2020-2021中考數(shù)學(xué)圓的綜合(大題培優(yōu)易錯難題)及答案

1、2020-2021中考數(shù)學(xué)圓的綜合(大題培優(yōu)易錯難題)及答案一、圓的綜合1 .如圖，。是4ABC的外接圓，點 E為4ABC內(nèi)切圓的圓心，連接 AE的延長線交 BC于 點F,交。O于點D;連接BD,過點D作直線DM,使/ BDM=/DAC.(1)求證：直線DM是。O的切線；【答案】(1)證明見解析(2) 2 J3【解析】【分析】(1)根據(jù)垂徑定理的推論即可得到ODLBC,再根據(jù)/BDM=/DBC,即可判定 BC/ DM,進而彳#到OD，DM,據(jù)此可得直線 DM是。的切線；(2)根據(jù)三角形內(nèi)心的定義以及圓周角定理，得到/BED=/EBD,即可得出DB=DE,再判定DBQ4DAB,即可得到 DB2=

2、DF?DA,據(jù)此解答即可.【詳解】(1)如圖所示，連接OD.點 E 是 4ABC的內(nèi)心,Z BAD=Z CAD,Bd Cd ,OD± BC.又. / BDM=/DAC, /DAC=/DBC, . / BDM=/DBC, . BC/ DM, .1.ODXDM.又OD為。O半徑，.直線DM是。的切線.(2)連接 BE. E 為內(nèi)心，/ABE=/CBE / BAD=Z CAD, / DBC=Z CAD, . / BAD=Z DBC, . / BAE+Z ABE=Z CBEZ DBC,即 ZBED=Z DBE, . BD=DE.又. /BDF=/ADB （公共角），.DBFs DAB, .正

3、 里 即 DB2=DF?DA.DB DA. DF=2, AF=4, DA=DF+AF=6, . . DB2=DF?DA=12, . DB=DE=2 J3 .【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心與外心，圓周角定理以及垂徑定理的綜合應(yīng)用，解題時注 意：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條??；三角形的內(nèi)心 到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個內(nèi)角.2.如圖，點A、B、C分別是。上的點，CD是。的直徑，P是CD延長線上的一點,AP=ACS(1)若/B=60°,求證：AP是。的切線；(2)若點B是弧CD的中點，AB交CD于點 【答案】(1)證明見解

4、析；(2) 8.E, CD=4,求 BE AB 的值.【解析】(1)求出推出即可;(2)求出/ADC的度數(shù)，求出 /P、/ACQBD長，求出4DBE和4ABD相似,/OAC度數(shù)，求出/OAP=90,根據(jù)切線判定得出比例式，代入即可求出答案. / ADC=Z B, / B=60 ；/ ADC=60 ；.CD是直徑,/ DAC=90 ；/ ACO=180-90 -6030 ；-. AP=AC, OA=OG/ OAC=Z ACD=30 ； / P=Z ACD=30 ,°/ OAP=180 -30 -30 -3090 ；即 OALAP,. OA為半徑，.AP是。切線.(2)連接 AD, BD

5、,.CD是直徑, / DBC=90 ；. CD=4, B為弧CD中點,BD=BC=e , / BDC=Z BCD=45 ,° / DAB=Z DCB=45 ；即 / BDE=/ DAB, / DBE=Z DBA,.,.DBEAABD, BD AB.用二呵.BE?AB=BD?BD=V2 X 2G = 8考點：1.切線的判定；2.相似三角形的判定與性質(zhì).3.在平面直角坐標(biāo)中，邊長為 2的正方形OABC的兩頂點 a、C分別在y軸、X軸的正 半軸上，點O在原點.現(xiàn)將正方形OABC繞。點順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng) A點一次落在直線 y x上 時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交直線y x于點m , BC邊交x

