曲線和方程-教案

1、曲線和方程 教學目標1.使學生了解曲線的點集與方程的解集之間的關系，從而掌握“曲線的方程”與“方程的曲線”這兩個概念.2.使學生掌握證明已知曲線C的方程是f(x,y)=0的方法和步驟.3.通過曲線和方程概念的知識形成過程，培養(yǎng)學生合情推理能力、數學交流能力、探索能力，確立“數形結合”的思想方法，并進一步提高邏輯思維能力.教學重點與難點對“曲線的方程”、“方程的曲線”定個中兩個關系的理解.教學過程師：解析幾何重要內容之一是利用代數方法來研究幾何中曲線的問題.即通過建立坐標系，利用平面內點和有序實數對之間一一對應關系，建立曲線的方程，并通過對方程的討論來研究曲線的幾何性質.為此，在第二章“圓錐曲線

2、”的第一節(jié)，先建立曲線和方程的關系.這里，先看上堂課后留的兩個思考題.(板書)例1 (1)畫出兩坐標軸所成的角在第一、三象限的平分線l，并寫出其方程.(2)畫出函數y=2x2(-1x2)的圖象C.(選擇二位學生自制的計算機軟盤或投影片，請二位學生各自操作，展示在投影儀上.取較好的解答定格，如圖2-1.)師：這二位同學解答很好.請大家對照直線l及方程，對照拋物線的一倍分C及方程，談談符合某種條件的點的集合L和C分別與其方程是怎樣地聯系起來的？(鼓勵學生觀察、聯想，進行數學交流.學生討論后選其兩個回答，再口述一遍.)生甲：如果M(x2 / 100,y0)是l上的任意一點，它到兩個坐標軸的距離一定相

3、等，因此x0=y0，那么它的坐標(x0,y0)是方程x-y=0的解；反過來，如果(x0,y0)是方程x-y=0的解，即x0,y0，那么以這個解為坐標的點到兩坐標軸的距離相等，它一定在這條平分線l上.為此把直線l與方程x-y=0密切地聯系了起來.生乙：如果點M(x0,y0)是C上的點，那么(x0,y0)一定是y=2x2的解；反過來，如果(x0,y0)是方程y=2x2的解，那么以它為坐標的點一定在C上.師：學生甲的回答清楚地說明了直線l完整地表示方程x-y=0，而方程x-y=0完整地表示了直線l.但學生乙的回答是否完滿，請同學們思考，發(fā)表見解，并用最短的語言寫在投影片上.(老師巡視后選一張投影展示

4、定格.)學生乙的回答忽略了-1x2，從而點集C與方程y=2x2的解的集合G無法建立一一對應關系.師：請這位同學進一步闡明自己的見解.生：就本題而言，如(3，18)G，但P(3，18)C.方程漏掉了制約條件-1x2.為此正確的理解是：如果點M(x0,y0)是C上的點，那么(x0,y0)一定是y=2x2(-1x2)的解；反過來，如果(x0,y0)是方程y=2x2(-1x2)的解，那么以它的坐標為點一定在C上.師：這樣的見解才確切地反映了點集C與方程y=2x2(-1x2)的解集G是一一對應的.從而，拋物線的一部分C完整地表示了方程y=2x2(-1x2)，而方程y=2x2(-1x2)完整地表示了C.現

5、在我們來考慮以下這個問題：點集C還是拋物線的一部分，方程卻是y=2x2，不加任何制約條件.那么，此時的點集C與方程的解集是一個什么樣的關系呢?(鼓勵學生勇于探索，為合理推理鋪墊.學生討論后口答.)生丙：曲線C上的任一點P的坐標(x0,y0)一定是y=2x2的解；但若(x0,y0)是y=2x2的解，以它為坐標的點不一定在C上，有一部分在y=2x2(x-1或2的圖象上.師：回答得很好.我們再來考慮一個問題：點集C是拋物線y=2x2，而方程還是y=2x2(-1x2).它們的關系又是怎樣呢?(進一步引導學生積極參與并多向思維.學生口答.)生丁：曲線C上點的坐標不一定是y=2x2(-1x2)的解；而以y

6、=2x2(-1x2)的解為坐標的點卻一定在C上.師：以上兩個問題反映了點集C與方程的解集不是一一對應的兩種截然不同的不完整的關系.那么怎樣才能使點集C與方程的解是一一對應的呢?為了研究方便，從曲線是點按照某種條件運動所成的軌跡的意義來說，我們也把直線看成曲線.在平面直角坐標系中，點和有序實數對(x,y)聯系起來，而二元方程f(x,y)=0的任一個解恰是一個有序實數對.現在我們一起歸納一下要具備的條件(學生討論、口答).師：同學們討論得很好.曲線C和二元方程f(x,y)=0應具備以下兩個條件：1.若P(x0,y0)C,則f(x0,y0)=0成立；2.若f(x0,y0)=0,則P(x0,y0)C.

