畢業(yè)論文---行列式的求法匯總

1、1 行列式的概念及性質(zhì)1.1 行列式的概念級行列式等于所有取自不同行不同列的個元素的乘積的代數(shù)和，這里的是1，2，的一個排列，每一項都按下列規(guī)則帶有符號：當(dāng)是偶排列時，帶有正號；當(dāng)是奇排列時，帶有負(fù)號。這一定義可寫成，這里表示對所有級排列的求和。1.2 行列式的性質(zhì)1性質(zhì)1 行列互換，行列式值不變，即性質(zhì)2 行列式中某一行（列）元素有公因子，則可以提到行列式記號之外，即這就是說，一行的公因子可以提出去，或者說以一數(shù)乘以行列式的一行就相當(dāng)于用這個數(shù)乘以此行列式。事實上，=+=+ ，令=0，如果行列式中任一行為零，那么行列式值為零。性質(zhì)3 如果行列式中某列（或行）中各元素均為兩項之和，即，則這個行

2、列式等于另兩個行列式之和。即這就是說，如果某一行是兩組數(shù)的和，那么這個行列式就等于兩個行列式的和，而這兩個行列式除這一行以外全與原來行列式的對應(yīng)的行一樣。性質(zhì)4 如果行列式中有兩行（列）相同，則行列式等于零。所謂的兩行相同就是說兩行的對應(yīng)元素都相等。性質(zhì)5 如果行列式中兩行（列）成比例，則行列式等于零。性質(zhì)6 如果行列式中的某一行（列）的各元素同乘數(shù)后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上去，則行列式不變。性質(zhì)7 對換行列式中兩行（列）的位置，行列式反號。技巧6:分塊行列式的值等于其主對角線上兩個子塊行列式的值的乘積技巧7:拉普拉斯按一行(列)展開定理 行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余

3、子式乘積之和技巧1:行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式的值相等,即D=DT2 行列式的計算方法行列式的計算靈活多變，需要有較強(qiáng)的技巧。當(dāng)然，任何一個階行列式都可以由它的定義去計算其值。但由定義可知，階行列式的展開式有！項，計算量很大，一般情況下不用此法，但如果行列式中有許多零元素，可考慮此法。值的注意的是：在應(yīng)用定義法求非零元素乘積項時，不一定從第1行開始，哪行非零元素最少就從哪行開始。接下來要介紹計算行列式的兩種最基本方法化三角形法和按行（列）展開法。:對于4階以上的行列式,若行列式中有很多元素為零,則根據(jù)定義進(jìn)行計算較為方便,否則較為復(fù)雜(常見于計算機(jī)程序和數(shù)學(xué)軟件)定義:運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件Matlab按定

4、義計算4階行列式:>> syms a b c d e f g h i j k l m n o p>> A=a,b,c,d;e,f,g,h;i,j,k,l;m,n,o,pA = a, b, c, d e, f, g, h i, j, k, l m, n, o, p>> det(A)ans =a*f*k*p-a*f*l*o-i*a*g*p+i*a*h*o+a*n*g*l-a*n*h*k-e*b*k*p+e*b*l*o+i*e*c*p-i*e*d*o-e*n*c*l+e*n*d*k+i*b*g*p-i*b*h*o-i*f*c*p+i*f*d*o+i*n*c*h-i

5、*n*d*g-m*b*g*l+m*b*h*k+m*f*c*l-m*f*d*k-i*m*c*h+i*m*d*g2.1 化三角形法6化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺接嬎愕囊环N方法。這是計算行列式的基本方法重要方法之一。因為利用行列式的定義容易求得上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計算。原則上，每個行列式都可利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式。但對于階數(shù)高的行列式，在一般情況下，計算往往較繁。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質(zhì)將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。例1 浙江大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第一大題第2小題

