小升初考試數(shù)學知識點匯總

1、  (1)平均數(shù)問題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。解題關鍵：在于確定總數(shù)量和與之相對應的總份數(shù)。算術平均數(shù)：已知幾個不相等的同類量和與之相對應的份數(shù)，求平均每份是多少。數(shù)量關系式：數(shù)量之和÷數(shù)量的個數(shù)=算術平均數(shù)。加權平均數(shù)：已知兩個以上若干份的平均數(shù)，求總平均數(shù)是多少。數(shù)量關系式 (部分平均數(shù)×權數(shù))的總和÷(權數(shù)的和)=加權平均數(shù)。差額平均數(shù)：是把各個大于或小于標準數(shù)的部分之和被總份數(shù)均分，求的是標準數(shù)與各數(shù)相差之和的平均數(shù)。數(shù)量關系式：(大數(shù)-小數(shù))÷2=小數(shù)應得數(shù) 最大數(shù)與各數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最大數(shù)應給數(shù)最大數(shù)與個數(shù)之

2、差的和÷總份數(shù)=最小數(shù)應得數(shù)。例1：一輛汽車以每小時 100 千米 的速度從甲地開往乙地，又以每小時 60 千米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。分 析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設為“ 1 ”，則汽車行駛的總路程為“ 2 ”，從甲地到乙地的速度為 100 ， 所用的時間為 ，汽車從乙地到甲地速度為 60 千米 ，所用的時間是 ，汽車共行的時間為 + = , 汽車的平均速度 為 2 ÷ =75 (千米)(2) 歸一問題：已知相互關聯(lián)的兩個量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變，其變化的規(guī)律是相同的，這種問題稱之為歸一問題。根據求“

3、單一量”的步驟的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題，兩次歸一問題。根據球癡單一量之后，解題采用乘法還是除法，歸一問題可以分為正歸一問題，反歸一問題。一次歸一問題，用一步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一?！眱纱螝w一問題，用兩步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一。”正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用乘法計算結果的歸一問題。反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計算結果的歸一問題。解題關鍵：從已知的一組對應量中用等分除法求出一份的數(shù)量(單一量)，然后以它為標準，根據題目的要求算出結果。數(shù)量關系式：單一量×份數(shù)=總數(shù)量(正歸一)總數(shù)量

4、7;單一量=份數(shù)(反歸一)例2 一個織布工人，在七月份織布 4774 米 ， 照這樣計算，織布 6930 米 ，需要多少天?分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。 693 0 ÷( 477 4 ÷ 31 ) =45 (天)(3)歸總問題：是已知單位數(shù)量和計量單位數(shù)量的個數(shù)，以及不同的單位數(shù)量(或單位數(shù)量的個數(shù))，通過求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個數(shù)(或單位數(shù)量)。特點：兩種相關聯(lián)的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不過變化的規(guī)律相反，和反比例算法彼此相通。數(shù)量關系式：單位數(shù)量×單位個數(shù)÷另一個單位數(shù)量 = 另一個單位數(shù)量單位數(shù)量×單位

5、個數(shù)÷另一個單位數(shù)量= 另一個單位數(shù)量。例 修一條水渠，原計劃每天修 800 米 ， 6 天修完。實際 4 天修完，每天修了多少米?分析：因為要求出每天修的長度，就必須先求出水渠的長度。所以也把這類應用題叫做“歸總問題”。不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。 80 0 × 6 ÷ 4=1200 (米)(4) 和差問題：已知大小兩個數(shù)的和，以及他們的差，求這兩個數(shù)各是多少的應用題叫做和差問題。解題關鍵：是把大小兩個數(shù)的和轉化成兩個大數(shù)的和(或兩個小數(shù)的和)，然后再求另一個數(shù)。解題規(guī)律：(和+差)÷2 = 大數(shù) 大數(shù)-

6、差=小數(shù)(和-差)÷2=小數(shù) 和-小數(shù)= 大數(shù)例3 某加工廠甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要臨時從乙班調 46 人到甲班工作，這時乙班比甲班人數(shù)少 12 人，求原來甲班和乙班各有多少人?分 析：從乙班調 46 人到甲班，對于總數(shù)沒有變化，現(xiàn)在把乙數(shù)轉化成 2 個乙班，即 9 4 - 12 ，由此得到現(xiàn)在的乙班是 ( 9 4 - 12 )÷ 2=41 (人)，乙班在調出 46 人之前應該為 41+46=87 (人)，甲班為 9 4 - 87=7 (人)(5)和倍問題：已知兩個數(shù)的和及它們之間的倍數(shù) 關系，求兩個數(shù)各是多少的應用題，叫做和倍問題。解題關鍵：找準標準數(shù)(即