7、本節(jié)課的“曲線的方程”與“方程的曲線(圖形)”的定義是這樣(老師操作計算機或投影片定格)：一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程f(x0,y0)=0的解建立了如下的關系：1. 曲線上的點的坐標都是這個方程的解；2.以這個方程的解為坐標的點都在曲線上，那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線(圖形).師：我們已經給曲線的方程、方程的曲線下了定義.這堂課例1的第(1)小題，方程x-y=0是l的方程，而l是方程x-y=0的曲線；第(2)小題，方程y=2x2(-1x2)是曲線C的方程，而C是方程y=2x2(-1x2)的曲線.同學們再舉3

8、個例子，每個例子畫一條曲線，寫一個方程.第1個例子滿足定義中的兩個條件；第2個例子滿足定義中第1個條件，不滿足第2個條件；第3個例子不滿足定義中第1個條件，滿足第2個條件.(鼓勵學生進行思維訓練，強化概念記憶.選一位同學構造的例題板書.)生：(板書)師：(與學生一起評議)例1符合定義中的兩個條件，y=|x|是曲線C的方程，C是方程y=|x|的曲線；例2中，曲線C的方程不是Y=x，C也不是方程y=-x的曲線，如果確定方程，那么曲線上遺漏了坐標是方程解的第三象限的點如果確定曲線，那么方程缺少了制約條件x0；第3個例子，y=4-x2不是C的方程，C也不是y=4-x2的曲線.如果確定方程，曲線上混有坐

9、不是方程解的點(以原點為圓心，2為半徑而圓在x軸下方的部分).如果確定曲線，那么方程x2+y2=4增添了制約條件y0(以上敘述在師生多次數學交流中進行).師：同學們對上面后兩個例子，就定曲線變方程和定方程變曲線分別構造兩個例子，使其符合“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義，寫在投影片上.(選正確與有錯誤的解答各一份.先展示有錯的，進行糾正；后展示正確的定格.)師：通過上面例題的研究，同學們掌握了“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義，要牢記定義中的1、2兩者缺一不可，當且僅當兩者都滿足時，能才稱為“曲線的方程”和“方程的曲線”.下面研究“證明已知曲線C的方程是f(x,y)=0”的方法和步驟，請看

10、例2(老師操作計算機或投影展示).例2 證明以坐標原點為圓心，半徑等于5的圓的方程是x2+y2=25，并判斷點M1(3，-4)，M2(-25，2)是否在這個圓上.師：請同學們研究，證明應從何著手?(大家討論后回答)生：應從以下兩方面著手：1.圓上任一點M(x0,y0)滿足x20+y20=25；2.以方程x20+y20=25的解(x0,y0)為坐標的點在圓上.師：同學回答得很好，請大家閱讀理解課本第50頁例1，學會證明已知曲線C的方程是f(x,y)=0的方法和步驟.(進一步培養(yǎng)學生的閱讀、思考、邏輯思維能力.)師：現在我們再一起看一下本例題的證明過程.(老師操作計算機或投影片展示)證明：1.設M

11、(x0,y0)是圓上任意一點.因為點M到坐標原點的距離等于5，所以x20+y20=25，也就是x2 0+y2 0=25. 即(x0,y0)是方程x20+y20=25的解.2.設(x0,y0)是方程x2+y2=25的解，那么x20+y2 0=25.兩邊開方取算術根，得x20+y20=5，即點M(x0,y0)到坐標原點的距離等于5，點M(x0,y0)是這個圓上的一點.由1、2可知，x2+y2=25是以坐標原點為圓心，半徑等于5的圓的方程.師：現在請一位同學歸納一下證明已知曲線的方程的方法和步驟.生：用“曲線的方程”和“方程的曲線”的定義來證明已知曲線C的方程是f(x,y)=0.證明中分兩個步驟；第

12、一步，設M(x0,y0)是曲線C上任一點，證明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；第二步，設(x0,y0)是f(x,y)=0的解，證明點M(x0,y0)在曲線C上.師：這位同學的回答正確歸納了證明的兩個步驟，要記住最后應加以總結，使證明更完美.現在我們再來看兩個例題，同學們把解答寫在投影片上.(老師操作計算機或投影片，先展示例3，解答后再展示例4.)例3 求曲線y=x2關于直線y=x的對稱圖形的方程.(選兩個同學的投影片)1.解 y=x2關于直線y=x的對稱圖形的方程為y=x.2.解：由可知y=x2關于直線y=x的對稱圖形的方程為y2=x.師：第一個同學的解答是錯誤的，遺漏了對稱圖形中x軸下

