圓錐曲線的概念及性質(zhì)

1、第二講圓錐曲線的概念及性質(zhì)一、選擇題1(2010·安徽)雙曲線方程為x22y21，則它的右焦點坐標(biāo)為 ()A. B. C. D(，0)解析：原方程可化為1，a21，b2，c2a2b2，右焦點為.答案：C2(2010·天津)已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是yx，它的一個焦點在拋物線y224x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為 ()A.1 B.1C.1 D.1解析：漸近線方程是yx， .雙曲線的一個焦點在y224x的準(zhǔn)線上，c6.又c2a2b2，由知，a29，b227，此雙曲線方程為1.答案：B4(2010·遼寧)設(shè)拋物線y28x的焦點為F，準(zhǔn)線為

2、l，P為拋物線上一點，PAl，A為垂足如果直線AF的斜率為，那么|PF| ()A4 B8 C8 D16解析：解法一：AF直線方程為：y(x2)，當(dāng)x2時，y4，A(2,4)當(dāng)y4時代入y28x中，x6，P(6,4)，|PF|PA|6(2)8.故選B.解法二：PAl，PAx軸又AFO60°，F(xiàn)AP60°，又由拋物線定義知PAPF，PAF為等邊三角形又在RtAFF中，F(xiàn)F4，F(xiàn)A8，PA8.故選B.答案：B5高8 m和4 m的兩根旗桿筆直豎在水平地面上，且相距10 m，則地面上觀察兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡為 ()A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線解析：如圖1，假設(shè)AB、CD分

3、別為高4 m、8 m的旗桿，P點為地面上觀察兩旗桿頂端仰角相等的點，由于BPADPC，則RtABPRtCDP，從而PC2PA.在平面APC上，以AC為x軸，AC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖2)，則A(5,0)，C(5,0)，設(shè)P(x，y)，得2化簡得x2y2x250，顯然，P點的軌跡為圓答案：A二、填空題解析：由題知，垂足的軌跡為以焦距為直徑的圓，則c<bc2<b2a2c2e2<，又e(0,1)，所以e.答案：7(2010·浙江)設(shè)拋物線y22px(p>0)的焦點為F，點A(0，2)若線段FA的中點B在拋物線上，則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為_解析：F，則

4、B，2p×1，解得p.B，因此B到該拋物線的準(zhǔn)線的距離為.答案：8(2010·北京)已知雙曲線1的離心率為2，焦點與橢圓1的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標(biāo)為_；漸近線方程為_解析：橢圓1的焦點為(±4,0)，雙曲線的焦點坐標(biāo)為(±4,0)，c4，2，c2a2b2，a2，b212，雙曲線方程為1，漸近線方程為y±x±x，即x±y0.答案：(±4,0)x±y0即xD，由橢圓的第二定義得|FD|ea.又由|BF|2|FD|，得a2a，整理得a23c2，即e2，解得e.答案：三、解答題10已知P點在以坐標(biāo)軸為對稱

5、軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為和，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點，求此橢圓的方程解：解法一：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1(a>b>0)或1(a>b>0)，兩個焦點分別為F1、F2，則由題意，知2a|PF1|PF2|2，a.在方程1中，令x±c，得|y|.在方程1中，令y±c，得|x|.依題意知，b2.即橢圓的方程為1或1.解法二：設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，則|PF1|，|PF2|.由橢圓的定義，知2a|PF1|PF2|2，即a.由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于長軸故在RtPF2F1中，4c2|PF1|2|PF2|2，c2，于

6、是b2a2c2.又所求的橢圓的焦點可以在x軸上，也可以在y軸上，故所求的橢圓方程為1或1.11(2010·湖北)已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.(1)求曲線C的方程；(2)是否存在正數(shù)m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A、B的任一直線，都有·<0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由解：(1)設(shè)P(x，y)是曲線C上任意一點，那么點P(x，y)滿足x1(x>0)，化簡得y24x(x>0)(2)設(shè)過點M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)

7、設(shè)l的方程為xtym，由得y24ty4m0，16(t2m)>0，于是 又(x11，y1)，(x21，y2)，·<0(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y2<0. 又x，于是不等式等價于·y1y21<0y1y2(y1y2)22y1y21<0， 由式，不等式等價于m26m1<4t2， 對任意實數(shù)t,4t2的最小值為0，所以不等式對于一切t成立等價于m26m1<0，即32<m<32.由此可知，存在正數(shù)m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有·<0，且m的取值范圍是(3

8、2，32)12(2009·陜西，21)已知雙曲線C的方程為1(a>0，b>0)，離心率e，頂點到漸近線的距離為.(1)求雙曲線C的方程；(2)如圖，P是雙曲線C上一點，A，B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限.若，求AOB面積的取值范圍解：解法一：(1)由題意知，雙曲線C的頂點(0，a)到漸近線axby0的距離為，即.由得雙曲線C的方程為x21.(2)由(1)知雙曲線C的兩條漸近線方程為y±2x.設(shè)A(m,2m)，B(n,2n)，m>0，n>0.由得P點的坐標(biāo)為，將P點坐標(biāo)代入x21，化簡得mn，設(shè)AOB2，tan2，tan ，sin 2.又|OA|m，|OB|n，SAOB|OA|·|OB|·sin 22mn1.記S()1，則S().由S()0得1，又S(1)2，S，S(2)，當(dāng)1時，AOB的面積取得最小值2，當(dāng)時，AOB的面積取得最大值.AOB面積的取值范圍是.解法二：(1)同解法一(2)設(shè)直線AB的方程為ykxm，由題意知|k|<2，m>0