曲線和方程-教案

1、曲線和方程 教學(xué)目標(biāo)1.使學(xué)生了解曲線的點(diǎn)集與方程的解集之間的關(guān)系，從而掌握“曲線的方程”與“方程的曲線”這兩個(gè)概念.2.使學(xué)生掌握證明已知曲線C的方程是f(x,y)=0的方法和步驟.3.通過(guò)曲線和方程概念的知識(shí)形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力、數(shù)學(xué)交流能力、探索能力，確立“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，并進(jìn)一步提高邏輯思維能力.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)對(duì)“曲線的方程”、“方程的曲線”定個(gè)中兩個(gè)關(guān)系的理解.教學(xué)過(guò)程師：解析幾何重要內(nèi)容之一是利用代數(shù)方法來(lái)研究幾何中曲線的問(wèn)題.即通過(guò)建立坐標(biāo)系，利用平面內(nèi)點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)之間一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，建立曲線的方程，并通過(guò)對(duì)方程的討論來(lái)研究曲線的幾何性質(zhì).為此，在第二章“圓錐曲線

2、”的第一節(jié)，先建立曲線和方程的關(guān)系.這里，先看上堂課后留的兩個(gè)思考題.(板書(shū))例1 (1)畫(huà)出兩坐標(biāo)軸所成的角在第一、三象限的平分線l，并寫(xiě)出其方程.(2)畫(huà)出函數(shù)y=2x2(-1x2)的圖象C.(選擇二位學(xué)生自制的計(jì)算機(jī)軟盤(pán)或投影片，請(qǐng)二位學(xué)生各自操作，展示在投影儀上.取較好的解答定格，如圖2-1.)師：這二位同學(xué)解答很好.請(qǐng)大家對(duì)照直線l及方程，對(duì)照拋物線的一倍分C及方程，談?wù)劮夏撤N條件的點(diǎn)的集合L和C分別與其方程是怎樣地聯(lián)系起來(lái)的？(鼓勵(lì)學(xué)生觀察、聯(lián)想，進(jìn)行數(shù)學(xué)交流.學(xué)生討論后選其兩個(gè)回答，再口述一遍.)生甲：如果M(x2 / 100,y0)是l上的任意一點(diǎn)，它到兩個(gè)坐標(biāo)軸的距離一定相

3、等，因此x0=y0，那么它的坐標(biāo)(x0,y0)是方程x-y=0的解；反過(guò)來(lái)，如果(x0,y0)是方程x-y=0的解，即x0,y0，那么以這個(gè)解為坐標(biāo)的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離相等，它一定在這條平分線l上.為此把直線l與方程x-y=0密切地聯(lián)系了起來(lái).生乙：如果點(diǎn)M(x0,y0)是C上的點(diǎn)，那么(x0,y0)一定是y=2x2的解；反過(guò)來(lái)，如果(x0,y0)是方程y=2x2的解，那么以它為坐標(biāo)的點(diǎn)一定在C上.師：學(xué)生甲的回答清楚地說(shuō)明了直線l完整地表示方程x-y=0，而方程x-y=0完整地表示了直線l.但學(xué)生乙的回答是否完滿，請(qǐng)同學(xué)們思考，發(fā)表見(jiàn)解，并用最短的語(yǔ)言寫(xiě)在投影片上.(老師巡視后選一張投影展示

4、定格.)學(xué)生乙的回答忽略了-1x2，從而點(diǎn)集C與方程y=2x2的解的集合G無(wú)法建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.師：請(qǐng)這位同學(xué)進(jìn)一步闡明自己的見(jiàn)解.生：就本題而言，如(3，18)G，但P(3，18)C.方程漏掉了制約條件-1x2.為此正確的理解是：如果點(diǎn)M(x0,y0)是C上的點(diǎn)，那么(x0,y0)一定是y=2x2(-1x2)的解；反過(guò)來(lái)，如果(x0,y0)是方程y=2x2(-1x2)的解，那么以它的坐標(biāo)為點(diǎn)一定在C上.師：這樣的見(jiàn)解才確切地反映了點(diǎn)集C與方程y=2x2(-1x2)的解集G是一一對(duì)應(yīng)的.從而，拋物線的一部分C完整地表示了方程y=2x2(-1x2)，而方程y=2x2(-1x2)完整地表示了C.現(xiàn)