6、軸于點N (如圖).(1)求邊OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；(2)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng) MN和AC平行時，求正方形 OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；(3)設(shè) MBN的周長為P,在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC的過程中，P值是否有變化？請證明 你的結(jié)論.【答案】(1)兀2 (2) 22.5。(3)周長不會變化，證明見解析【解析】試題分析：(1)根據(jù)扇形的面積公式來求得邊OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；(2)解決本題需利用全等，根據(jù)正方形一個內(nèi)角的度數(shù)求出/AOM的度數(shù)；(3)利用全等把4MBN的各邊整理到成與正方形的邊長有關(guān)的式子.試題解析：(1) ; A點第一次落在直線 y=x上時停止旋轉(zhuǎn)，直線 y=x與y軸的夾角是 45

7、。，4522360，OA 旋轉(zhuǎn)了 45： OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為(2) MN /AC,/ BMN=Z BAC=45 ,° / BNM=Z BCA=45 .°Z BMN=Z BNM,，BM=BN.又,. BA=BC, .1. AM=CN.又. OA=OC, /OAM=/OCN, . OAM OCN. ./AOM=/CON=(/AOC-/ MON) =- (90 -45°) =22.5 .22，旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng) MN和AC平行時，正方形 OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為45 -22.5 =22.5 . (3)在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC的過程中，p值無變化.證明：延長BA交y軸于

8、E點，貝U / AOE=45 -/ AOM , / CON=90 -45 -Z AOM=45 -/ AOM ,/ AOE=Z CON.又OA=OC, / OAE=180 -90 =90° = / OCN. .OAEAOCN.OE=ON, AE=CN又 / MOE=Z MON=45 , OM=OM , .OMEAOMN. . MN=ME=AM+AE.MN=AM+CN , p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.，在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC的過程中，p值無變化.考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).4.如圖1,將長為10的線段OA繞點O旋轉(zhuǎn)90得到OB,點A的運動軌跡為 AB，P是 半徑o

9、b上一動點，q是Ab上的一動點，連接 pq.發(fā)現(xiàn)：/POQ=時，PQ有最大值，最大值為 ;思考：(1)如圖2,若P是OB中點，且QPLOB于點P,求?Q的長；(2)如圖3,將扇形AOB沿折痕AP折疊，使點B的對應(yīng)點B恰好落在OA的延長線上， 求陰影部分面積；探究：如圖4,將扇形OAB沿PQ折疊，使折疊后的弧 QB恰好與半徑OA相切，切點為C,若OP=6,求點O到折痕PQ的距離.;(2) 25 兀-100/2 +100； ( 3)點 O【答案】發(fā)現(xiàn)：90； 10J2 ;思考：(1)到折痕PQ的距離為病.【解析】103分析：發(fā)現(xiàn)：先判斷出當(dāng)PQ取最大時，點Q與點A重合，點P與點B重合，即可得出結(jié)論

10、；思考：(1)先判斷出/POQ=60,最后用弧長用弧長公式即可得出結(jié)論；(2)先在 RtA B'OP 中，OP2+(10 J2-10)2= (10-OP) 2,解得 OP=10j2-10,最后用面積 的和差即可得出結(jié)論.探究：先找點 。關(guān)于PQ的對稱點O',連接OO、O' E O' G O' ?證明四邊形 OCOB是矩1形，由勾股定理求 O' H從而求出OO的長，則OM=-OO 再.詳解：發(fā)現(xiàn)：P是半徑OB上一動點，Q是AB上的一動點,當(dāng)PQ取最大時，點 Q與點A重合，點P與點B重合，此時，/ POQ=90 , PQ=7qA2_OB2 =10 我

11、；點P是OB的中點,思考：(1)如圖，連接OQ,1 1.OP=-OB=- OQ.QPXOB,/ OPQ=90 °,OP 1在 RtA OPQ 中，cos/ QOP= 一,OQ 2/ QOP=60 ；. 6010 10 .BQ-1803'(2)由折疊的性質(zhì)可得，BP= BP, AB= AB= 10 J2,在 RWOP 中,OP2+(10 72-10)2= (10-OP)解得OP=10應(yīng)-10,9010210 （10、2 10）S 陰影=S 扇形 aob-2Sa aop=360=25 兀-100 夜+100；探究：如圖2,找點O關(guān)于PQ的對稱點O',連接OO、O'

