博弈論基礎(chǔ)作業(yè)及答案

1、博弈論基礎(chǔ)作業(yè)一、名詞解釋納什均衡 占優(yōu)戰(zhàn)略均衡 純戰(zhàn)略 混合戰(zhàn)略 子博弈精煉納什均衡 貝葉斯納什均衡 精煉貝葉斯納什均衡 共同知識見PPT二、問答題1.舉出囚徒困境和智豬博弈的現(xiàn)實(shí)例子并進(jìn)行分析。囚徒困境的例子：軍備競賽；中小學(xué)生減負(fù)；幾個(gè)大企業(yè)之間的爭相殺價(jià)等等；以中小學(xué)生減負(fù)為例：在當(dāng)前的高考制度下，給定其他學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行減負(fù)，一個(gè)學(xué)校最好不減負(fù)，因?yàn)檫@樣做，可以帶來比其他學(xué)校更高的升學(xué)率。給定其他學(xué)校不減負(fù)，這個(gè)學(xué)校的最佳應(yīng)對也是不減負(fù)。否則自己的升學(xué)率就比其他學(xué)校低。因此，不論其他學(xué)校如何選擇，這個(gè)學(xué)校的最佳選擇都是不減負(fù)。每個(gè)學(xué)校都這樣想，所以每個(gè)學(xué)校的最佳選擇都是不減負(fù)，因此學(xué)生

2、的負(fù)擔(dān)越來越重。請用同樣的方法分析其他例子。智豬博弈的例子：大企業(yè)開發(fā)新產(chǎn)品；小企業(yè)模仿；股市中，大戶搜集分析信息，散戶跟隨大戶的操作策略以股市為例：給定散戶搜集資料進(jìn)行分析，大戶的最佳選擇是跟隨。而給定散戶跟隨，大戶的最佳選擇是自己搜集資料進(jìn)行分析。但是不論大戶是選擇分析還是跟隨，散戶的最佳選擇都是跟隨。因此如果大戶和散戶是聰明的，并且大戶知道散戶也是聰明的，那么大戶就會預(yù)見到散戶會跟隨，而給定散戶跟隨，大戶只有自己分析。請用同樣的方法分析其他例子。2.請用博弈論來說明“破釜沉舟”和“窮寇勿追”的道理。破釜沉舟是一個(gè)承諾行動。目的是要斷絕自己的退路，讓自己無路可退，讓自己決一死戰(zhàn)變得可以置信

3、。也就是說與敵人對決時(shí)，只有決一死戰(zhàn)，這樣才可以取得勝利。否則，如果不破釜沉舟，那么遇到困難時(shí)，就很有可能退卻，也就無法取得勝利。窮寇勿追就是要給對方一個(gè)退路，由于有退路，對方就不會殊死抵抗。否則，對方退無可退，只有堅(jiān)決抵抗一條路，因而必然決一死戰(zhàn)。自己也會付出更大的代價(jià)。3.當(dāng)求職者向企業(yè)聲明自己能力強(qiáng)時(shí)，企業(yè)未必相信。但如果求職者拿出自己的各種獲獎證書時(shí)，卻能在一定程度上傳遞自己能力強(qiáng)的信息。這是為什么？由于口頭聲明幾乎沒有成本，因此即便是能力差的求職者也會向企業(yè)聲明自己能力強(qiáng)。當(dāng)然能力強(qiáng)的人也會聲明自己的能力強(qiáng)。也就是說不同類型的求職者為了贏得職位會做出同樣的聲明。這樣口頭聲明就不能有效

4、的傳遞信息，因此企業(yè)不會輕易相信。而求職者拿出獲獎證書就成了一個(gè)信號博弈。由于獲得證書是要付出代價(jià)的，但代價(jià)卻引人而異。能力強(qiáng)的個(gè)人可以相對輕易獲得證書，而能力弱的個(gè)人卻很難獲得證書，以至于能力弱的人認(rèn)為化巨大的代價(jià)獲得證書，從而獲得企業(yè)的職位是不劃算的，因此干脆就不要獲獎證書。因此獲獎證書就成為個(gè)人能力的信號。4.五個(gè)海盜搶得100顆鉆石,他們?yōu)榉众E發(fā)生了爭議,最后達(dá)成協(xié)議,由抓鬮確定出分贓順序，然后按照民主程序進(jìn)行分贓。首先由1號海盜提出分贓方案,五人共同舉手表決。若贊成的占一半以上（不包括一半的情況）,就按1號提出的方案分贓,否則1號將被扔到海里喂鯊魚。接著由2號提出方案, 四人共同舉手

