直線的交點坐標(biāo)和距離公式

1、. 備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo)2.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、會求兩條平行直線間的距離.1.兩條直線的交點坐標(biāo)一般是不單獨命題的，常作為知識點出現(xiàn)在相關(guān)的位置關(guān)系中2.兩點間距離公式是解析幾何的一個基本知識點，點到直線的距離公式是高考考查的重點，一般將這兩個知識點結(jié)合直線與圓或圓錐曲線的問題中來考查.歸納·知識整合1兩條直線的交點設(shè)兩條直線的方程為l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，則兩條直線的交點坐標(biāo)就是方程組的解，(1)若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點的坐標(biāo)；(2)若方程組無解，則兩

2、條直線無公共點，此時兩條直線平行，反之，亦成立探究1.如何用兩直線的交點判斷兩直線的位置關(guān)系.提示：當(dāng)兩條直線有一個交點時，兩直線相交；沒有交點時，兩條直線平行，有無數(shù)個交點時，兩條直線重合2距離點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2| 點P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d兩條平行線AxByC10與AxByC20間的距離d探究2.使用點到直線的距離公式和兩條平行線間的距離公式時應(yīng)注意什么.提示：使用點到直線距離公式時要注意將直線方程化為一般式使用兩條平行線間距離公式時，要將兩直線方程化為一般式且x、y的系數(shù)對應(yīng)相等自測·牛刀小試1(教材習(xí)題改編)原

3、點到直線x2y50的距離是()A1B.C2 D.解析：選Dd.2點A在x軸上，點B在y軸上，線段AB的中點M的坐標(biāo)是(3,4)，則AB的長為()A10 B5C8 D6解析：選A設(shè)A(a,0)，B(0，b)，則a6，b8，即A(6,0)，B(0,8)所以|AB|10.3若三條直線2x3y80，xy10和xby0相交于一點，則b()A1 BC2 D.解析：選B由得將其代入xby0，得b.4已知直線l1與l2：xy10平行，且l1與l2的距離是，則直線l1的方程為_解析：設(shè)直線l1的方程為xy0，則，解得1或3.即直線l1的方程為xy10或xy30.答案：xy10或xy305點(2,3)關(guān)于直線xy

4、10的對稱點是_解析：設(shè)對稱點為(a，b)，則解得答案：(4，3)兩條直線的交點問題例1(1)經(jīng)過直線l1：xy10與直線l2：xy30的交點P，且與直線l3：2xy20垂直的直線l的方程是_(2)已知兩直線l1：mx8yn0與l2：2xmy10，若l1與l2相交，則實數(shù)m，n滿足的條件是_自主解答(1)法一：由方程組解得即點P(2,1)，l3l，k，直線l的方程為y1(x2)，即x2y0.法二：直線l過直線l1和l2的交點，可設(shè)直線l的方程為xy1(xy3)0，即(1)x(1)y130.l與l3垂直，2(1)(1)0，解得.直線l的方程為xy0，即x2y0.(2)因為兩直線l1與l2相交，所

5、以當(dāng)m0時，l1的方程為y，l2的方程為x，兩直線相交，此時m，n滿足條件m0，nR；當(dāng)m0時，由兩直線相交所以，解得m±4，此時，m，n滿足條件m±4，nR.答案(1)x2y0(2)m±4，nR若將本例(1)中條件“垂直”改為“平行”，試求l的方程解：由方程組解得即點P(2，1)又ll3，即k2，故直線l的方程為y12(x2)，即2xy50.經(jīng)過兩條直線交點的直線方程的設(shè)法經(jīng)過兩相交直線A1xB1yC10和A2xB2yC20的交點的直線系方程為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(這個直線系方程中不包括直線A2xB2yC20)或m(A1xB1yC1)n(A2x