12、 R O' C O' R則OM=OM , OO ± PQ, O' P=OP= 3點O'是？ Q所在圓的圓心,n R l= （n為圓心角度數(shù)，R為圓半徑），180考的性質(zhì)；對稱點的連線被對稱軸垂直平分.明確過圓的切線垂直于過切點的半徑，這是常 ,.O' C=OB=10;折疊后的弧QB'恰好與半徑OA相切于C點, .O' dAO, .O' a ob, 四邊形OCO'庭矩形，在 RtO' B呻,O B=62 42 2V5，在 RtA OBO K, OO =#02 （2西2=2 而，1 1 一 . OM= _ O

13、OX2730 =病, 22即O到折痕PQ的距離為癡.矩形的性質(zhì)和判定，熟練掌握弧長公式點睛：本題考查了折疊問題和圓的切線的性質(zhì)、5.如圖，在。0中，直徑ABL弦CD于點E,連接AC, BC,點F是BA延長線上的一點, 且 / FCA= / B.（1）求證：CF是。的切線；（2）若AE= 4, tan/ACD=；,求AB和FC的長.40【答案】（1）見解析；（2）AB=20 ,CF3【解析】分析：（1）連接OC,根據(jù)圓周角定理證明 OC，CF即可；（2）通過正切值和圓周角定理，以及/FCA=/B求出CE BE的長，即可得到 AB長，然后根據(jù)直徑和半徑的關(guān)系求出OE的長，再根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角

14、形相似（或射影定理）證明OCa4CFE,即可根據(jù)相似三角形的應(yīng)線段成比例求解詳解：證明：連結(jié)OC.AB是。O的直徑/ ACB=90°/ B+/BAC=90 °-.OA=OCZ BAC=Z OCA / B=/FCAZ FCA+Z OCA=90 °即 / OCF=90.C在。上 .CF是。O的切線.CE=8 直徑AB，弦CD于點EAd Ac / FCA= / B/ B=ZACD=Z FCA / EOC4 ECACE 1tan / B=tan / ACD=一BE 2，BE=16.AB=20，OE=AB+ 2-AE=6-.CE± AB / CEO4 FCE=90

15、 °.-.OCEACFEOC OECF CE10 _6CF-8, 401 CF 3點睛：此題主要考查了圓的綜合知識，關(guān)鍵是熟知圓周角定理和切線的判定與性質(zhì)，結(jié)合 相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形的知識求解，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想是解題的 突破點，有一定的難度，是一道綜合性的題目 6.已知，如圖：Oi為x軸上一點，以 Oi為圓心作交x軸于C、D兩點，交y軸于M、N兩點，/CMD的外角平分線交 OOi于點E, AB是弦，且 AB/CD,直線DM的解析 式為 y=3x+3.(1)如圖1,求OOi半徑及點E的坐標(biāo).(2)如圖2,過E作EF，BC于F,若A、B為弧CND上兩動點且弦 AB/

16、 CD,試問：BF+CF 與AC之間是否存在某種等量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論，并證明.(3)在(2)的條件下，EF交OOi于點G,問弦BG的長度是否變化？若不變直接寫出BG的長(不寫過程)，若變化自畫圖說明理由.【答案】(i) r=5 E (4, 5) (2) BF+CF=AC (3)弦BG的長度不變，等于 5近【解析】分析：(I)連接 ED EG EQ、MOi,如圖 I,可以證到 Z ECD=Z SME=/EMC=/EDC,從 而可以證到 Z EOiD=ZEOiC=90 o,由直線 DM的解析式為 y=3x+3可得OD=I, OM=3,設(shè) OOi的半徑為r.在RtA MOOi中利用勾股定理就可解

17、決問題.(2)過點Oi作OiPEG于P,過點Oi作OiQ± BC于Q,連接EQ、DB,如圖2.由 AB/ DC可證到BD=AC,易證四邊形 OiPFQ是矩形，從而有 OiP=FQ, Z POiQ=90°,進而有 /EOiP=/ COiQ,從而可以證到 EPOiCQOi,則有PQ=QOi.根據(jù)三角形中位線定理 可得FQ=iBD,從而可以得到 BF+CF=2FQ=AC.2(3)連接 EOi, ED, EB, BG,如圖 3.易證 EF/ BD,則有 Z GEB=Z EBD,從而有 Bg =?d , 也就有BG=DE.在RtA EQD中運用勾股定理求出 ED,就可解決問題. 詳解