5、表決。若贊成的占一半以上（不包括一半的情況）,就按2號提出的方案分贓,否則2號將被扔到海里喂鯊魚,依此類推。如果你是1號海盜,你該提什么樣的方案?說明理由。 假設(shè)（1）五個(gè)強(qiáng)盜都很聰明，而且大家知道大家很聰明，大家知道大家知道大家很聰明，如此等等。（2）每個(gè)海盜都很貪婪，希望獲得盡可能多的鉆石，但是又不想為了鉆石丟掉性命。（3）給定一個(gè)方案，只有該方案大于他的備選方案所獲的鉆石時(shí)，海盜才選擇贊成。第一個(gè)海盜的提議應(yīng)該是：五個(gè)海盜分別獲得的鉆石數(shù)目為97，0，1，0，2，或者97，0，1，2，0。具體理由自己思考，方法是倒推法。三、計(jì)算題1.試計(jì)算表1中的戰(zhàn)略式博弈的重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略均衡。表1 一

6、個(gè)戰(zhàn)略式表述博弈BLMRAU1,23,12,4M5,67,12,6D3,12,07,8對B而言，戰(zhàn)略M嚴(yán)格劣于R；（因?yàn)?4, 16,08），因此剔除B的戰(zhàn)略M；構(gòu)成新的博弈如下BLRAU1,22,4M5,62,6D3,17,8在新的博弈中，對于A而言，戰(zhàn)略U嚴(yán)格劣于D(因?yàn)?3,27)，因此剔除A的戰(zhàn)略U，構(gòu)成新的博弈如下：BLRAM5,62,6D3,17,8對于新的博弈中，已經(jīng)沒有嚴(yán)格的劣戰(zhàn)略，因此沒有嚴(yán)格的劣戰(zhàn)略可以剔除。所以該博弈不是重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略可解的。但是存在弱劣戰(zhàn)略。對于B而言，戰(zhàn)略L弱劣于R（因?yàn)?=6，18）,因此剔除B的弱劣戰(zhàn)略L，構(gòu)成新的博弈如下：BRAM2,6D7,

7、8在新的博弈中，對于A而言，戰(zhàn)略M嚴(yán)格劣于D（因?yàn)?7）,因此剔除A的戰(zhàn)略M，構(gòu)成新的博弈如下：BRAD7,8因此，重復(fù)剔除（弱）劣戰(zhàn)略均衡為（D，R）（ps: 如果同學(xué)們用劃線的方法求納什均衡，就可以發(fā)現(xiàn)純戰(zhàn)略nash均衡有兩個(gè)：（M,L）和（D,R）但采用剔除弱劣戰(zhàn)略的方法，把其中一個(gè)納什均衡剔除掉了）2. 試給出下述戰(zhàn)略式表述博弈的所有納什均衡。2LR 1U2,23,3D4,41,2給定1選擇U，2的最佳選擇是R(因?yàn)?2），在相應(yīng)位置劃線給定2選擇L，1的最佳選擇是D（理由自己寫），在相應(yīng)位置劃線給定2選擇R，1的最佳選擇是U（理由自己寫），在相應(yīng)位置劃線找兩個(gè)數(shù)字下都劃線的，顯然有兩