7、1倍數(shù))一般說來，題中說是“誰”的幾倍，把誰就確定為標準數(shù)。求出倍數(shù)和之后，再求出標準的數(shù)量是多少。根據另一個數(shù)(也可能是幾個數(shù))與標準數(shù)的倍數(shù)關系，再去求另一個數(shù)(或幾個數(shù))的數(shù)量。解題規(guī)律：和÷倍數(shù)和=標準數(shù) 標準數(shù)×倍數(shù)=另一個數(shù)例:汽車運輸場有大小貨車 115 輛，大貨車比小貨車的 5 倍多 7 輛，運輸場有大貨車和小汽車各有多少輛?分析：大貨車比小貨車的 5 倍還多 7 輛，這 7 輛也在總數(shù) 115 輛內，為了使總數(shù)與( 5+1 )倍對應，總車輛數(shù)應( 115-7 )輛 。列式為( 115-7 )÷( 5+1 ) =18 (輛)， 18 ×

8、5+7=97 (輛)(6)差倍問題：已知兩個數(shù)的差，及兩個數(shù)的倍數(shù)關系，求兩個數(shù)各是多少的應用題。解題規(guī)律：兩個數(shù)的差÷(倍數(shù)-1 )= 標準數(shù) 標準數(shù)×倍數(shù)=另一個數(shù)。例 甲乙兩根繩子，甲繩長 63 米 ，乙繩長 29 米 ，兩根繩剪去同樣的長度，結果甲所剩的長度是乙繩 長的 3 倍，甲乙兩繩所剩長度各多少米? 各減去多少米?分 析：兩根繩子剪去相同的一段，長度差沒變，甲繩所剩的長度是乙繩的 3 倍，實比乙繩多( 3-1 )倍，以乙繩的長度為標準數(shù)。列式 ( 63-29 )÷( 3-1 ) =17 (米)乙繩剩下的長度， 17 × 3=51 (米)甲繩

9、剩下的長度， 29-17=12 (米)剪 去的長度。(7)行程問題：關于走路、行車等問題，一般都是計算路程、時間、速度，叫做行程問題。解答這類問題首先要搞清楚速度、時間、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他們之間的關系，再根據這類問題的規(guī)律解答。解題關鍵及規(guī)律：同時同地相背而行：路程=速度和×時間。同時相向而行：相遇時間=速度和×時間同時同向而行(速度慢的在前，快的在后)：追及時間=路程速度差。同時同地同向而行(速度慢的在后，快的在前)：路程=速度差×時間。例 甲在乙的后面 28 千米 ，兩人同時同向而行，甲每小時行 16 千米 ，乙每小時行 9 千米 ，甲

10、幾小時追上乙?分析：甲每小時比乙多行( 16-9 )千米，也就是甲每小時可以追近乙( 16-9 )千米，這是速度差。已知甲在乙的后面 28 千米 (追擊路程)， 28 千米 里包含著幾個( 16-9 )千米，也就是追擊所需要的時間。列式 2 8 ÷ ( 16-9 ) =4 (小時)(8)流水問題：一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型，它也是一種和差問題。它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。船速：船在靜水中航行的速度。水速：水流動的速度。順水速度：船順流航行的速度。逆水速度：船逆流航行的速度。順速=船速+水速逆速=船速-水速解題關鍵：因為順流

11、速度是船速與水速的和，逆流速度是船速與水速的差，所以流水問題當作和差問題解答。 解題時要以水流為線索。解題規(guī)律：船行速度=(順水速度+ 逆流速度)÷2流水速度=(順流速度逆流速度)÷2路程=順流速度× 順流航行所需時間路程=逆流速度×逆流航行所需時間例 一只輪船從甲地開往乙地順水而行，每小時行 28 千米 ，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比順水多行 2 小時，已知水速每小時 4 千米。求甲乙兩地相距多少千米?分 析：此題必須先知道順水的速度和順水所需要的時間，或者逆水速度和逆水的時間。已知順水速度和水流 速度，因此不難算出逆水的速度，但順水所用的

12、時間，逆 水所用的時間不知道，只知道順水比逆水少用 2 小時，抓住這一點，就可以就能算出順水從甲地到乙地的所用的時間，這樣就能算出甲乙兩地的路程。列式 為 284 × 2=20 (千米) 2 0 × 2 =40 (千米) 40 ÷( 4 × 2 ) =5 (小時) 28 × 5=140 (千 米)。(9) 還原問題：已知某未知數(shù)，經過一定的四則運算后所得的結果，求這個未知數(shù)的應用題，我們叫做還原問題。解題關鍵：要弄清每一步變化與未知數(shù)的關系。解題規(guī)律：從最后結果 出發(fā)，采用與原題中相反的運算(逆運算)方法，逐步推導出原數(shù)。根據原題的運算順序列出

13、數(shù)量關系，然后采用逆運算的方法計算推導出原數(shù)。解答還原問題時注意觀察運算的順序。若需要先算加減法，后算乘除法時別忘記寫括號。例 某小學三年級四個班共有學生 168 人，如果四班調 3 人到三班，三班調 6 人到二班，二班調 6 人到一班，一班調 2 人到四班，則四個班的人數(shù)相等，四個班原有學生多少人?分析：當四個班人數(shù)相等時，應為 168 ÷ 4 ，以四班為例，它調給三班 3 人，又從一班調入 2 人，所以四班原有的人數(shù)減去 3 再加上 2 等于平均數(shù)。四班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-2+3=43 (人)一班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-6+2=38 (人)