18、：(I)連接ED EG EQ、MOi,如圖i, ME 平分 / SMC,/ SME=Z EMC. / SME=Z ECD, / EMC=Z EDC,，/ ECD=Z EDC,，/ EQD=/ EQC. ZEOD+Z EQC=180 °,，/EQD=/ EOiC=90°. 直線DM的解析式為y=3x+3, 點M的坐標(biāo)為（0, 3）,點D的坐標(biāo)為（-1,0）, .OD=1, OM=3.設(shè)。Oi的半徑為r,則MOi=DOi=r.在 RtA MOOi 中，（r 1） 2+32=r2.解得：r=5,OOi=4, EOi=5,.OOi 半徑為 5,點 E 的坐標(biāo)為（4, 5）.（2）

19、BF+CF=AC.理由如下：過點Oi作OiPL EG于 巳 過點Oi作OiQBC于Q,連接EO、DB,如圖2. AB/ DC,Z DCA=Z BAC,Ad = Bc, ?d = Ac， BD=AC-OiP± EG, OiQ± BC, EF±BF, z. ZOiPF=Z PFQ=Z OiQF=90 °, .四邊形 OiPFQ是矩 形，OiR=FQ, Z POiQ=90 °,ZEOiP=90 °- ZPOiC=ZCOiQ.EO1PCO1Q在EPQ 和 ACQ。中，EPOiCQOi ,O1E QC.-.EPQACQO,POi=QOi, .

20、FQ=QOi.QOi± BC,，BQ=CQCO=DOi, .OiQ=1BD,FQ=1BD.22 BF+CF=FC+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ, . BF+CF=BD=AC.（3）連接 EQ, ED, EB, BG,如圖 3. DC是。Oi 的直徑，Z DBC=90 °,Z DBC+Z EFB=180 °, . EF/ BD,/ GEB=Z EBD,BG = ?D，. BG=DE. DOi=EOi=5, EOi ± DOi , . . DE=572 ,，BG=5±,.弦BG的長度不變，等于 5衣.卻圖2圖3點睛：本題考查了圓周角定理、圓

21、內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、弧與弦的關(guān)系、垂徑定理、全等三 角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的判定與性質(zhì)、勾股 定理等知識，綜合性比較強，有一定的難度.而由 AB/ DC證到AC=BD是解決第（2）小題 的關(guān)鍵，由EG/ DB證到BG=DE是解決第（3）小題的關(guān)鍵.7.如圖，在 ABC中，BAC 90 , AB AC J2, AD BC ,垂足為 D ,過 A,D的。O分別與AB, AC交于點E,F ,連接EF, DE, DF .(1)求證： ADE 9 CDF ;(2)當(dāng)BC與。相切時，求。的面積.【答案】(1)見解析；(2) 一.4【解析】分析：(1)由等腰直角三角形的性

22、質(zhì)知AD=CD Z1 = Z C=45°,由/ EAF=90。知EF是O O的直徑，據(jù)此知 / 2+/4=/3+/4=90。，得/ 2=/3,利用“ASAE明即可得；(2)當(dāng)BC與。相切時，AD是直徑，根據(jù)/C=45°、AC= J2可得AD=1 ,利用圓的面積 公式可得答案.詳解：(1)如圖，AB=AC, /BAC=90°,，/C=45°.又AD，BC, AB=AC,/ 1= 1 / BAG45 ； BD=CD, / ADC=90 ：2又 / BAC=90 °, BD=CD,. AD=CD.又/EAF=90 ：EF是。的直徑，./EDF=90