6、（重慶大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第三大題第1小題）的解答中需要計算如下行列式的值， 分析：顯然若直接化為三角形行列式，計算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質(zhì)。注意到從第1列開始，每一列與它一列中有-1個數(shù)是差1的，根據(jù)行列式的性質(zhì)，先從第-1列開始乘以1加到第列，第-2列乘以1加到第-1列，一直到第一列乘以1加到第2列。然后把第1行乘以1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計算就簡單多了。解： 2.2 按行（列）展開法（降階法）312設(shè)為階行列式，根據(jù)行列式的按行（列）展開定理有或其中為中的元素的代數(shù)余子式按行（列）展開法可以將一個階行列式化為個階行列式計算。若繼續(xù)使用按行（列

7、）展開法，可以將n階行列式降階直至化為許多個2階行列式計算，這是計算行列式的又一基本方法。但一般情況下，按行（列）展開并不能減少計算量，僅當(dāng)行列式中某一行（列）含有較多零元素時，它才能發(fā)揮真正的作用。因此，應(yīng)用按行（列）展開法時，應(yīng)利用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為有較多的零元素，再按該行（列）展開。例2 計算20階行列式分析：這個行列式中沒有一個零元素，若直接應(yīng)用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個2階行列式計算，需進(jìn)行（20?。?01次加減法和乘法運(yùn)算，這是人根本無法完成的，更何況是階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結(jié)果。注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對應(yīng)元

8、素僅差1，因此，可按下述方法計算，解： 以上就是計算行列式最基本的兩種方法，接下來介紹的一些方法，不管是哪種，都要與行列式的性質(zhì)和基本方法結(jié)合起來。下面是一些常用的方法：2.3 遞推法15應(yīng)用行列式的性質(zhì)，把一個較高階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式（比如，-1階或-1階與-2階等）的線性關(guān)系式，這種關(guān)系式稱為遞推關(guān)系式。根據(jù)遞推關(guān)系式及某個低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給階行列式的值，這種計算行列式的方法稱為遞推法。注意：用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結(jié)構(gòu)如果沒有的話，即很難找出遞推關(guān)系式，從而不能使用此方法。例3 2003年福州大學(xué)研究生入學(xué)考

9、試試題第二大題第10小題要證如下行列式等式（雖然這是一道證明題，但我們可以直接求出其值，從而證之）。分析：此行列式的特點是：除主對角線及其上下兩條對角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對角”行列式。從行列式的左上方往右下方看， 即知與具有相同的結(jié)構(gòu)。因此可考慮利用遞推關(guān)系式計算。證明：按第1列展開，再將展開后的第二項中n-1階行列式按第一行展開有：，這是由 和表示的遞推關(guān)系式。若由上面的遞推關(guān)系式從階逐階往低階遞推，計算較繁，注意到上面的遞推關(guān)系式是由-1階和-2階行列式表示階行列式，因此，可考慮將其變形為：或 ?，F(xiàn)可反復(fù)用低階代替高階，有：同樣有因此當(dāng) 時，由（1）（2）式可解得

10、： 。證畢。點評：雖然我們從一個行列式中可以看出有低階的相同的結(jié)構(gòu)，然后得到一遞推關(guān)系式，但我們不要盲目亂代，一定要看清這個遞推關(guān)系式是否可以簡化我們的計算，如果不行的話，就要適當(dāng)?shù)負(fù)Q遞 推關(guān)系式，如本題。2.4 加邊法（升階法）27有時為了計算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進(jìn)行計算，這種計算行列式的方法稱為加邊法或升階法。當(dāng)然，加邊后必須是保值的，而且要使所得的高一階行列式較易計算。要根據(jù)需要和原行列式的特點選取所加的行和列。加法適用于某一行（列）有一個相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分別為-1個元素的倍數(shù)的情況。加邊法的一般做法是：特殊情況取 或 。當(dāng)然加法不是隨便加一行一列就