14、;二班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-6+6=42 (人) 三班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-3+6=45 (人)。(10)植樹問題：這類應用題是以“植樹”為內容。凡是研究總路程、株距、段數(shù)、棵樹四種數(shù)量關系的應用題，叫做植樹問題。解題關鍵：解答植樹問題首先要判斷地形，分清是否封閉圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹，然后按基本公式進行計算。解題規(guī)律：沿線段植樹棵樹=段數(shù)+1 棵樹=總路程÷株距+1株距=總路程÷(棵樹-1) 總路程=株距×(棵樹-1)沿周長植樹棵樹=總路程÷株距株距=總路程÷棵樹總路程=株距×

15、;棵樹例 沿公路一旁埋電線桿 301 根，每相鄰的兩根的間距是 50 米 。后來全部改裝，只埋了201 根。求改裝后每相鄰兩根的間距。分析：本題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數(shù)減掉一。列式為 50 ×( 301-1 )÷( 201-1 ) =75 (米)(11)盈虧問題：是在等分除法的基礎上發(fā)展起來的。 他的特點是把一定數(shù)量的物品，平均分配給一定數(shù)量的人，在兩次分配中，一次有余，一次不足(或兩次都有余)，或兩次都不足)，已知所余和不足的數(shù)量，求物品適量和參加分配人數(shù)的問題，叫做盈虧問題。解題關鍵：盈虧問題的解法要點是先求兩次分配中分配者沒份所得物品數(shù)量的差，再求兩次分配中

16、各次共分物品的差(也稱總差額)，用前一個差去除后一個差，就得到分配者的數(shù)，進而再求得物品數(shù)。解題規(guī)律：總差額÷每人差額=人數(shù)總差額的求法可以分為以下四種情況：第一次多余，第二次不足，總差額=多余+ 不足第一次正好，第二次多余或不足 ，總差額=多余或不足第一次多余，第二次也多余，總差額=大多余-小多余第一次不足，第二次也不足， 總差額= 大不足-小不足例 參加美術小組的同學，每個人分的相同的支數(shù)的色筆，如果小組 10 人，則多 25 支，如果小組有 12 人，色筆多余 5 支。求每人 分得幾支?共有多少支色鉛筆?分 析：每個同學分到的色筆相等。這個活動小組有 12 人，比 10 人多

17、2 人，而色筆多出了( 25-5 ) =20 支 ， 2 個人多 出 20 支，一個人分得 10 支。列式為( 25-5 )÷( 12-10 ) =10 (支) 10 × 12+5=125 (支)。(12)年齡問題：將差為一定值的兩個數(shù)作為題中的一個條件，這種應用題被稱為“年齡問題”。解題關鍵：年齡問題與和差、和倍、 差倍問題類似，主要特點是隨著時間的變化，年歲不斷增長，但大小兩個不同年齡的差是不會改變的，因此，年齡問題是一種“差不變”的問題，解題時，要善于利用差不變的特點。例 父親 48 歲，兒子 21 歲。問幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍?分 析：父子的年齡差為 48

18、-21=27 (歲)。由于幾年前父親年齡是兒子的 4 倍，可知父子年齡的倍數(shù)差是( 4-1 )倍。這樣可以算出幾年前父子 的年齡，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍。列式為： 21( 48-21 )÷( 4-1 ) =12 (年)(13)雞兔問題：已知“雞兔”的總頭數(shù)和總腿數(shù)。求“雞”和“兔”各多少只的一類應用題。通常稱為“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題。解題關鍵：解答雞兔問題一般采用假設法，假設全是一種動物(如全是“雞”或全是“兔”，然后根據出現(xiàn)的腿數(shù)差，可推算出某一種的頭數(shù)。解題規(guī)律：(總腿數(shù)-雞腿數(shù)×總頭數(shù))÷一只雞兔腿數(shù)的差=兔子只數(shù)兔子只數(shù)=(總腿

19、數(shù)-2×總頭數(shù))÷2如果假設全是兔子，可以有下面的式子：雞的只數(shù)=(4×總頭數(shù)-總腿數(shù))÷2兔的頭數(shù)=總頭數(shù)-雞的只數(shù)例 雞兔同籠共 50 個頭， 170 條腿。問雞兔各有多少只?兔子只數(shù) ( 170-2 × 50 )÷ 2 =35 (只)雞的只數(shù) 50-35=15 (只)數(shù)學加整理小學奧數(shù)31道題（重點題型） 工程問題    1甲乙兩個水管單獨開，注滿一池水，分別需要20小時，16小時.丙水管單獨開，排一池水要10小時，若水池沒水，同時打開甲乙兩水管，5小時后，再打開排水管丙，問水池注滿還是要

