點：定積分的簡單應(yīng)用；定積分501974 專題：計算題分析：根據(jù)積分所表示的幾何意義是以直線x=0，x=1及函數(shù)y=ex或y=ex在圖象第一象限內(nèi)圓弧與坐標(biāo)軸圍成的面

12、積，只需畫出函數(shù)圖象觀察面積大小即可解答：解：01exdx表示的幾何意義是以直線x=0，x=1及函數(shù)y=ex在圖象第一象限內(nèi)圓弧與坐標(biāo)軸圍成的面積，01exdx表示的幾何意義是以直線x=0，x=1及函數(shù)y=ex在圖象第一象限內(nèi)圓弧與坐標(biāo)軸圍成的面積，如圖當(dāng)0x1時，exxex，故有：01exdx01exdx故選B點評：本題主要考查了定積分，定積分運算是求導(dǎo)的逆運算，解題的關(guān)鍵是求原函數(shù)，也可利用幾何意義進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題9若a=，b=，則a與b的關(guān)系是（）AabBabCa=bDa+b=0考點：定積分的簡單應(yīng)用501974 專題：計算題分析：a=（cosx）=（cos2）（cos）=cos2s

13、in24.6°，b=sinx=sin1sin0=sin1sin57.3°解答：解：a=（cosx）=（cos2）（cos）=cos2cos114.6°=sin24.6°，b=sinx=sin1sin0=sin1sin57.3°，ba故選A點評：本題考查定積分的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答10的值是（）ABCD考點：定積分的簡單應(yīng)用501974 專題：計算題分析：根據(jù)積分所表示的幾何意義是以（1，0）為圓心，1為半徑第一象限內(nèi)圓弧與拋物線y=x2在第一象限的部分坐標(biāo)軸圍成的面積，只需求出圓的面積乘以四分之一與拋物線在第一象限的部分與x

14、軸和直線x=1圍成的圖形的面積即可解答：解；積分所表示的幾何意義是以（1，0）為圓心，1為半徑第一象限內(nèi)圓弧與拋物線y=x2在第一象限的部分坐標(biāo)軸圍成的面積，故只需求出圓的面積乘以四分之一與拋物線在第一象限的部分與x軸和直線x=1圍成的圖形的面積之差即=故答案選A點評：本題主要考查了定積分，定積分運算是求導(dǎo)的逆運算，解題的關(guān)鍵是求原函數(shù)，也可利用幾何意義進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題11若f（x）=（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則=（）A+e2eB+eCe2+eD+e2e考點：定積分的簡單應(yīng)用501974 專題：計算題分析：由于函數(shù)為分段函數(shù)，故將積分區(qū)間分為兩部分，進(jìn)而分別求出相應(yīng)的積分，即可得到結(jié)論解答：

15、解：=故選C點評：本題重點考查定積分，解題的關(guān)鍵是將積分區(qū)間分為兩部分，再分別求出相應(yīng)的積分12已知f（x）=2|x|，則（）A3B4C3.5D4.5考點：定積分的簡單應(yīng)用501974 專題：計算題分析：由題意，由此可求定積分的值解答：解：由題意，=+=2+42=3.5故選C點評：本題考查定積分的計算，解題的關(guān)鍵是利用定積分的性質(zhì)化為兩個定積分的和13設(shè)f（x）=3|x1|，則22f（x）dx=（）A7B8C7.5D6.5考點：定積分的簡單應(yīng)用501974 專題：計算題分析：22f（x）dx=22（3|x1|）dx，將22（3|x1|）dx轉(zhuǎn)化成21（2+x）dx+12（4x）dx，然后根據(jù)定

16、積分的定義先求出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后求解即可解答：解：22f（x）dx=22（3|x1|）dx=21（2+x）dx+12（4x）dx=（2x+x2）|21+（ 4xx2）|12=7故選A點評：本題主要考查了定積分，定積分運算是求導(dǎo)的逆運算，同時考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于基礎(chǔ)題14積分=（）ABCa2D2a2考點：定積分的簡單應(yīng)用；定積分501974 專題：計算題分析：本題利用定積分的幾何意義計算定積分，即求被積函數(shù)y=與x軸所圍成的圖形的面積，圍成的圖象是半個圓解答：解：根據(jù)定積分的幾何意義，則表示圓心在原點，半徑為3的圓的上半圓的面積，故=故選B點評：本小題主要考查定積分、定積分的幾何意