23、： . . / 2+/4=90又 /3+/4=90 °, ，/2=/3.在 ADE和 CDF中.1 CAD CD ,AADEACDF (ASA).2 3(2)當(dāng)BC與。相切時，AD是直徑.在 RtADC中，Z C=45 °, AC=£ ,.sin/仁也，AD=ACsinZ C=1,，OO的半徑為工，OO的面積為 .AC24點睛：本題主要考查圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、全等 三角形的判定與性質(zhì)、與圓有關(guān)的位置關(guān)系等知識點.8.如圖，已知。的半徑為1, PQ是。的直徑，n個相同的正三角形沿 PQ排成一列, 所有正三角形都關(guān)于 PQ對稱，其中

24、第一個 AiBiCi的頂點Ai與點P重合，第二個 A2B2Q的頂點A2是BiCi與PQ的交點，最后一個AnBnCn的頂點Bn、Cn在圓上.如圖1,當(dāng)n=i時，正三角形的邊長 ai=；如圖2,當(dāng)n=2時，正三角形的邊長a2=;如圖3,正三角形的邊長 an= (用含n的代數(shù)式表示).圖1圖2圖3【答案】.38 ,3 也3i3 i 3n2【解析】分析：(1)設(shè)PQ與BiCi交于點D,連接BQ ,得出OD=AiD-OA,用含a1的代數(shù)式表 示。D,在AOBiD中，根據(jù)勾股定理求出正三角形的邊長 4； (2)設(shè)PQ與B2 c2交于 點E,連接B2。，得出OE=AiE-OAi,用含a2的代數(shù)式表示 OE,

25、在AOBzE中，根據(jù)勾股 定理求出正三角形的邊長a2；(3)設(shè)PQ與BnCn交于點F,連接Bn。，得出OF=AF-OAi,用含an的代數(shù)式表示 OF,在4。8口5中，根據(jù)勾股定理求出正三角形的邊長an.本題解析：3(i)易知AiBiCi的圖為一，則邊長為 百，2ai = 32 .(2)設(shè)AiBiCi的高為h,則A2O=i-h,連結(jié)B2O,設(shè)B2c2與PQ交于點F,則有OF= 2h i.2B2O2=OF2+ B2F2, .i=(2h-i)2+ 二a22h= -3-a2,i= ( 43 a2 i)2+ a22,解得a2=典.i3(3)同(2),連結(jié) Bn。，設(shè) BnCn 與 PQ 交于點 F,則有

26、 BnO2= OF2+BnF2,2i即 i = (nhi)2+，an.2h -3ah = an2解得an= 4/n . 3n 119 .如圖1,延長。的直徑AB至點C,使得BC=,AB,點P是。上半部分的一個動點 (點P不與A、B重合)，連結(jié) OP, CP.(1) /C的最大度數(shù)為；(2)當(dāng)。的半徑為3時，4OPC的面積有沒有最大值？若有，說明原因并求出最大值； 若沒有，請說明理由；(3)如圖2,延長PO交。于點D,連結(jié)DB,當(dāng)CP=DB時，求證：CP是。的切線.圖1©2【答案】(1)30。；(2)有最大值為9,理由見解析；(3)證明見解析.【解析】試題分析：(1)當(dāng)PC與。相切時，

27、/OCP的度數(shù)最大，根據(jù)切線的性質(zhì)即可求得；(2)由4OPC的邊OC是定值，得到當(dāng) OC邊上的高為最大值時，4OPC的面積最大，當(dāng)P0± OC時，取得最大值，即此時 OC邊上的高最大，于是得到結(jié)論；(3)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=DB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到 /A=/C,得到CO=OB+OB=AB推出AP®4CPQ根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 / CPO=/ APB,根據(jù)圓周 角定理得到/APB=90,即可得到結(jié)論.試題解析：(1)當(dāng)PC與。相切時，/OCP最大.如圖1,所示：sin Z OCP= = = , - Z OCP=30OC 4 2 / OCP的最大度數(shù)為 30

28、 °,故答案為：30。；(2)有最大值，理由： OPC的邊OC是定值，當(dāng)OC邊上的高為最大值時， OPC的面積最大， 而點P在。上半圓上運動，當(dāng) POXOC時，取得最大值，即此時 OC邊上的高最大， 也就是高為半徑長，最大值Saopc=工OC?OP=_ X 6X 3=922(3)連結(jié)AP, BP,如圖2,OA OD在AOAP與 AOBD 中，AOP BOD ,AOAPAOBD), . . AP=DB,OP OB .PC=DB, ，AP=PC , PA=PC/ A=Z C, .BC=1AB=OB,，CO=OB+OB=AB 2AP CP在 AAPB 和 ACPO 中，A C , AAPB