11、可以了。那么加法在何時才能應(yīng)用呢？關(guān)鍵是觀察每行或每列是否有相同的因子。如下題：例4 計算 階行列式：分析 我們先把主對角線的數(shù)都減1，這樣我們就可明顯地看出第一行為與相乘，第二行為與相乘，第行為與相乘。這樣就知道了該行列式每行有相同的因子，從而就可考慮此法。解：注意:加邊法最在的特點就是要找出每行或每列相同的因子，那么升階之后，就可利用行列式的性質(zhì)把絕大部分元素化為零，然后再化為三角形行列式，這樣就達(dá)到了簡化計算的效果。2.5 拆行（列）法6由行列式拆項性質(zhì)知，將已知行列式拆成若干個行列式之積，計算其值，再得原行列式值，此法稱為拆行（列）法。由行列式的性質(zhì)知道，若行列式的某行（列）的元素都是

12、兩個數(shù)之和，則該行列式可拆成兩個行列式的和，這兩個行列式的某行（列）分別以這兩數(shù)之一為該行（列）的元素，而其他各行（列）的元素與原行列式的對應(yīng)行（列）相同，利用行列式的這一性質(zhì)，有時較容易求得行列式的值。例5 南開大學(xué)2004年研究生入學(xué)考試題第1大題，要求下列行列式的值，設(shè)階行列式：且滿足對任意數(shù)b，求階行列式 分析:該行列式的每個元素都是由兩個數(shù)的和組成，且其中有一個數(shù)是b，顯然用拆行（列）法。解： 。又令A(yù)=, 。 。 。， 所以 也為反對稱矩陣。又 為的元素， 。從而知： 。2.6 數(shù)學(xué)歸納法5一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學(xué)歸納法給出猜想的證明。因此，數(shù)學(xué)歸納法一

13、般是用來證明行列式等式。因為給定一個行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。（數(shù)學(xué)歸納法的步驟大家都比較熟悉，這里就不再說了）。例6 證明： 證：當(dāng)時，有結(jié)論顯然成立。現(xiàn)假定結(jié)論對小于等于時成立。即有。將按第1列展開，得 故當(dāng)對時，等式也成立。得證。接下來介紹一些特殊的行列式計算方法: 2.7 析因法9如果行列式中有一些元素是變數(shù)（或某個參變數(shù)）的多項式，那么可以將行列式當(dāng)作一個多項式，然后對行列式施行某些變換，求出的互素的一次因式，使得與這些因式的乘積只相差一個常數(shù)因子，根據(jù)多項式相等的定義，比較與的某一項的系數(shù)，求出值，便可求得= 。那在什么情況下才能用呢？要看行列式

14、中的兩行（其中含變數(shù)），若等于某一數(shù)時，使得兩行相同，根據(jù)行列式的性質(zhì)，可使得=0。那么-便是一個一次因式，再找其他的互異數(shù)使得=0，即得到與階數(shù)相同的互素一次因式，那么便可用此法。例7 蘭州大學(xué)2004招收攻讀碩士研究生考試工試題第四大題第（1）小題。需求如下行列式的值。分析：根據(jù)該行列式的特點，當(dāng)時，有。但大家認(rèn)真看一下，該行列式是一個n+1次多項式，而這時我們只找出了n個一次因式,那么能否用析因法呢？我們再仔細(xì)看一下，每行的元素的和數(shù)都是一樣的，為：，那么我們從第2列開始到第n+1列都加到第1列，現(xiàn)提出公因式，這樣行列式的次數(shù)就降了一次。從而再考慮析因法。解：令顯然 當(dāng)時，13。又 為n

15、次多項式，。又中的最高次項為，系數(shù)為1， 所以 C=1 。 。因此得點評:該題顯然用析因法是最簡便，但不要一味地只找使它等于0的數(shù)，而該題最多只能有個數(shù)使它等于0，而行列式又是階是一個次多項式，從而我們想到的就是得用行列式的性質(zhì)把行列式的次數(shù)降低一次，使得原次多項式變?yōu)橐粋€一次多項式和一個次多項式的乘積。進(jìn)而便可求得其值。凡事要懂得變通，一道題不可能用一種方法就可以馬上解得。在析因法中，對于一個n次多項式，當(dāng)你最多只能找出個使其行列式為零時，就要把它化為一個次多項式與一個次多項式的乘積。但一般找出的使其行列式為零的個數(shù)與行列式的次數(shù)差太多時，不用本法。2.8 輔助行列式法14輔助行列式法應(yīng)用條