20、多少小時？    解：1/20+1/169/80表示甲乙的工作效率 9/80×545/80表示5小時后進水量 1-45/8035/80表示還要的進水量 35/80÷（9/80-1/10）35表示還要35小時注滿答：5小時后還要35小時就能將水池注滿。    2修一條水渠，單獨修，甲隊需要20天完成，乙隊需要30天完成。如果兩隊合作，由于彼此施工有影響，他們的工作效率就要降低，甲隊的工作效率是原來的五分之四，乙隊工作效率只有原來的十分之九?，F(xiàn)在計劃16天修完這條水渠，且要求兩隊合作的天數(shù)盡可能少，

21、那么兩隊要合作幾天？    解：由題意知，甲的工效為1/20，乙的工效為1/30，甲乙的合作工效為1/20*4/5+1/30*9/107/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。又因為，要求“兩隊合作的天數(shù)盡可能少”，所以應該讓做的快的甲多做，16天內實在來不及的才應該讓甲乙合作完成。只有這樣才能“兩隊合作的天數(shù)盡可能少”。 設合作時間為x天，則甲獨做時間為（16-x）天 1/20*（16-x）+7/100*x1 x10答：甲乙最短合作10天    3一件工作，甲、乙合做需4小時完成，乙、丙合做需

22、5小時完成?，F(xiàn)在先請甲、丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成。乙單獨做完這件工作要多少小時？    解：由題意知，1/4表示甲乙合作1小時的工作量，1/5表示乙丙合作1小時的工作量 （1/4+1/5）×29/10表示甲做了2小時、乙做了4小時、丙做了2小時的工作量。根據“甲、丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成”可知甲做2小時、乙做6小時、丙做2小時一共的工作量為1。所以19/101/10表示乙做6-42小時的工作量。1/10÷21/20表示乙的工作效率。 1÷1/2020小時表示乙單獨完成需要20小時。答：乙單獨完

23、成需要20小時。    4一項工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這樣交替輪流做，那么恰好用整數(shù)天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，這樣交替輪流做，那么完工時間要比前一種多半天。已知乙單獨做這項工程需17天完成，甲單獨做這項工程要多少天完成？    解：由題意可知，1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+1/甲1 1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+1/甲×0.51（1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后結束必須如上所示，否則第二種做法就不比第一種多0.

24、5天） 1/甲1/乙+1/甲×0.5（因為前面的工作量都相等） 得到1/甲1/乙×2 又因為1/乙1/17所以1/甲2/17，甲等于17÷28.5天答：甲單獨做這項工程要8.5天完成。    5師徒倆人加工同樣多的零件。當師傅完成了1/2時，徒弟完成了120個。當師傅完成了任務時，徒弟完成了4/5這批零件共有多少個？    答案為300個 120÷（4/5÷2）300個 可以這樣想：師傅第一次完成了1/2，第二次也是1/2，兩次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了

25、4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5，剛好是120個。      6一批樹苗，如果分給男女生栽，平均每人栽6棵；如果單份給女生栽，平均每人栽10棵。單份給男生栽，平均每人栽幾棵？    答案是15棵 算式：1÷（1/6-1/10）15棵    7一個池上裝有3根水管。甲管為進水管，乙管為出水管，20分鐘可將滿池水放完，丙管也是出水管，30分鐘可將滿池水放完。現(xiàn)在先打開甲管，當水池水剛溢出時，打開乙,丙兩管用了18分鐘放完，當打開甲管注滿水是，

26、再打開乙管，而不開丙管，多少分鐘將水放完？    答案為45分鐘。 1÷（1/20+1/30）12 表示乙丙合作將滿池水放完需要的分鐘數(shù)。1/12*（18-12）1/12*61/2 表示乙丙合作將漫池水放完后，還多放了6分鐘的水，也就是甲18分鐘進的水。 1/2÷181/36 表示甲每分鐘進水 最后就是1÷（1/20-1/36）45分鐘。    8某工程隊需要在規(guī)定日期內完成，若由甲隊去做，恰好如期完成，若乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，恰好如期完

27、成，問規(guī)定日期為幾天？答案為6天    解：由“若乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，恰好如期完成，”可知：乙做3天的工作量甲2天的工作量 即：甲乙的工作效率比是3：2甲、乙分別做全部的的工作時間比是2：3 時間比的差是1份 實際時間的差是3天 所以3÷（3-2）×26天，就是甲的時間，也就是規(guī)定日期 方程方法：1/x+1/（x+2）×2+1/（x+2）×（x-2）1 解得x6雞兔同籠問題    9雞與兔共100只,雞的腿數(shù)比兔的腿數(shù)少28條

28、,問雞與兔各有幾只?    解：4*100400，400-0400 假設都是兔子，一共有400只兔子的腳，那么雞的腳為0只，雞的腳比兔子的腳少400只。400-28372 實際雞的腳數(shù)比兔子的腳數(shù)只少28只，相差372只，這是為什么？4+26 這是因為只要將一只兔子換成一只雞，兔子的總腳數(shù)就會減少4只（從400只變?yōu)?96只），雞的總腳數(shù)就會增加2只（從0只到2只），它們的相差數(shù)就會少4+26只（也就是原來的相差數(shù)是400-0400，現(xiàn)在的相差數(shù)為396-2394，相差數(shù)少了400-3946） 372÷662 表示雞的只數(shù)，也就是說因為假設中的

