光的衍射習題(附答案)

1、.光的衍射（附答案）一 填空題1. 波長 = 500 nm（1 nm = 109 m）的單色光垂直照射到寬度a = 0.25 mm的單縫上，單縫后面放置一凸透鏡，在凸透鏡的焦平面上放置一屏幕，用以觀測衍射條紋今測得屏幕上中央明條紋之間的距離為d = 12 mm，則凸透鏡的焦距 f 為3 m2. 在單縫夫瑯禾費衍射實驗中，設(shè)第一級暗紋的衍射角很小，若鈉黃光（1 589 nm）中央明紋寬度為 4.0 mm，則2 442 nm（1 nm = 109 m）的藍紫色光的中央明紋寬度為3.0 mm3. 平行單色光垂直入射在縫寬為a = 0.15 mm的單縫上，縫后有焦距為f = 400 mm的凸透鏡，在其

2、焦平面上放置觀察屏幕現(xiàn)測得屏幕上中央明紋兩側(cè)的兩個第三級暗紋之間的距離為8 mm，則入射光的波長為500 nm（或5×104mm）4. 當一衍射光柵的不透光部分的寬度b與透光縫寬度a滿足關(guān)系 b = 3a 時，衍射光譜中第±4, ±8, 級譜線缺級5. 一毫米內(nèi)有500條刻痕的平面透射光柵，用平行鈉光束與光柵平面法線成30°角入射，在屏幕上最多能看到第5級光譜6. 用波長為的單色平行紅光垂直照射在光柵常數(shù)d = 2 m（1 m = 106 m）的光柵上，用焦距f = 0.500 m的透鏡將光聚在屏上，測得第一級譜線與透鏡主焦點的距離l = 0.1667

3、m，則可知該入射的紅光波長=632.6或633nm7. 一會聚透鏡，直徑為3 cm，焦距為20 cm照射光波長550nm為了可以分辨，兩個遠處的點狀物體對透鏡中心的張角必須不小于2.24×105rad這時在透鏡焦平面上兩個衍射圖樣中心間的距離不小于4.47m8. 鈉黃光雙線的兩個波長分別是589.00 nm和589.59 nm（1 nm = 109 m），若平面衍射光柵能夠在第二級光譜中分辨這兩條譜線，光柵的縫數(shù)至少是5009. 用平行的白光垂直入射在平面透射光柵上，波長為1 = 440 nm的第3級光譜線將與波長為2 =660 nm的第2級光譜線重疊（1 nm = 109 m）10

4、. X射線入射到晶格常數(shù)為d的晶體中，可能發(fā)生布拉格衍射的最大波長為2d二 計算題11. 在某個單縫衍射實驗中，光源發(fā)出的光含有兩種波長1和2，垂直入射于單縫上假如1的第一級衍射極小與2的第二級衍射極小相重合，試問：(1) 這兩種波長之間有何關(guān)系？(2) 在這兩種波長的光所形成的衍射圖樣中，是否還有其它極小相重合？解：(1) 由單縫衍射暗紋公式得a sin1 = 1 1 a sin2 = 2 2由題意可知 1 = 2, sin1 = sin2代入上式可得 1 = 2 2(2) a sin1 = k1 1 =2 k1 2 (k1=1, 2, )sin1 = 2 k1 2 / aa sin2 =

5、k2 2 (k2=1, 2, )sin2 = 2 k2 2 / a若k2 = 2 k1，則1 = 2，即1的任一k1級極小都有2的2 k1級極小與之重合12. 在單縫的夫瑯禾費衍射中，縫寬a = 0.100 mm，平行光垂直如射在單縫上，波長= 500 nm，會聚透鏡的焦距f = 1.00 m求中央亮紋旁的第一個亮紋的寬度x解：單縫衍射第1個暗紋條件和位置坐標x1為a sin1 = x1 = f tan1 f sin1 f / a (1很小)單縫衍射第2個暗紋條件和位置坐標x2為a sin2 = 2 x2 = f tan2 f sin2 2 f / a (2很小)單縫衍射中央亮紋旁第一個亮紋的