5、在我們來(lái)考慮以下這個(gè)問(wèn)題：點(diǎn)集C還是拋物線的一部分，方程卻是y=2x2，不加任何制約條件.那么，此時(shí)的點(diǎn)集C與方程的解集是一個(gè)什么樣的關(guān)系呢?(鼓勵(lì)學(xué)生勇于探索，為合理推理鋪墊.學(xué)生討論后口答.)生丙：曲線C上的任一點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0,y0)一定是y=2x2的解；但若(x0,y0)是y=2x2的解，以它為坐標(biāo)的點(diǎn)不一定在C上，有一部分在y=2x2(x-1或2的圖象上.師：回答得很好.我們?cè)賮?lái)考慮一個(gè)問(wèn)題：點(diǎn)集C是拋物線y=2x2，而方程還是y=2x2(-1x2).它們的關(guān)系又是怎樣呢?(進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生積極參與并多向思維.學(xué)生口答.)生丁：曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)不一定是y=2x2(-1x2)的解；而以y

6、=2x2(-1x2)的解為坐標(biāo)的點(diǎn)卻一定在C上.師：以上兩個(gè)問(wèn)題反映了點(diǎn)集C與方程的解集不是一一對(duì)應(yīng)的兩種截然不同的不完整的關(guān)系.那么怎樣才能使點(diǎn)集C與方程的解是一一對(duì)應(yīng)的呢?為了研究方便，從曲線是點(diǎn)按照某種條件運(yùn)動(dòng)所成的軌跡的意義來(lái)說(shuō)，我們也把直線看成曲線.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)聯(lián)系起來(lái)，而二元方程f(x,y)=0的任一個(gè)解恰是一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì).現(xiàn)在我們一起歸納一下要具備的條件(學(xué)生討論、口答).師：同學(xué)們討論得很好.曲線C和二元方程f(x,y)=0應(yīng)具備以下兩個(gè)條件：1.若P(x0,y0)C,則f(x0,y0)=0成立；2.若f(x0,y0)=0,則P(x0,y0)C.

7、本節(jié)課的“曲線的方程”與“方程的曲線(圖形)”的定義是這樣(老師操作計(jì)算機(jī)或投影片定格)：一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x0,y0)=0的解建立了如下的關(guān)系：1. 曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；2.以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線(圖形).師：我們已經(jīng)給曲線的方程、方程的曲線下了定義.這堂課例1的第(1)小題，方程x-y=0是l的方程，而l是方程x-y=0的曲線；第(2)小題，方程y=2x2(-1x2)是曲線C的方程，而C是方程y=2x2(-1x2)的曲線.同學(xué)們?cè)倥e3

8、個(gè)例子，每個(gè)例子畫(huà)一條曲線，寫(xiě)一個(gè)方程.第1個(gè)例子滿足定義中的兩個(gè)條件；第2個(gè)例子滿足定義中第1個(gè)條件，不滿足第2個(gè)條件；第3個(gè)例子不滿足定義中第1個(gè)條件，滿足第2個(gè)條件.(鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練，強(qiáng)化概念記憶.選一位同學(xué)構(gòu)造的例題板書(shū).)生：(板書(shū))師：(與學(xué)生一起評(píng)議)例1符合定義中的兩個(gè)條件，y=|x|是曲線C的方程，C是方程y=|x|的曲線；例2中，曲線C的方程不是Y=x，C也不是方程y=-x的曲線，如果確定方程，那么曲線上遺漏了坐標(biāo)是方程解的第三象限的點(diǎn)如果確定曲線，那么方程缺少了制約條件x0；第3個(gè)例子，y=4-x2不是C的方程，C也不是y=4-x2的曲線.如果確定方程，曲線上混有坐

9、不是方程解的點(diǎn)(以原點(diǎn)為圓心，2為半徑而圓在x軸下方的部分).如果確定曲線，那么方程x2+y2=4增添了制約條件y0(以上敘述在師生多次數(shù)學(xué)交流中進(jìn)行).師：同學(xué)們對(duì)上面后兩個(gè)例子，就定曲線變方程和定方程變曲線分別構(gòu)造兩個(gè)例子，使其符合“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義，寫(xiě)在投影片上.(選正確與有錯(cuò)誤的解答各一份.先展示有錯(cuò)的，進(jìn)行糾正；后展示正確的定格.)師：通過(guò)上面例題的研究，同學(xué)們掌握了“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義，要牢記定義中的1、2兩者缺一不可，當(dāng)且僅當(dāng)兩者都滿足時(shí)，能才稱為“曲線的方程”和“方程的曲線”.下面研究“證明已知曲線C的方程是f(x,y)=0”的方法和步驟，請(qǐng)看