29、ACPO, . / CPO=/ APB,AB CO . AB 為直徑，/ APB=90 ,°/ CPO=90 ; PC切。O于點P,即CP是。的切線.圖L卻10. (1)問題背景如圖，BC是。O的直徑，點 A在。O上，AB=AC, P為BmC上一動點(不與 B, C重合),求證： 2 PA=PB+PC小明同學(xué)觀察到圖中自點 A出發(fā)有三條線段 AB, AP, AC,且AB=AQ這就為旋轉(zhuǎn)作了鋪墊.于是，小明同學(xué)有如下思考過程：第一步：將APAC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至4QAB (如圖)；第二步：證明Q, B, P三點共線，進而原題得證.請你根據(jù)小明同學(xué)的思考過程完成證明過程

30、.(2)類比遷移如圖，。的半徑為3,點A, B在。O上，C為。內(nèi)一點，AB=AC, AB± AC,垂足為 A,求OC的最小值.(3)拓展延伸4如圖，。的半徑為3,點A, B在。O上，C為。內(nèi)一點，AB=- AC, ABXAC,垂足為A,則OC的最小值為圜里圖【答案】（1）證明見解析；（2） OC最小值是3g-3； （3）-【解析】試題分析：（1）將PAC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90。至4QAB （如圖），只要證明4APQ 是等腰直角三角形即可解決問題；（2）如圖中，連接 OA,將4OAC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°AQAB,連接OB, OQ,在 BOQ中，利用三邊關(guān)系定理即可解決問題；

31、（3）如圖構(gòu)造相似三角形即可解決問題.作AQXOA,使得AQ=4OA,連接OQ,3BQ, OB.由QABsOAC,推出 BQ=4OC,當(dāng) BQ最小時，OC最小；3試題解析：（1）將APAC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至4QAB （如圖）；能 BC是直徑，/ BAC=90 ； AB=AC,/ ACB=/ ABC=45 ,°由旋轉(zhuǎn)可得 / QBA=Z PCA, / ACB=Z APB=45 , PC=QB . /PCA+/ PBA=180 , ° / QBA+/PBA=180 , ° . Q, B, P三點共線， / QAB+Z BAP=Z BAP+Z PAC=

32、90QP2=AP2+AQ2=2AP2, .QP= , 2 AP=QB+BP=PC+PB 2 AP=PC+PB(2)如圖中，連接 OA,將4OAC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°AQAB,連接OB, OQ,圖 .ABIAC/. / BAC=90 , °由旋轉(zhuǎn)可得QB=OC, AQ=OA, / QAB=Z OAC,/ QAB+Z BAO=Z BAO+Z OAC=90 ,在 RtOAQ 中，OQ=3T2, AO=3, .在 4OQB 中，BO OQ- OB=3& - 3 ,即OC最小彳t是372 -3；(3)如圖中，作AQ±OA,使得AQ=4oA,連接OQ, BQ, OB

33、.3 / QAO=/ BAC=90 ,° / QAB=/ OAC, QA AB =4 ，OA AC 34 QABsOAC,BQ=-OC,3當(dāng) BQ最小時，OC最小，易知 OA=3, AQ=4, OQ=5, BOOQ- OB, .,.002,.BQ的最小值為2,1- OC的最小值為- X 2=-,42.3故答案為3.2【點睛】本題主要考查的圓、旋轉(zhuǎn)、相似等知識，能根據(jù)題意正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵.11.如圖1,四邊形ABCD為。O內(nèi)接四邊形，連接 AC、CQ BO,點C為弧BD的中點.(1)求證：/ DAC=Z ACO+-Z ABO;(2)如圖2,點E在OC上，連接EB,延長CO交