6、寬度x1 = x2 x1 f (2 / a / a) = f / a=1.00×5.00×107/(1.00×104) m=5.00mm13. 在單縫夫瑯禾費衍射中，垂直入射的光有兩種波長，1 = 400 nm，2 = 760 nm（1 nm = 109 m）已知單縫寬度a = 1.0×102 cm，透鏡焦距f = 50 cm(1) 求兩種光第一級衍射明紋中心間的距離(2) 若用光柵常數(shù)a = 1.0×10-3 cm的光柵替換單縫，其它條件和上一問相同，求兩種光第一級主極大之間的距離解：(1) 由單縫衍射明紋公式可知a sin1 = (2 k

7、+ 1) 1 = 1 （取k = 1）a sin2 = (2 k + 1) 2 = 2tan1 = x1 / f，tan2 = x1 / f由于 sin1 tan1，sin2 tan2所以 x1 = f 1 / ax2 = f 2 / a 則兩個第一級明紋之間距為 x1 = x2 x1 = f / a = 0.27 cm(2) 由光柵衍射主極大的公式d sin1 = k 1 = 1 1d sin2 = k 2 = 1 2且有sin = tan = x / f所以x1 = x2 x1 = f / a = 1.8 cm14. 一雙縫縫距d = 0.40 mm，兩縫寬度都是a = 0.080 mm，

8、用波長為 = 480 nm（1 nm = 109 m）的平行光垂直照射雙縫，在雙縫后放一焦距f = 2.0 m的透鏡求：(1) 在透鏡焦平面的屏上，雙縫干涉條紋的間距l(xiāng)；(2) 在單縫衍射中央亮紋范圍內(nèi)的雙縫干涉數(shù)目N和相應(yīng)的級數(shù)解：雙縫干涉條紋(1) 第k級亮紋條件：d sin = k 第k級亮條紋位置：x1 = f tan1 f sin1 k f / d相鄰兩亮紋的間距：x = xk +1 xk = (k + 1) f / d k / d = f / d = 2.4×103 m = 2.4 mm(2) 單縫衍射第一暗紋：a sin1 = 單縫衍射中央亮紋半寬度：x0 = f ta

9、n1 f sin1 k f / d = 12 mmx0 / x = 5 雙縫干涉第 ±5級主極大缺級 在單縫衍射中央亮紋范圍內(nèi)，雙縫干涉亮紋數(shù)目N = 9分別為k = 0, ±1, ±2, ±3, ±4級亮紋或根據(jù)d / a = 5指出雙縫干涉缺第 ±5 級主極大，同樣可得出結(jié)論。15. 用鈉光（ = 589.3 nm）垂直照射到某光柵上，測得第三級光譜的衍射角為60°(1) 若換用另一光源測得其第二級光譜的衍射角為30°，求后一光源發(fā)光的波長(2) 若以白光（400 nm 760n m）照射在該光柵上，求其第二級

10、光譜的張角解：(1) (a+b) sin =3a+b = 3 / sin， = 60°a+b = 2' / sin'，' = 30°3 / sin = 2' / sin'' = 510.3 nm(2) a+b = 3 / sin=2041.4 nm2' = arcsin (2×400 / 2041.4) nm ( = 400 nm)2'' = arcsin (2×760 / 2041.4) nm ( = 760 nm)白光第二級光譜的張角 = 2'' 2' =

11、 25°16. 一束平行光垂直入射到某個光柵上，該光柵有兩種波長的光，1 = 440 nm，2 = 660 nm實驗發(fā)現(xiàn)，兩種波長的譜線（不計中央明紋）第二次重合于衍射角 = 60° 的方向上，求此光柵的光柵常數(shù)d解：由光柵衍射主極大公式得d sin1 = k 1d sin2 = k 2= = = 當兩譜線重合時有1 = 2即 = = = = 兩譜線第二次重合即是 = ，k1 = 6， k2 = 4由光柵公式可知d sin60° = 6 1 d = = 3.05×103 mm17. 將一束波長 = 589 nm（1 nm = 109 m）的平行鈉光垂直入