17、義、圓的面積等基礎(chǔ)知識，考查考查數(shù)形結(jié)合思想屬于基礎(chǔ)題15已知函數(shù)的圖象與x軸所圍成圖形的面積為（）A1/2B1C2D3/2考點：定積分在求面積中的應(yīng)用501974 專題：計算題分析：根據(jù)幾何圖形用定積分表示出所圍成的封閉圖形的面積，求出函數(shù)f（x）的積分，求出所求即可解答：解：由題意圖象與x軸所圍成圖形的面積為=（）|01+sinx =+1=故選D點評：本題考查定積分在求面積中的應(yīng)用，求解的關(guān)鍵是正確利用定積分的運算規(guī)則求出定積分的值，本題易因為對兩個知識點不熟悉公式用錯而導(dǎo)致錯誤，牢固掌握好基礎(chǔ)知識很重要16由函數(shù)y=cosx（0x2）的圖象與直線及y=1所圍成的一個封閉圖形的面積是（）A

18、4BCD2考點：定積分在求面積中的應(yīng)用501974 專題：計算題分析：由題意可知函數(shù)y=cosx（0x2）的圖象與直線及y=1所圍成的一個封閉圖形可利用定積分進(jìn)行計算，只要求0（1cosx）dx即可然后根據(jù)積分的運算公式進(jìn)行求解即可解答：解：由函數(shù)y=cosx（0x2）的圖象與直線及y=1所圍成的一個封閉圖形的面積，就是：0（1cosx）dx=（xsinx）|0=故選B點評：本題考查余弦函數(shù)的圖象，定積分，考查計算能力，解題的關(guān)鍵是兩塊封閉圖形的面積之和就是上部直接積分減去下部積分17曲線y=x3在點（1，1）處的切線與x軸及直線x=1所圍成的三角形的面積為（）ABCD考點：定積分在求面積中的

19、應(yīng)用501974 專題：計算題分析：欲求所圍成的三角形的面積，先求出在點（1，1）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故要利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，從而問題解決解答：解：y=x3，y'=3x2，當(dāng)x=1時，y'=3得切線的斜率為3，所以k=3；所以曲線在點（1，1）處的切線方程為：y1=3×（x1），即3xy2=0令y=o得：x=，切線與x軸、直線x=1所圍成的三角形的面積為：S=×（1）×1=故選B點評：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題

20、18圖中，陰影部分的面積是（）A16B18C20D22考點：定積分在求面積中的應(yīng)用501974 專題：計算題分析：從圖象中知拋物線與直線的交點坐標(biāo)分別為（2，2），（8，4）過（2，2）作x軸的垂線把陰影部分分為S1，S2兩部分，利用定積分的方法分別求出它們的面積并相加即可得到陰影部分的面積解答：解：從圖象中知拋物線與直線的交點坐標(biāo)分別為（2，2），（8，4）過（2，2）作x軸的垂線把陰影部分分為S1，S2兩部分，分別求出它們的面積A1，A2：A1=02dx=2 dx=，A2=28dx=所以陰影部分的面積A=A1+A2=18故選B點評：本題考查定積分在求面積中的應(yīng)用，解題是要注意分割，關(guān)鍵是要注意在x軸下方的部分積分為負(fù)（積分的幾何意義強(qiáng)調(diào)代數(shù)和），屬于基礎(chǔ)題考查學(xué)生利用定積分求陰影面積的方法的能力19如圖中陰影部分的面積是（）ABCD考點：定積分在求面積中的應(yīng)用501974 專題：計算題分析：求陰影部分的面積，先要對陰影部分進(jìn)行分割到三個象限內(nèi)，分別對三部分進(jìn)行積分求和即可解答：解：直線y=2x與拋物線y=3x2解得交點為（3，6）和（1，2）拋物線y=3x2與x軸負(fù)半軸交點（，0）設(shè)陰影