29、100只兔子中有62只改為了雞，所以所以腳的相差數(shù)從400改為28，一共改了372只 100-6238表示兔的只數(shù) 。數(shù)與數(shù)位問題    10把1至2005這2005個自然數(shù)依次寫下來得到一個多位數(shù)123456789.2005,這個多位數(shù)除以9余數(shù)是多少?    解：首先研究能被9整除的數(shù)的特點：如果各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那么這個數(shù)也能被9整除；如果各個位數(shù)字之和不能被9整除，那么得的余數(shù)就是這個數(shù)除以9得的余數(shù)。 解題：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除  &#

30、160; 依次類推：11999這些數(shù)的個位上的數(shù)字之和可以被9整除    1019，20299099這些數(shù)中十位上的數(shù)字都出現(xiàn)了10次，那么十位上的數(shù)字之和就是10+20+30+90=450 它有能被9整除    同樣的道理，100900 百位上的數(shù)字之和為4500 同樣被9整除    也就是說1999這些連續(xù)的自然數(shù)的各個位上的數(shù)字之和可以被9整除；    同樣的道理：10001999這些連續(xù)的自然數(shù)中百位、十位、個位 上的

31、數(shù)字之和可以被9整除（這里千位上的“1”“1”的和是999，也能整除；        11A和B是小于100的兩個非零的不同自然數(shù)。求A+B分之A-B的最小值.    解：(A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B)=1-2 * B/(A+B)    前面的 1 不會變了，只需求后面的最小值，此時 (A-B)/(A+B) 最大。 對于 B / (A+B) 取最小時，(A+B)/B 取最大， 問題轉化為求 (A+B)/B

32、的最大值。    (A+B)/B =1 + A/B ，最大的可能性是 A/B =99/1 (A+B)/B =100    (A-B)/(A+B) 的最大值是：98/100    12已知A.B.C都是非0自然數(shù),A/2 + B/4 + C/16的近似值市6.4,那么它的準確值是多少?    答案為6.375或6.4375    因為A/2 + B/4 + C/168A+4B+C/166.4，

33、60;   所以8A+4B+C102.4，由于A、B、C為非0自然數(shù)，因此8A+4B+C為一個整數(shù)，可能是102，也有可能是103。    當是102時，102/166.375 當是103時，103/166.4375    13一個三位數(shù)的各位數(shù)字之和是17.其中十位數(shù)字比個位數(shù)字大1.如果把這個三位數(shù)的百位數(shù)字與個位數(shù)字對調,得到一個新的三位數(shù),則新的三位數(shù)比原三位數(shù)大198,求原數(shù).    答案為476   &#

34、160;解：設原數(shù)個位為a，則十位為a+1，百位為16-2a    根據題意列方程100a+10a+16-2a100（16-2a）-10a-a198 解得a6，則a+17 16-2a4 答：原數(shù)為476。     14一個兩位數(shù),在它的前面寫上3,所組成的三位數(shù)比原兩位數(shù)的7倍多24,求原來的兩位數(shù). 答案為24    解：設該兩位數(shù)為a，則該三位數(shù)為300+a 7a+24300+a a24    答：該兩位數(shù)為24。

35、0;   15把一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字交換后得到一個新數(shù),它與原數(shù)相加,和恰好是某自然數(shù)的平方,這個和是多少?    答案為121    解：設原兩位數(shù)為10a+b，則新兩位數(shù)為10b+a 它們的和就是10a+b+10b+a11（a+b）    因為這個和是一個平方數(shù)，可以確定a+b11 因此這個和就是11×11121    答：它們的和為121。   

36、60;16一個六位數(shù)的末位數(shù)字是2,如果把2移到首位,原數(shù)就是新數(shù)的3倍,求原數(shù).    答案為85714    解：設原六位數(shù)為abcde2，則新六位數(shù)為2abcde（字母上無法加橫線，請將整個看成一個六位數(shù)） 再設abcde（五位數(shù)）為x，則原六位數(shù)就是10x+2，新六位數(shù)就是200000+x 根據題意得，（200000+x）×310x+2 解得x85714    所以原數(shù)就是857142    17有一個四位數(shù),個位數(shù)字

37、與百位數(shù)字的和是12,十位數(shù)字與千位數(shù)字的和是9,如果個位數(shù)字與百位數(shù)字互換,千位數(shù)字與十位數(shù)字互換,新數(shù)就比原數(shù)增加2376,求原數(shù).    答案為3963    解：設原四位數(shù)為abcd，則新數(shù)為cdab，且d+b12，a+c9    根據“新數(shù)就比原數(shù)增加2376”可知abcd+2376=cdab,列豎式便于觀察 abcd 2376 cdab    根據d+b12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。 

38、60;  再觀察豎式中的個位，便可以知道只有當d3，b9；或d8，b4時成立。 先取d3，b9代入豎式的百位，可以確定十位上有進位。 根據a+c9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。 再觀察豎式中的十位，便可知只有當c6，a3時成立。 再代入豎式的千位，成立。 得到：abcd3963    再取d8，b4代入豎式的十位，無法找到豎式的十位合適的數(shù)，所以不成立。    18如果現(xiàn)在是上午的10點21分,那么在經過28799.99(一共有20個9)分鐘之后的時間將是幾點幾分? 