12、射在1厘米內(nèi)有5000條刻痕的平面衍射光柵上，光柵的透光縫寬度a與其間距b相等，求：(1) 光線垂直入射時，能看到幾條譜線？是哪幾級？(2) 若光線以與光柵平面法線的夾角 = 60° 的方向入射時，能看到幾條譜線？是哪幾條？解：(1) (a+b) sin = k 當 = /2時，k = (a+b) / = 3.39，kmax = 3又 a = b，(a+b) sin = 2a sin = k 有譜線a sin = k / 2但當k = ±2, ±4, ±6, 時缺級 能看到5條譜線，為0, ±1, ±3級(2) (a+b) (sin

13、+ sin) = k ， = 30°， = ±90° = ，k = (a+b) (sin30° + sin90°) / = 5.09取kmax = 5 = ，k = (a+b) (sin30° sin90°) / = 1.7取k'max = 1 a = b 第2, 4, 級缺級 能看到5條譜線，為 +5, +3, +1, 0, 1級18. 波長 = 600 nm（1 nm = 109 m）的單色光垂直入射到一光柵上，測得第二級主極大的衍射角為30°，且第三級是缺級(1) 光柵常數(shù) (a + b) 等于多少？

14、(2) 透光縫可能的最小寬度a等于多少？(3) 在選定了上述 (a + b) 和a之后，求在衍射角 < < 范圍內(nèi)可能觀察到的全部主極大的級次解：(1) 由光柵衍射的主極大公式得a + b = = 2.4×104 cm(2) 若第三級不缺級，則由光柵公式得 (a+b) sin' = 3 由于第三級缺級，則對應(yīng)于最小可能的a，'方向應(yīng)是單縫衍射第一級暗紋：兩式比較，得a sin' = a = = 8.0×105 cm(3) (a+b) sin = k （主極大）a sin = k' （單縫衍射極?。?k' = 1, 2, 3

15、, )因此k = 3, 6, 9, 缺級；又 kmax = = 4， 實際呈現(xiàn)出的是k = 0, ±1, ±2級明紋（k = ±4在/2處不可見）19. 在通常亮度下，人眼瞳孔直徑約為，若視覺感受最靈敏的光波長為 = 550 nm（1 nm = 109 m），試問：(1) 人眼最小分辨角是多大？(2) 在教室的黑板上，畫的等號兩橫線相距2 mm，坐在距黑板10 m 處的同學能否看清？（要有計算過程）解：(1) 已知得d = 3 mm，= 550 nm，人眼的最小分辨角為： = 1.22 / d = 2.24×104 rad(2) 設(shè)等號兩橫線相距x =

16、2 mm時，人距黑板剛好看清，則l = x / = 8.9 m所以距黑板10m處的同學看不清楚20. 一平面透射多縫光柵，當用波長1 = 600 nm（1 nm = 109 m）的單色平行光垂直入射時，在衍射角 = 30° 的方向上可以看到第2級主極大，并且在該處恰能分辨波長差 = 5×103 nm的兩條譜線當用波長2 = 400 nm的單色平行光垂直入射時，在衍射角 = 30°的方向上卻看不到本應(yīng)出現(xiàn)的第3級主極大求光柵常數(shù)d和總縫數(shù)N，再求可能的縫寬a解：根據(jù)光柵公式d sin = k 1得d = = 2.4×103 nm = 2.4 m據(jù)光柵分辨本領(lǐng)公式R = 1 / = kN得N = = 60000在 = 30° 的方向上，波長2 = 400 nm的第3級主極大缺級，因而此處一定恰好是波長為2入射光單縫衍射的一個極小出現(xiàn)的位置。故有：d sin30° = 3 2，a sin30° = k' 2 a = k' d / 3, k' =1或2縫寬a有下列兩種可能：當k' =1時，a = d = ×2.4 m = 0.8 m當k' =2時，a = d = ×2.4