6、B2yC2)0.1設(shè)直線l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中實數(shù)k1，k2滿足k1k220.(1)證明l1與l2相交；(2)證明l1與l2的交點在橢圓2x2y21上證明：(1)反證法：假設(shè)l1與l2不相交，則l1與l2平行，則有k1k2，代入k1k220得kk2，顯然不成立，與已知矛盾，從而k1k2，即l1與l2相交(2)由方程組解得交點P的坐標(biāo)為，而2x2y22221，即交點P(x，y)在橢圓2x2y21上距離公式的應(yīng)用例2已知點P(2，1)(1)求過P點且與原點距離為2的直線l的方程；(2)求過P點且與原點距離最大的直線l的方程，最大距離是多少.(3)是否存在過P點且與原點距離為6的直

7、線.若存在，求出方程；若不存在，請說明理由自主解答(1)過P點的直線l與原點距離為2，而P點坐標(biāo)為(2，1)，可見，過P(2，1)且垂直于x軸的直線滿足條件，此時l的斜率不存在，其方程為x2.若斜率存在，設(shè)l的方程為y1k(x2)，即kxy2k10.由已知得2，解得k.此時l的方程為3x4y100.綜上，可得直線l的方程為x2或3x4y100.(2)作圖可得過P點與原點O的距離最大的直線是過P點且與PO垂直的直線，如圖由lOP，得klkOP1，所以kl2.由直線方程的點斜式得y12(x2)，即2xy50.即直線2xy50是過P點且與原點O距離最大的直線，最大距離為.(3)由(2)可知，過P點不

8、存在到原點距離超過的直線，因此不存在過P點且到原點距離為6的直線求兩條平行線間距離的兩種思路(1)利用“化歸”法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離(2)利用兩平行線間的距離公式2已知A(4，3)，B(2，1)和直線l：4x3y20，在坐標(biāo)平面內(nèi)求一點P，使|PA|PB|，且點P到直線l的距離為2.解：設(shè)點P的坐標(biāo)為(a，b)A(4，3)，B(2，1)，線段AB的中點M的坐標(biāo)為(3，2)而AB的斜率kAB1，線段AB的垂直平分線方程為y2x3，即xy50.點P(a，b)在上述直線上，ab50.又點P(a，b)到直線l：4x3y20的距離為2，2，即4a3b2±

9、;10，由聯(lián)立可得或所求點P的坐標(biāo)為(1，4)或.對 稱 問 題例3已知直線l：2x3y10，點A(1，2)求：(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A的坐標(biāo)；(2)直線m：3x2y60關(guān)于直線l的對稱直線m的方程自主解答(1)設(shè)A(x，y)，再由已知解得故A.(2)在直線m上取一點，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點M必在直線m上設(shè)對稱點M(a，b)，則得M.設(shè)直線m與直線l的交點為N，則由得N(4,3)又m經(jīng)過點N(4,3)，由兩點式得直線m的方程為9x46y1020.求點關(guān)于直線對稱問題的基本方法(1)已知點與對稱點的連線與對稱軸垂直；(2)已知點與對稱點的中點在對稱軸上利用以上兩點

10、建立方程組可求點關(guān)于直線的對稱問題3直線y2x是ABC的一個內(nèi)角平分線所在的直線，若點A(4,2)，B(3,1)，求點C的坐標(biāo)解：把A，B兩點的坐標(biāo)代入y2x知，A，B不在直線y2x上，因此y2x為ACB的平分線，設(shè)點A(4,2)關(guān)于y2x的對稱點為A(a，b)，則kAA，線段AA的中點坐標(biāo)為，解得A(4，2)y2x是ACB平分線所在直線的方程，A在直線BC上，直線BC的方程為，即3xy100.由解得C(2,4)1條規(guī)律與已知直線垂直及平行的直線系的設(shè)法與直線AxByC0(A2B20)垂直和平行的直線方程可設(shè)為：(1)垂直：BxAym0；(2)平行：AxByn0.1種思想轉(zhuǎn)化思想在對稱問題中的