34、AB于點F,若/ DAB=/ OBA+/ EBA求證：EF=EB(3)在(2)的條件下，如圖 3,若OE+EB=AB CE=2, AB=13,求AD的長.圖2道13【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3) AD=7.【解析】試題分析：(1)如圖1中，連接 OA,只要證明/CAB=/ 1 + /2=/ACO+/ABO,由點C是?D 中點，推出 Cd Cb ,推出 / BAC=/ DAC,即可推出 /DAC=/ ACO+Z ABO;(2)想辦法證明/EFB=Z EBF即可；(3)如圖3中，過點 O作OH, AB,垂足為H,延長BE交HO的延長線于 G,作BNXCF 于N,作CK AD于K

35、,連接OA/CT/ XABTT.首先證明4EFB是等邊三角形，再證 明 AC右 ACT, RtA DK( RBTC,延長即可解決問題；試題解析：(1)如圖1中，連接OA, .OA=OC, ，/1 = /ACO,. OA=OB, .1. Z2=Z ABO, uuur » juuin丁點c是bd中點，CD/ CAB=Z 1+/ 2=/ ACO+Z ABO,uuuCB ， 1 / BAC=Z DAC,/ DAC=Z ACO+Z ABO.卻(2)如圖2中, / BAD=Z BAC+Z DAC=2/ CAB, / COB=2/ BAC,/ BAD=Z BOC, / DAB=Z OBA+Z EB

36、A,. / BOC=Z OBA+Z EBA,/ EFB=Z EBF,EF=EB(3)如圖3中，過點 O作OHU AB,垂足為H,延長BE交HO的延長線于 G,作BNXCF 于 N,作 Ch AD 于 K,連接 OA. CC CT/ LAB 于 T.圖3 / EBA+Z G=90 ； C CFB+Z HOF=90 ； / EFB=Z EBF,/ G=Z HOF, / HOF=Z EOG,/ G=Z EOG,. EG=EQ .OHXAB,AB=2HB, . OE+EB=AB GE+EB=2HB ，GB=2HB,- HB 1 cosZ GBA= -，. ./GBA=60 ,GB 2 .EFB是等邊三

37、角形，設(shè) HF=a, / FOH=30 ,° OF=2FH=2a. AB=13,EF=EB=FB=FH+BH=a13 ,2 .OE=EF- OF=FB- OF=13 - a,2OB=OC=OE+EC=3 - a+2=17 -a,221332a， . NE=1EF=1 a+13 , 224 .ON=OE=EN=( 13 - a) 2 . BO2 - on2=eb2- en2,3a) 2=(a+旦 22（2若）2,解得a=3或-10 （舍棄）2.OE=5, EB=8, OB=7, . /K=/ ATC=90 , ° Z KAC=Z TAG AC=AQAACKAACT, . CK

38、=CT AK=AT,ULU UUU.CD CB，'DC=BCRtA DKG RtBTG . . DK=BT,. FT=1FC=5,DK=TB=FB- FT=3,AK=AT=AB- TB=10,AD=AK- DK=10- 3=7.212.如圖，AB是。的直徑，D> D為。上兩點，CF± AB于點F, CE!AD交AD的延長 線于點E,且CE=CF.（1）求證：CE是。的切線；連接CD CB,若AD=CD=a求四邊形 ABCD面積.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）連接OC, AC,可先證明 AC平分/BAE,結(jié)合圓的性質(zhì)可證明 OC/ AE,可得Z O

39、CB=90°,可證得結(jié)論；（2）可先證得四邊形 AOCD為平行四邊形，再證明 OCB為等邊三角形，可求得 CRAB,利用梯形的面積公式可求得答案.【詳解】(1)證明：連接OC, AC.,. CU AB, CH AD,且 CE= CF./ CAE= / CAB.1 .OC= OA,/ CAB= / OCA./ CAE= / OCA.2 .OC/ AE.3 / OC斗 Z AEC= 180 ；/ AEC= 90 ；/ OCE= 90 即 OCX CE.OC是。O的半徑，點C為半徑外端, .CE是。O的切線.(2)解：. AD=CD, ./DAC=/DCA=/CAB, .DC/AB, /