16、件：行列式各行（列）和相等，且除對角線外其余元素都相同。解題程序：1）在行列式的各元素中加上一個相同的元素，使新行列式除主對角線外，其余元素均為0；2）計算的主對角線各元素的代數(shù)余子式;3)；例8 大連理工大學(xué)2004年碩士生入學(xué)考試高等代數(shù)試題，第一大題填空題第2小題需求下列階行列式的值。解：在的各元素上加上后，則有： 。又 ，其余的為零。點評：若知道輔助行列式法的解題程序，用此法就可輕松地解出此題。但根據(jù)該行列式的特點，我們也可以用加邊法，把大部分元素化為零，再化為三角形行列式也可輕易解出該行列式。以下幾種方法是利用到公式，所以有的方法在這只簡單地給出其應(yīng)用，只要記住公式，會應(yīng)用就行。2.

17、9 利用拉普拉斯定理拉普拉斯定理的四種特殊情形1351） 2）3） 4）例9 計算階行列式解：2.10 利用范德蒙行列式6范德蒙行列式 。例10 計算階行列式解：顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質(zhì)把它化為范德蒙行列式的類型。先將的第行依次與第-1行，-2行，,2行，1行對換，再將得到的新的行 列式的第行與第-1行，-2行，,2行對換，繼續(xù)仿此作法，直到最后將第行與第-1行對換，這樣，共經(jīng)過（-1）+（-2）+2+1=次行對換后，得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結(jié)果得， 所以 。2.11 利用矩陣行列式公式引理：設(shè)A為型矩陣，B為型矩陣

18、，分別表示階，階單位矩陣，則有5 先引入一個證明題設(shè)A，B分別是和矩陣，證明：證明：兩邊取行列式得：。又 ， 同樣兩邊取行列式有 得證。那么對于分別是和矩陣，能否得到？答案是肯定的。證：因為 ， 所以有 。又 ，。即得 對分別為和矩陣，時，有：，則當(dāng)時，有：引理得證。例11 2003年全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷三第九題的解答中需要計算如下行列式的值。解：令矩陣，則可得 。其中 。那么根據(jù)上面所提到的引理可得：又 ，所以可得： 。2.12 利用方陣特征值與行列式的關(guān)系4也以例11為例解: 。顯然的個特征值為；的個特征值為。故的特征值為由矩陣特征值與對應(yīng)行列式的關(guān)系知：(的特征值也可由特征值的

19、定義得到)。點評：本題行列式比較特殊，可以用到此方法，對于其他的行列式，本方法一般不適用，在這僅給出做此方法參考。問題的推廣：例11中，主對角線上的元素為 ，那么我們使得主對角線上的元素為 ，個任意數(shù)，可得下列一般的行列式：分析：上面我們已經(jīng)介紹了多種方法，根據(jù)這題行列式的特點，每行都有相同的因子 ，所以本題適用加邊法。(本題有多種解法，據(jù)上分析，僅以加邊法推出。)解： ，特別地，當(dāng)時， 。與例11的答案一致。以上總共給出了計算行列式的12種方法，其中一些是常見的些是最基本的方法，一些是特殊但很實用的方法。還有其他的一些方法，如：極限法、換元法、導(dǎo)數(shù)法、差分法、積分法等，但這些方法用處不多，所以不加以詳細(xì)介紹。結(jié)束語：計算行列式的方法很多，也比較靈活，上面介紹了計算n階行列式的常見方法，計算行列式時，我們應(yīng)當(dāng)針對具體問題，把握行列式的特點，靈活選用方法?？偟脑瓌t是：充分利用所求行列式的特點，運(yùn)用行列式性質(zhì)及上述常用的方法，有時綜合運(yùn)用以上方法可以更簡便的求出行列式的值；有時也可用多種方法求出行列式的值。學(xué)習(xí)中多練習(xí)，多總結(jié)，才能更好地掌握行列式的計算。參考文獻(xiàn)：1 梁保松，蘇本堂線性代數(shù)及其應(yīng)用北京：中國農(nóng)業(yè)出版社，20042