11、應(yīng)用一般地，對稱問題包括點關(guān)于點的對稱，點關(guān)于直線的對稱，直線關(guān)于點的對稱，直線關(guān)于直線的對稱等情況，上述各種對稱問題最終化歸為點的對稱問題來解決2個注意點判斷直線位置關(guān)系及運用兩平行直線間的距離公式的注意點(1)在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無斜率時，要單獨考慮；(2)運用兩平行直線間的距離公式d的前提是將兩方程中的x，y的系數(shù)化為分別相等. 創(chuàng)新交匯新定義下的直線方程問題1直線方程是高考的?？純?nèi)容，但一般不單獨考查，常與圓、圓錐曲線、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)等內(nèi)容相結(jié)合，以交匯創(chuàng)新的形式出現(xiàn)在高考中2解決新定義下的直線方程的

12、問題，難點是對新定義的理解和運用，關(guān)鍵是要分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程中典例(2013·上海模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點P(x，y)，定義OP|x|y|，其中O為坐標(biāo)原點對于以下結(jié)論：符合OP1的點P的軌跡圍成的圖形的面積為2；設(shè)P為直線x2y20上任意一點，則OP的最小值為1；其中正確的結(jié)論有_(填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號)解析由OP1，根據(jù)新定義得，|x|y|1，上式可化為yx1(0x1)，yx1(1x0)，yx1(1x0)，yx1(0x1)，畫出圖象如圖所示根據(jù)圖形得到四邊形ABCD為邊長是的正方形，所以面積等于2，故正確

13、；當(dāng)點P為時，OP|x|y|0<1，所以O(shè)P的最小值不為1，故錯誤；所以正確結(jié)論有.答案1本題有以下創(chuàng)新點(1)考查內(nèi)容的創(chuàng)新，對解析幾何問題與函數(shù)知識巧妙地結(jié)合創(chuàng)新(2)考查新定義、新概念的理解和運用的同時考查思維的創(chuàng)新，本題考查了學(xué)生的發(fā)散思維，思維方向與思維習(xí)慣有所不同2解決本題的關(guān)鍵有以下兩點(1)根據(jù)新定義，討論x的取值，得到y(tǒng)與x的分段函數(shù)關(guān)系式，畫出分段函數(shù)的圖象，即可求出該圖形的面積；(2)認(rèn)真觀察直線方程，可舉一個反例，得到OP的最小值為1是假命題3在解決新概念、新定義的創(chuàng)新問題時，要注意以下幾點(1)充分理解概念、定理的內(nèi)涵與外延；(2)對于新概念、新結(jié)論要具體化，舉

14、幾個具體的例子，代入幾個特殊值；(3)注意新概念、新結(jié)論的正用會怎樣，逆用會怎樣，變形用又將會如何四邊形OABC的四個頂點坐標(biāo)分別為O(0,0)，A(6,2)，B(4,6)，C(2,6)，直線ykx把四邊形OABC分成兩部分，S表示靠近x軸一側(cè)那部分的面積(1)求Sf(k)的函數(shù)表達式；(2)當(dāng)k為何值時，直線ykx將四邊形OABC分為面積相等的兩部分解：(1)如圖所示，由題意得kOB.當(dāng)<k<時，直線ykx與線段AB：2xy14相交，由解得交點為P1.因為點P1到直線OA：x3y0的距離為d，所以S|OA|·d；當(dāng)k<3時，直線ykx與線段BC：y6相交于點P2，

15、所以SOP2C|P2C|·6.又因為S四邊形OABCSAOBSOBC14620，所以SS四邊形OABCSOP2C26.故Sf(k)(2)若要直線ykx平分四邊形OABC的面積，由(1)，知只需10，解得k.一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1點(1，1)到直線xy10的距離是()A.B.C.D.解析：選Cd.2(2013·海口模擬)直線l1的斜率為2，l1l2，直線l2過點(1,1)且與y軸交于點P，則P點坐標(biāo)為()A(3,0) B(3,0)C(0，3) D(0,3)解析：選D由題意知，直線l2的方程為y12(x1)，令x0，得y3，即點P的坐標(biāo)為(0,3)