10、例2(老師操作計(jì)算機(jī)或投影展示).例2 證明以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑等于5的圓的方程是x2+y2=25，并判斷點(diǎn)M1(3，-4)，M2(-25，2)是否在這個(gè)圓上.師：請(qǐng)同學(xué)們研究，證明應(yīng)從何著手?(大家討論后回答)生：應(yīng)從以下兩方面著手：1.圓上任一點(diǎn)M(x0,y0)滿足x20+y20=25；2.以方程x20+y20=25的解(x0,y0)為坐標(biāo)的點(diǎn)在圓上.師：同學(xué)回答得很好，請(qǐng)大家閱讀理解課本第50頁(yè)例1，學(xué)會(huì)證明已知曲線C的方程是f(x,y)=0的方法和步驟.(進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的閱讀、思考、邏輯思維能力.)師：現(xiàn)在我們?cè)僖黄鹂匆幌卤纠}的證明過(guò)程.(老師操作計(jì)算機(jī)或投影片展示)證明：1.設(shè)M

11、(x0,y0)是圓上任意一點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于5，所以x20+y20=25，也就是x2 0+y2 0=25. 即(x0,y0)是方程x20+y20=25的解.2.設(shè)(x0,y0)是方程x2+y2=25的解，那么x20+y2 0=25.兩邊開(kāi)方取算術(shù)根，得x20+y20=5，即點(diǎn)M(x0,y0)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于5，點(diǎn)M(x0,y0)是這個(gè)圓上的一點(diǎn).由1、2可知，x2+y2=25是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑等于5的圓的方程.師：現(xiàn)在請(qǐng)一位同學(xué)歸納一下證明已知曲線的方程的方法和步驟.生：用“曲線的方程”和“方程的曲線”的定義來(lái)證明已知曲線C的方程是f(x,y)=0.證明中分兩個(gè)步驟；第

12、一步，設(shè)M(x0,y0)是曲線C上任一點(diǎn)，證明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；第二步，設(shè)(x0,y0)是f(x,y)=0的解，證明點(diǎn)M(x0,y0)在曲線C上.師：這位同學(xué)的回答正確歸納了證明的兩個(gè)步驟，要記住最后應(yīng)加以總結(jié)，使證明更完美.現(xiàn)在我們?cè)賮?lái)看兩個(gè)例題，同學(xué)們把解答寫(xiě)在投影片上.(老師操作計(jì)算機(jī)或投影片，先展示例3，解答后再展示例4.)例3 求曲線y=x2關(guān)于直線y=x的對(duì)稱圖形的方程.(選兩個(gè)同學(xué)的投影片)1.解 y=x2關(guān)于直線y=x的對(duì)稱圖形的方程為y=x.2.解：由可知y=x2關(guān)于直線y=x的對(duì)稱圖形的方程為y2=x.師：第一個(gè)同學(xué)的解答是錯(cuò)誤的，遺漏了對(duì)稱圖形中x軸下

13、方圖象的方程.而第二位同學(xué)通過(guò)畫(huà)出曲線y=x2關(guān)于直線y=x的圖象，寫(xiě)出了其方程.看來(lái)證明某已知曲線的方程是f(x,y)=0是必不可少的，證明課下研究.例4 求曲線y=x3-x關(guān)于點(diǎn)(1，2)的對(duì)稱曲線的方程.(選一個(gè)同學(xué)的投影片)解 設(shè)y=x2-x關(guān)于點(diǎn)(1，2)的對(duì)稱曲線上任一點(diǎn)M(x,y)，則M關(guān)于點(diǎn)(1，2)的對(duì)稱點(diǎn)M(2-x,4-y)，因?yàn)镸在曲線y=x3-x上，所以4-y=(2-x)3-(2-x)即為所求的對(duì)稱曲線的方程.師：這位同學(xué)把所求曲線上的點(diǎn)轉(zhuǎn)移到已知曲線上去，方法很好，也是今后求曲線的方程的基本方法.但是，我們這一堂課還要提出的問(wèn)題是如何證明曲線y=x3-x關(guān)于點(diǎn)(1，2

14、)的對(duì)稱曲線的方程為4-y=(2-x)3-(2-x)呢?證明也留作課下研究.“曲線和方程”這一節(jié)，我們準(zhǔn)備用兩節(jié)課.這一堂課，著重研究了“曲線的方程”、“方程的曲線”這兩個(gè)概念，以及必須具備的兩個(gè)條件，這是我們用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題的基礎(chǔ).下一堂課，我們將著重研究證明曲線C的方程及重要性.為此，我們留以下作業(yè)：書(shū)面作業(yè)：課本第51頁(yè)練習(xí)，解答寫(xiě)在書(shū)本上；研究作業(yè)：(板書(shū))1.證明曲線y=x2關(guān)于y=x的對(duì)稱圖形的方程是y2=x.2.證明曲線y=x3-x關(guān)于點(diǎn)(1，2)的對(duì)稱曲線的方程是4-y=(2-x)3-(2-x).研究作業(yè)的解答請(qǐng)同學(xué)們儲(chǔ)存在軟盤(pán)內(nèi)或?qū)懺谕队捌?設(shè)計(jì)說(shuō)明1.“曲線的方程