40、CAE= / OCA, .OC/ AD,四邊形AOCD是平行四邊形， .OC= AD= a, AB= 2a, / CAE= / CAB,CD= CB= a, .CB= OC= OB, .OCB是等邊三角形， 在 RtA CFB 中，CF=CR J 廣辟二,1.S 四邊形 ABCD-n(DC+ AB) ?CF= 【點睛】本題主要考查切線的判定，掌握切線的兩種判定方法是解題的關(guān)鍵，即有切點時連接圓心 和切點，然后證明垂直，沒有切點時，過圓心作垂直，證明圓心到直線的距離等于半徑.13.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點 A (2, 0),點B (0, 20),點O (0, 0) . AAOBa.繞著O順時針

41、旋轉(zhuǎn)，得 A'OB',點A、B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為 A', B',記旋轉(zhuǎn)角為圖L阿Z(I )如圖1, AB恰好經(jīng)過點A時，求此時旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)，并求出點 B'的坐標(biāo)；(II )如圖2,若0°v av90°,設(shè)直線 AA'和直線BB'交于點P,求證：AAUBB'；(出)若0°< a< 360°,求(n )中的點P縱坐標(biāo)的最小值(直接寫出結(jié)果即可).【答案】(I ) “= 60。，B' (3,73) ; ( n)見解析；(出)點P縱坐標(biāo)的最小值為目-2.【解析】【分析】(I )作

42、輔助線，先根據(jù)點A (2,0),點B (02.3)，確定/ABO= 300證明4AOA是等邊三 角形，得旋轉(zhuǎn)角“=60。,證明ACOB是30。的直角三角形，可得B'的坐標(biāo)；(II )依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得 / BOB'= / AOA'= "OB= OB',OA= OA',即可得出 / OBB'= / OA'A 11=-(180 - a),再根據(jù)/BOA'= 90° +網(wǎng)邊形OBPA的內(nèi)角和為360°,即可得到/ BPA'= 90°,即 AA'XBB'II(出)作AB的中點

43、M (I,、？)，連接MP,依據(jù)點P的軌跡為以點 M為圓心，以MP、AB=2為半徑的圓，即可得到當(dāng)PM/y軸時點P縱坐標(biāo)的最小值為2.【詳解】解：(I )如圖1,過B作B'C±x軸于C,圖工 . OA=2,OB= 2'S,/AOB= 90 :/ ABO= 30 ；/ BAO= 60 ,由旋轉(zhuǎn)得：OA= OA', / A'= / BAO= 60°, . OAA，是等邊三角形， a= Z AOA'= 60 : . OB=OB'=2d COB'= 90 - 60 = 30 ；11 " B'C= OB =,.

44、OC=3, .B' (3,昌)，(n )證明：如圖 2,/ BOB'=/AOA'= "OB= OB',OA = OA',11 . / OBB'=/OA'A=? (180 -6,/ BOA'= 90 ° ©邊形 OBPA'的內(nèi)角和為 360 : / BPA'= 360 - ( 180 - a) ( 90 ° +即 90 ；即 AA'XBB'A,（出）點P縱坐標(biāo)的最小值為序-2.理由是: 如圖，作AB的中點M （1入出），連接MP, / APB= 90 ,2,必)

45、111.點P的軌跡為以點 M為圓心，以MP=9AB= 2為半徑的圓，除去點.當(dāng)PM±x軸時，點P縱坐標(biāo)的最小值為 昌-2.【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角 和以及圓周角定理的綜合運用 ，解決問題的關(guān)鍵是判斷點 P的軌跡為以點 M為圓心，以MP 為半徑的圓.14.如圖，4ABC中，ZACB= 90°, /A=30： AB=6. D是線段AC上一個動點(不與點A重合)，OD與AB相切，切點為 E, OD交時線,DC于點F,過F作FG± EF交克線,BC于 點G,設(shè)。D的半徑為r.(1)求證 AE= EF;(2)當(dāng)。D與直線BC相切時，求r的值；(3)當(dāng)點G落在。D內(nèi)部時，直接寫出r的取值范圍.【答案】(1)見解析，(2)r=3,(3) 3 r 6-5(1)連接 DE,貝U / ADE