39、;   答案是10：20    解：（287999（20個9）+1）/60/24整除，表示正好過了整數(shù)天，時間仍然還是10：21，因為事先計算時加了1分鐘，所以現(xiàn)在時間是10：20 排列問題     19有五對夫婦圍成一圈，使每一對夫婦的夫妻二人動相鄰的排法有（ ）    A 768種 B 32種 C 24種 D 2的10次方中    解：根據乘法原理，分兩步：    

40、;第一步是把5對夫妻看作5個整體，進行排列有5×4×3×2×1120種不同的排法，但是因為是圍成一個首尾相接的圈，就會產生5個5個重復，因此實際排法只有120÷524種。    第二步每一對夫妻之間又可以相互換位置，也就是說每一對夫妻均有2種排法，總共又2×2×2×2×232種 綜合兩步，就有24×32768種。      20.若把英語單詞hello的字母寫錯了,則可能出現(xiàn)的錯誤共有 ( ) &

41、#160;  A 119種 B 36種 C 59種 D 48種    解：全排列5*4*3*2*1=120 有兩個l所以120/2=60    原來有一種正確的所以60-1=59追及問題··公式描述：式一為追及問題公式，式二為相遇問題公式。其中S1、S2為路程，v1、v2為速度，t為時間。    21慢車車長125米，車速每秒行17米，快車車長140米，車速每秒行22米，慢車在前面行駛，快車從后面追上來，那么，快車從追上慢車的車尾到完全

42、超過慢車需要多少時間？    答案為53秒    算式是（140+125)÷(22-17)=53秒    可以這樣理解：“快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車”就是快車車尾上的點追及慢車車頭的點，因此追及的路程應該為兩個車長的和。    22在300米長的環(huán)形跑道上，甲乙兩個人同時同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，兩人起跑后的第一次相遇在起跑線前幾米？    答

43、案為100米 300÷（5-4.4）500秒，表示追及時間 5×5002500米，表示甲追到乙時所行的路程 2500÷3008圈100米，表示甲追及總路程為8圈還多100米，就是在原來起跑線的前方100米處相遇。    23一個人在鐵道邊，聽見遠處傳來的火車汽笛聲后，在經過57秒火車經過她前面，已知火車鳴笛時離他1360米，(軌道是直的),聲音每秒傳340米，求火車的速度（得出保留整數(shù)）    答案為22米/秒 算式：1360÷(1360÷340+57）22米/秒&

44、#160;   關鍵理解：人在聽到聲音后57秒才車到，說明人聽到聲音時車已經從發(fā)聲音的地方行出1360÷3404秒的路程。也就是1360米一共用了4+5761秒。     24獵犬發(fā)現(xiàn)在離它10米遠的前方有一只奔跑著的野兔，馬上緊追上去，獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的動作快，獵犬跑2步的時間，兔子卻能跑3步，問獵犬至少跑多少米才能追上兔子。    答案是獵犬至少跑60米才能追上。    解：由“獵犬跑5

45、步的路程，兔子要跑9步”可知當獵犬每步a米，則兔子每步5/9米。由“獵犬跑2步的時間，兔子卻能跑3步”可知同一時間，獵犬跑2a米，兔子可跑5/9a*35/3a米。從而可知獵犬與兔子的速度比是2a：5/3a6：5，也就是說當獵犬跑60米時候，兔子跑50米，本來相差的10米剛好追完    25AB兩地,甲乙兩人騎自行車行完全程所用時間的比是4:5,如果甲乙二人分別同時從AB兩地相對行使,40分鐘后兩人相遇,相遇后各自繼續(xù)前行,這樣，乙到達A地比甲到達B地要晚多少分鐘?    答案：18分鐘  

46、60; 解：設全程為1,甲的速度為x乙的速度為y 列式40x+40y=1 x:y=5:4得x=1/72 y=1/90    走完全程甲需72分鐘,乙需90分鐘 故得解    26一船以同樣速度往返于兩地之間，它順流需要6小時；逆流8小時。如果水流速度是每小時2千米，求兩地間的距離？    答案是96千米    解：（1/6-1/8）÷21/48表示水速的分率 2÷1/4896千米，表示總路程 &#

47、160;  27快車和慢車同時從甲乙兩地相對開出，快車每小時行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢車行完全程需要8小時，求甲乙兩地的路程。    答案是198千米    解：相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3 時間比為3：4    所以快車行全程的時間為8/4*36小時 6*33198千米      28小華從甲地到乙地,3分之1騎車,3分之2乘車;從乙地返回甲地,5分之3騎車,5分

48、之2乘車,結果慢了半小時.已知,騎車每小時12千米,乘車每小時30千米,問:甲乙兩地相距多少千米?    答案是37.5千米    解：把路程看成1，得到時間系數(shù) 去時時間系數(shù)：1/3÷12+2/3÷30 返回時間系數(shù)：3/5÷12+2/5÷30 兩者之差：（3/5÷12+2/5÷30）-（1/3÷12+2/3÷30）=1/75相當于1/2小時 去時時間：1/2×（1/3÷12）÷1/75和1/2×