15、”這一節(jié)，按教參要求是兩課時(shí)，鑒于本節(jié)在解析幾何中的重要地位，教案設(shè)計(jì)是第一堂課著重引出“曲線的方程”和“方程的曲線”的概念；第二堂課著重研究證明某曲線C的方程是f(x,y)=0.由于在2.2節(jié)“求曲線的方程”中，指出了求曲線的方程的5個(gè)步驟，而課本中特別指明：“除個(gè)別情況外，化簡(jiǎn)過(guò)程都是同解變形過(guò)程，步驟(5)可以省略不寫(xiě)”.同學(xué)們高興的是步驟(5)可以省略不寫(xiě)，而忽略了“同解變形過(guò)程”及“如有特殊情況，可適當(dāng)予以說(shuō)明”.在提倡素質(zhì)教育的今天，對(duì)學(xué)生應(yīng)用能力的要求日益加強(qiáng).就目前高中數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生的要求，已經(jīng)到了某已知曲線經(jīng)過(guò)多次平移，再求關(guān)于某已知點(diǎn)(帶字母參數(shù)的)的對(duì)稱曲線的方程，并加以證明

16、.這樣，高中數(shù)學(xué)中的8種基本對(duì)稱關(guān)系：關(guān)于x軸、關(guān)于y軸、關(guān)于直線y=x、關(guān)于直線y=-x、關(guān)于直線x=(0)、關(guān)于直線y=b(b0)以及關(guān)于原點(diǎn)、關(guān)于除原點(diǎn)外的任一個(gè)定點(diǎn)(t,r)的對(duì)稱曲線的方程的求法及證明已放到了教學(xué)日程上.那么這些問(wèn)題放哪兒解決?由于這些問(wèn)題在前一階段的教學(xué)中已有了不同程度的滲透，所以在這一節(jié)中系統(tǒng)解決較好.為此，設(shè)計(jì)了例3和例4，為下一堂課鋪墊，也為學(xué)生在學(xué)習(xí)“坐標(biāo)變換”后解決某已知曲線經(jīng)過(guò)多次平移，再求關(guān)于某已知點(diǎn)(或某已知直線)的對(duì)稱曲線的方程，并加以證明打下良好的基礎(chǔ).關(guān)于除此之外的第9種對(duì)稱關(guān)系，即除上述提到前8種對(duì)稱關(guān)系外的任一直線Ax+by+C=0的對(duì)稱曲

17、線的方程則可在以后的學(xué)習(xí)中適時(shí)介紹.2.在銳意創(chuàng)新的時(shí)代，著重培養(yǎng)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基本思想和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是本教案的出發(fā)點(diǎn).在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，作為數(shù)學(xué)思想應(yīng)向?qū)W生滲透、掌握、強(qiáng)化的有：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及運(yùn)動(dòng)變換思想.不是所有的課都能把這些思想自然地溶納進(jìn)去，但由于“曲線與方程”這一節(jié)在教材中的特殊地位，它把高中數(shù)學(xué)中的解析幾何和代數(shù)這兩個(gè)單科緊緊連在一起，為此能把以上數(shù)學(xué)思想溶納大半，這不能不引起我們的高度重視.幾何，原始的展現(xiàn)是形.解析幾何，主要體現(xiàn)用數(shù)學(xué)研究形.為此，這一節(jié)教材中的“數(shù)形結(jié)合”應(yīng)是涉及到數(shù)學(xué)思想中最多的一個(gè)，盡管側(cè)重于用“數(shù)”研究“形”，同時(shí)對(duì)學(xué)生用“形”來(lái)研究“數(shù)”，解決某些代數(shù)問(wèn)題起到了有益的啟迪.由于曲線C中有很多的代數(shù)中函數(shù)的圖象，曲線C是點(diǎn)按某種條件運(yùn)動(dòng)而成的，所以在這一節(jié)的教學(xué)中應(yīng)對(duì)函數(shù)與方程思想、運(yùn)動(dòng)變換思想加以足夠的重視.在本教案中例1的直線l和拋物線的一部分C在計(jì)算機(jī)顯示中均以點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所成的軌跡出現(xiàn).并與代數(shù)中一