13、方圖象的方程.而第二位同學通過畫出曲線y=x2關于直線y=x的圖象，寫出了其方程.看來證明某已知曲線的方程是f(x,y)=0是必不可少的，證明課下研究.例4 求曲線y=x3-x關于點(1，2)的對稱曲線的方程.(選一個同學的投影片)解 設y=x2-x關于點(1，2)的對稱曲線上任一點M(x,y)，則M關于點(1，2)的對稱點M(2-x,4-y)，因為M在曲線y=x3-x上，所以4-y=(2-x)3-(2-x)即為所求的對稱曲線的方程.師：這位同學把所求曲線上的點轉移到已知曲線上去，方法很好，也是今后求曲線的方程的基本方法.但是，我們這一堂課還要提出的問題是如何證明曲線y=x3-x關于點(1，2

14、)的對稱曲線的方程為4-y=(2-x)3-(2-x)呢?證明也留作課下研究.“曲線和方程”這一節(jié)，我們準備用兩節(jié)課.這一堂課，著重研究了“曲線的方程”、“方程的曲線”這兩個概念，以及必須具備的兩個條件，這是我們用代數的方法研究幾何問題的基礎.下一堂課，我們將著重研究證明曲線C的方程及重要性.為此，我們留以下作業(yè)：書面作業(yè)：課本第51頁練習，解答寫在書本上；研究作業(yè)：(板書)1.證明曲線y=x2關于y=x的對稱圖形的方程是y2=x.2.證明曲線y=x3-x關于點(1，2)的對稱曲線的方程是4-y=(2-x)3-(2-x).研究作業(yè)的解答請同學們儲存在軟盤內或寫在投影片上.設計說明1.“曲線的方程

15、”這一節(jié)，按教參要求是兩課時，鑒于本節(jié)在解析幾何中的重要地位，教案設計是第一堂課著重引出“曲線的方程”和“方程的曲線”的概念；第二堂課著重研究證明某曲線C的方程是f(x,y)=0.由于在2.2節(jié)“求曲線的方程”中，指出了求曲線的方程的5個步驟，而課本中特別指明：“除個別情況外，化簡過程都是同解變形過程，步驟(5)可以省略不寫”.同學們高興的是步驟(5)可以省略不寫，而忽略了“同解變形過程”及“如有特殊情況，可適當予以說明”.在提倡素質教育的今天，對學生應用能力的要求日益加強.就目前高中數學對學生的要求，已經到了某已知曲線經過多次平移，再求關于某已知點(帶字母參數的)的對稱曲線的方程，并加以證明

16、.這樣，高中數學中的8種基本對稱關系：關于x軸、關于y軸、關于直線y=x、關于直線y=-x、關于直線x=(0)、關于直線y=b(b0)以及關于原點、關于除原點外的任一個定點(t,r)的對稱曲線的方程的求法及證明已放到了教學日程上.那么這些問題放哪兒解決?由于這些問題在前一階段的教學中已有了不同程度的滲透，所以在這一節(jié)中系統(tǒng)解決較好.為此，設計了例3和例4，為下一堂課鋪墊，也為學生在學習“坐標變換”后解決某已知曲線經過多次平移，再求關于某已知點(或某已知直線)的對稱曲線的方程，并加以證明打下良好的基礎.關于除此之外的第9種對稱關系，即除上述提到前8種對稱關系外的任一直線Ax+by+C=0的對稱曲

17、線的方程則可在以后的學習中適時介紹.2.在銳意創(chuàng)新的時代，著重培養(yǎng)學生掌握數學的基本思想和提高學生的數學能力是本教案的出發(fā)點.在高中數學教學中，作為數學思想應向學生滲透、掌握、強化的有：函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、等價轉化思想及運動變換思想.不是所有的課都能把這些思想自然地溶納進去，但由于“曲線與方程”這一節(jié)在教材中的特殊地位，它把高中數學中的解析幾何和代數這兩個單科緊緊連在一起，為此能把以上數學思想溶納大半，這不能不引起我們的高度重視.幾何，原始的展現是形.解析幾何，主要體現用數學研究形.為此，這一節(jié)教材中的“數形結合”應是涉及到數學思想中最多的一個，盡管側重于用“數”研究“形”，同時對學生用“形”來研究“數”，解決某些代數問題起到了有益的啟迪.由于曲線C中有很多的代數中函數的圖象，曲線C是點按某種條件運動而成的，所以在這一節(jié)的教學中應對函數與方程思想、運動變換思想加以足夠的重視.在本教案中例1的直線l和拋物線的一部分C在計算機顯示中均以點運動所成的軌跡出現.并與代數中一