49、;（2/3÷30）1/75 路程：12×1/2×（1/3÷12）÷1/75+30×1/2×（2/3÷30）1/75=37.5（千米）比例問題    29甲乙兩人在河邊釣魚,甲釣了三條,乙釣了兩條,正準備吃,有一個人請求跟他們一起吃,于是三人將五條魚平分了,為了表示感謝,過路人留下10元,甲、乙怎么分？    答案：甲收8元，乙收2元。    解： “三人將五條魚平分，客人拿出10元”，可以理解為五

50、條魚總價值為30元，那么每條魚價值6元。 又因為“甲釣了三條”，相當于甲吃之前已經出資3*618元，“乙釣了兩條”，相當于乙吃之前已經出資2*612元。    而甲乙兩人吃了的價值都是10元，所以，甲還可以收回18-108元 乙還可以收回12-102元 剛好就是客人出的錢。    30一種商品，今年的成本比去年增加了10分之1，但仍保持原售價，因此，每份利潤下降了5分之2，那么，今年這種商品的成本占售價的幾分之幾？    答案是22/25   &

51、#160;最好畫線段圖思考：    把去年原來成本看成20份，利潤看成5份，則今年的成本提高1/10，就是22份，利潤下降了2/5，今年的利潤只有3份。增加的成本2份剛好是下降利潤的2份。售價都是25份。所以，今年的成本占售價的22/25。      31一個圓柱的底面周長減少25%，要使體積增加1/3，現(xiàn)在的高和原來的高度比是多少？    答案為64：27    解：根據“周長減少25”，可知周長是原來的3/4，那么半徑也是

52、原來的3/4，則面積是原來的9/16。 根據“體積增加1/3”，可知體積是原來的4/3。 體積÷底面積高 現(xiàn)在的高是4/3÷9/1664/27，也就是說現(xiàn)在的高是原來的高的64/27 或者現(xiàn)在的高：原來的高64/27：164：27火車過橋問題火車過橋問題是行程問題的一種，也有路程、速度與時間之間的數(shù)量關系，同時還涉及車長、橋長等問題。中文名過橋問題外文名Bridge problem類    型行程問題的一種數(shù)量關系路程、速度與時間之間相    關車長、橋長等問題公式編輯火車速度×時間=

53、車長+橋長（橋長+列車長）÷速度=過橋時間； （橋長+列車長）÷過橋時間=速度； 速度×過橋時間=橋、車長度之和。例題編輯1.一列火車長150米，每秒鐘行19米。全車通過長800米的大橋，需要多少時間？分析 列車過橋，就是從車頭上橋到車尾離橋止。車尾經過的距離=車長+橋長，車尾行駛這段路程所用的時間用車長與橋長和除以車速。解：（800+150）÷19=50（秒）答：全車通過長800米的大橋，需要50秒。2. 某鐵路橋長1000米，現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全過橋共用1分，整列火車完全在橋上的時間為40秒。求火車的長

54、度和速度。分析 火車從開始上橋到完全過橋共用1分，即從上橋前車尾的距離行駛到過橋后車尾距離，共用1分 。車尾經過的距離=車長+橋長，因此 ( 1000+x)60為火車每秒行駛的路程。以此類推，可列出方程并求解。解：設車身長x米。( 1000+x)60=(1000-x) / 40解得 x=200（1000+200）/60=20 m/s答：火車長度為200米，速度為20米/s。植樹問題為使其更直觀，用圖示法來說明。樹用點來表示，植樹的沿線用線來表示，這樣就把植樹問題轉化為一條非封閉或封閉的線上的“點數(shù)”與相鄰兩點間的線的段數(shù)之間的關系問題。植樹問題公式單邊植樹（兩端都植） ：距離÷間隔數(shù)

55、 +1=棵數(shù)單邊植樹（只植一端） ：距離÷間隔數(shù)=棵數(shù)單邊植樹（兩端都不植） ：距離÷間隔數(shù)1=棵數(shù)雙邊植樹（兩端都植）：（ 距離÷間隔數(shù)+1）×2=棵數(shù)雙邊植樹（只植一端）：（ 距離÷間隔數(shù)）×2=棵數(shù)雙邊植樹（兩端都不植）：（ 距離÷間隔數(shù)-1）×2=棵數(shù)循環(huán)植樹： 距離÷間隔數(shù)=棵數(shù)解釋：1 非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形:如果在非封閉線路的兩端都要植樹,那么:株數(shù)=段數(shù)+1=全長÷株距+1全長=株距×(株數(shù)1)株距=全長÷(株數(shù)1)如果在非封閉線路的一端