16、3(2013·南昌模擬)P點在直線3xy50上，且P到直線xy10的距離為 ，則P點坐標(biāo)為()A(1,2) B(2,1)C(1,2)或(2，1) D(2,1)或(1,2)解析：選C設(shè)P(x,53x)，則d，|4x6|2,4x6±2，即x1或x2，故P(1,2)或(2，1)4(2013·南京調(diào)研)與直線3x4y50關(guān)于x軸對稱的直線方程為()A3x4y50 B3x4y50C3x4y50 D3x4y50解析：選A與直線3x4y50關(guān)于x軸對稱的直線方程是3x4(y)50，即3x4y50.5.直線l通過兩直線7x5y240和xy0的交點，且點(5,1)到l的距離為.則l

17、的方程是()A3xy40 B3xy40C3xy40 Dx3y40解析：選C由得交點(2,2)，設(shè)l的方程為y2k(x2)，即kxy22k0，解得k3.l的方程為3xy40.6曲線1與直線y2xm有兩個交點，則m的取值范圍是()Am>4或m<4 B4<m<4Cm>3或m<3 D3<m<3解析：選A曲線1的草圖如圖所示與直線y2xm有兩個交點則m>4或m<4.二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點A(x，x)和B，那么這兩點之間距離的最小值是_解析：d .即最小值為.答案：8與直線xy20平行，且它們的距離

18、為2的直線方程是_解析：設(shè)與直線xy20平行的直線方程為xyc0，則2，得c2或c6，即所求直線方程為xy20或xy60.答案：xy20或xy609平面上三條直線x2y10，x10，xky0，如果這三條直線將平面劃分為六部分，則實數(shù)k的所有取值為_(將你認(rèn)為所有正確的序號都填上)0123解析：三條直線將平面分為6部分，則這三條直線相交于一點或有且只有兩條平行，經(jīng)驗證可知，當(dāng)k0,1,2時均符合題意答案：三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10過點P(0,1)作直線l使它被直線l1：2xy80和l2：x3y100截得的線段被點P平分，求直線l的方程解：設(shè)l1與l的交點為A(a,8

19、2a)，則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即點A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x4y40.11光線從A(4，2)點射出，到直線yx上的B點后被直線yx反射到y(tǒng)軸上的C點，又被y軸反射，這時反射光線恰好過點D(1,6)，求BC所在的直線方程解：作出草圖，如圖所示，設(shè)A關(guān)于直線yx的對稱點為A，D關(guān)于y軸的對稱點為D，則易得A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得AD所在直線經(jīng)過點B與C.故BC所在的直線方程為，即10x3y80.12已知直線l經(jīng)過直線2xy50與x2y0的交點P，(1)點A(5,0)到l的距

20、離為3，求l的方程；(2)求點A(5,0)到l的距離的最大值解：(1)經(jīng)過兩已知直線交點的直線系方程為(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，3，解得2或.l的方程為x2或4x3y50.(2)由解得交點P(2,1)，如圖，過P作任一直線l，設(shè)d為點A到l的距離，則d|PA|(當(dāng)lPA時等號成立)dmax|PA|.1記直線(m2)x3my10與直線(m2)x(m2)y30相互垂直時m的取值集合為M，直線xny30與直線nx4y60平行時n的取值集合為N，則MN_.解析：當(dāng)直線(m2)x3my10與直線(m2)x(m2)y30相互垂直時，m滿足(m2)(m2)3m(m2)0，解得m或m2，故M；直線xny30與直線nx4y60平行，當(dāng)n0時，顯然兩直線不平行；當(dāng)n0時，兩直線平行的充要條件是，即n2，所以N2故MN.答案：2已知 A(3,1)、B(1,2)，若ACB的平分線在yx1上，則AC所在直線方程是_解析：設(shè)點A關(guān)于直線yx1對稱的點A為(x0，y0)，則解得即A(0,4)故直線AB的方程為2xy40.由得即C(3，2)故直線AC的方程為x2y10.答案：x2y103已知