8、個(gè)純戰(zhàn)略納什均衡：和據(jù)Wilson的奇數(shù)定理，可能有一個(gè)混合戰(zhàn)略均衡。設(shè)1選的概率為，那么選D的概率為設(shè)2選的概率為，那么選R的概率為，如果存在混合戰(zhàn)略，那么2選戰(zhàn)略L和R的期望收益應(yīng)該應(yīng)該相等，因此應(yīng)有 自己求解 （2分）同樣，1選戰(zhàn)略U和D的期望收益應(yīng)該應(yīng)該相等 得混合均衡：?3.市場里有兩個(gè)企業(yè)1和2。每個(gè)企業(yè)的成本都為0。市場的逆需求函數(shù)為P=16-Q。其中P是市場價(jià)格，Q為市場總產(chǎn)量。（1）求古諾（Cournot）均衡產(chǎn)量和利潤。（2）求斯坦克爾伯格（Stackelberg）均衡產(chǎn)量和利潤。(1)設(shè)兩個(gè)企業(yè)的產(chǎn)量分別為，有，因此利潤函數(shù)分別為：利潤最大化的一階條件分別為：因此企業(yè)1和

9、企業(yè)2的反應(yīng)函數(shù)分別為： 聯(lián)立，得到。自己求解（2）設(shè)企業(yè)1先行，企業(yè)2跟進(jìn)。兩個(gè)企業(yè)的產(chǎn)量分別為，因此利潤函數(shù)分別為：由逆向歸納法，在第二階段，企業(yè)2在已知企業(yè)1的產(chǎn)量的情況下，最優(yōu)化自己的產(chǎn)量，從而得到企業(yè)2的反應(yīng)函數(shù)：因此企業(yè)2的反應(yīng)函數(shù)為： 在第一階段，企業(yè)1考慮到企業(yè)2的反應(yīng)，從而自己的利潤函數(shù)為： （2分）要使企業(yè)1的利潤最大，應(yīng)滿足一階條件：得到。 所以。 （PS: 古諾模型是完全信息靜態(tài)博弈，求的是納什均衡；斯坦伯格模型是完全信息動態(tài)博弈，求的是子博弈精煉納什均衡） 4.（1）試給出圖1中的完全信息動態(tài)博弈的子博弈精煉均衡和均衡結(jié)果。（2）倘若2告訴1：2的戰(zhàn)略是，問此時(shí)1的最

10、優(yōu)戰(zhàn)略是什么？（3）在（2）中，1和2的戰(zhàn)略組合構(gòu)成一個(gè)納什均衡嗎？均衡結(jié)果是什么？（4）（3）中的納什均衡不是子博弈精煉的，原因是什么？ 12 a b 2 2 c d e j (1,2) (2,1) 1 (6,3) f g (3,2) l i (4,6) (0,2)答： （1） 1 a b 2 2 c d e j (1,2) (2,1) 1 (6,3)2 （2分） f g (3,2) l i (4,6) (0,2)由逆向歸納法，子博弈精煉均衡為，均衡結(jié)果為（4，6）。（2）若2的戰(zhàn)略為，則1的最優(yōu)戰(zhàn)略為。（3）給定2的戰(zhàn)略為，1的最優(yōu)戰(zhàn)略為；反之，給定1的戰(zhàn)略，戰(zhàn)略是2的一個(gè)最優(yōu)戰(zhàn)略。所以它

11、們構(gòu)成一個(gè)納什均衡，均衡結(jié)果為（6,3）。（4）因?yàn)?的戰(zhàn)略中含有不可置信的威脅，使1在和之間不敢選。當(dāng)博弈進(jìn)行到2在與之間進(jìn)行選擇的時(shí)候，2必會選，給定如此，1選而不是，此時(shí)2會選，這就是子博弈精煉均衡。5、試解出下述不完美信息動態(tài)博弈的精煉貝葉斯均衡。 1 R (1,2) L 2 l r l r (2,4) (0,1) (3,1) (7,2)當(dāng)“2”看見“1”未選R時(shí)，設(shè)他認(rèn)為“1”選L的概率為P， “1”選的概率為1P，則“2”選的期望支付為：“2”選的期望支付為當(dāng)，即時(shí)，“2”選，而給定“2”選，“1”選L收益為2，選的收益為3，選R的收益為1，因此“1”會選。而給定“1”選，“2”認(rèn)為（注意：P是“1”選L的概率），與矛盾。故