56、要植樹,另一端不要植樹,那么:株數(shù)=段數(shù)=全長÷株距全長=株距×株數(shù)株距=全長÷株數(shù)如果在非封閉線路的兩端都不要植樹,那么:株數(shù)=段數(shù)1=全長÷株距1全長=株距×(株數(shù)+1)株距=全長÷(株數(shù)+1)2 封閉線路上的植樹問題的數(shù)量關系如下株數(shù)=段數(shù)=全長÷株距全長=株距×株數(shù)株距=全長÷株數(shù)植樹問題書上的知識1.植樹問題是在一定的線路上，根據總路程、間隔長和棵數(shù)進行植樹的問題。專題分析一、在線段上的植樹問題可以分為以下三種情形。1、如果植樹線路的兩端都要植樹，那么植樹的棵數(shù)應比要分的段數(shù)多1，即：棵數(shù)=間隔

57、數(shù)+1。2、如果植樹線路只有一端要植樹，那么植樹的棵數(shù)和要分的段數(shù)相等，即：棵數(shù)=間隔數(shù)。3、如果植樹線路的兩端都不植樹，那么植樹的棵數(shù)比要分的段數(shù)少1，即：棵數(shù)=間隔數(shù)1。4、如果植樹路線的兩邊與兩端都植樹，那么植樹的棵數(shù)應比要分的段數(shù)多1，再乘二，即：棵樹=段數(shù)+1再乘二。二、在封閉線路上植樹，棵數(shù)與段數(shù)相等，即：棵數(shù)=間隔數(shù)。三、在正方形線路上植樹，如果每個頂點都要植樹。則棵數(shù)=（每邊的棵數(shù)1）×邊數(shù)。1 非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形：如果在非封閉線路的兩端都要植樹，那么：株數(shù)=段數(shù)+1=全長÷株距+1全長=株距×（株數(shù)1）株距=全長

58、7;（株數(shù)1）如果在非封閉線路的一端要植樹，另一端不要植樹，那么：株數(shù)=段數(shù)=全長÷株距全長=株距×株數(shù)株距=全長÷株數(shù)盈虧問題的公式（盈+虧）÷兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)（大盈小盈）÷兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)（大虧小虧）÷兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)相遇問題的公式相遇路程=速度和×相遇時間相遇時間=相遇路程÷速度和速度和=相遇路程÷相遇時間例題例1長方形場地：一個長84米，寬54米的長方形蘋果園中，蘋果樹的株距是2米，行距是3米這個蘋果園共種蘋果樹多少棵？解：解法一：一行能種多少棵？84&#

59、247;2=42(棵)|這塊地能種蘋果樹多少行？54÷3=18(行)這塊地共種蘋果樹多少棵？42×18=756(棵)如果株距、行距的方向互換，結果相同：(84÷3)×(54÷2)=28×27=756(棵)解法二：這塊地的面積是多少平方米呢？84×54=4536(平方米)一棵蘋果樹占地多少平方米呢？2×3=6(平方米)這塊地能種蘋果樹多少棵呢？4536÷6=756(棵)當長方形土地的長、寬分別能被株距、行距整除時，可用上述兩種方法中的任意一種來解；當長方形土地的長、寬不能被株距、行距整除時，就只能用第二種解

60、法來解但有些問題從表面上看，并沒有出現(xiàn)“植樹”二字，但題目實質上是反映封閉線段或不封閉線段長度、分隔點、每段長度三者之間的關系。鋸木頭問題就是典型的不封閉線段上，兩頭不植樹問題。所鋸的段數(shù)總比鋸的次數(shù)多一。上樓梯問題，就是把每上一層樓梯所需的時間看成一個時間間隔，那么： 上樓所需總時間 =（終點層起始層）×每層所需時間。而方陣隊列問題，看似與植樹問題毫不相干，實質上都是植樹問題例2直線場地：在一條公路的兩旁植樹，每隔3米植一棵，植到頭還剩3棵；每隔2.5米植一棵，植到頭還缺少37棵，求這條公路的長度。解法一：（代數(shù)解法）設一共有x棵樹【（x-3）/2-1】X3=【（x+37）/2-1

61、】X2.5x=205公路長:【（205-3）/2-1】X3=300得:公路長度為300米解法二：（算術解法）這道題可以用解盈虧問題的思路來考慮：首先，我們在兩邊起點處各栽下一棵樹，這兩棵樹與路長沒有關系，以后每栽下一棵樹，不論栽在哪一側，植樹的路線（不是路）就增加一個間距，為了簡單起見，我們按單側植樹來考慮。當按3米的間距植樹時，最后剩下3棵，也就是說植樹的路線要比路長出3個間距，3×3=9米，當按2.5米的間距植樹時，最后還缺37棵樹，也就是說植樹的路線比路短了37個間距，2.5×37=92.5米，兩次相差9+92.5=101.5米，兩次植樹的間距相差是32.5=0.5米，據此可以求出樹的棵數(shù)：（不包括起點的2棵）101.5÷0.5=203（個）知道了樹的棵數(shù)，就可以求出植樹路線的長度了：3×（2033）=600（米）或2.5×（203+37）=600（米）因為是雙側植樹，所以路長為：600÷2=300（米）綜合算式為：3×（3×3+2.5×37）÷（32.5）3÷2=300（米）或2.5×（3×