二倍角的正弦、余弦和正切公式(基礎)

1、二倍角的正弦、余弦和正切公式(基礎)【學習目標】1能從兩角和的正弦、余弦、正切公式推導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.2能熟練運用二倍角公式進行簡單的恒等變換（包括導出積化和差、和差化積、半角公式但不要求記憶），能靈活地將公式變形并運用3通過運用公式進行簡單的恒等變換，進一步提高運用聯(lián)系的觀點、化歸的思想方法處理問題的自覺性，體會換元思想、方程思想等在三角恒等變換中的作用.【要點梳理】要點一：二倍角的正弦、余弦、正切公式1二倍角的正弦、余弦、正切公式要點詮釋：(1)公式成立的條件是：在公式中，角可以為任意角，但公式中，只有當及時才成立；(2)倍角公式不僅限于是的二倍形

2、式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是適用的.要熟悉多種形式的兩個角的倍數(shù)關系，才能熟練地應用好二倍角公式，這是靈活運用公式的關鍵. 如：；2和角公式、倍角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系 在兩角和的三角函數(shù)公式時，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式，它們的內(nèi)在聯(lián)系如下：要點二：二倍角公式的逆用及變形1公式的逆用；2公式的變形；降冪公式：升冪公式：要點三：兩角和與差的三角函數(shù)公式能夠解答的三類基本題型求值題、化簡題、證明題1對公式會“正著用”，“逆著用”，也會運用代數(shù)變換中的常用方法：因式分解、配方、湊項、添項、換元等；2掌握“角的演變”規(guī)律，尋求所求結論中的角與已知條件中的角的關系，如等等，把握式子的變

3、形方向，準確運用公式，也要抓住角之間的規(guī)律(如互余、互補、和倍關系等等)；3將公式和其它知識銜接起來使用，尤其注意第一章與第三章的緊密銜接.【典型例題】類型一：二倍角公式的簡單應用例1化簡下列各式：（1）；（2）；（3）【思路點撥】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式【答案】（1）（2）（3）【解析】 （1）（2）（3）【總結升華】本題的解答沒有去就單個角求其函數(shù)值，而是將所給式子作為一個整體變形，逐步向二倍角公式的展開形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔細體會本題中的解題思路舉一反三：【變式1】求值：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=

4、類型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函數(shù)值例2 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值【思路點撥】解這類題型有兩種方法：方法一：適用，不斷地使用二倍角的正弦公式方法二：將正弦題目中的正弦形式全部轉化為余弦形式，利用進行化簡【答案】【解析】方法一： 方法二：原式【總結升華】本題是二倍角公式應用的經(jīng)典試題方法一和方法二通過觀察角度間的關系，發(fā)現(xiàn)其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得問題出現(xiàn)連用二倍角的正弦公式的形式在此過程中還應該看到化簡以后的分子分母中的角是互余（補）的關系，從而使最終的結果為實數(shù)利用上述思想，我們還可以把問題推

5、廣到一般的情形：一般地，若，則舉一反三：【變式1】求值：sin10°cos40°sin70°【解析】原式類型三：利用二倍角公式化簡三角函數(shù)式例3化簡下列各式：(1)【思路點撥】（1）觀察式子分析，利用二倍角公式把倍角展開成單角，再進行化簡（2）觀察式子分析，利用二倍角公式把倍角展開成單角，利用平方差公式進行化簡【答案】（1）（2）【解析】(1)(2)【總結升華】余弦的二倍角公式的變形形式：經(jīng)常起到消除式子中1的作用由于，可進行無理式的化簡和運算例4化簡：【解析】 原式 【總結升華】 三角函數(shù)的化簡要從減少角的種類、函數(shù)的種類入手通過切化弦、弦化切、異化同、高次降冪

6、等手段，使函數(shù)式的結構化為最簡形式舉一反三：【變式1】（1）的化簡結果是 （2）已知，且( ，)，則 的值為 【答案】（1）（2）【解析】（1）原式= = = =（2）因為，且( ，)，所以，原式=類型四：二倍角公式在三角函數(shù)式給值求值題目中的應用例5求值：（1）已知，求（2）已知，求【思路點撥】觀察所求的角與已知角的關系，發(fā)現(xiàn)它們是二倍的關系，所以用二倍角公式去求解【答案】（1）（2）【解析】（1） = = =（2）= = =【總結升華】給值求值是求值問題中常見的題型，求解的要點是利用公式溝通已知條件和所求式子之間的聯(lián)系，考查公式運用和變換的技巧舉一反三：【變式1】 已知，且，求，的值【答案

7、】 【解析】由，得，即，由，得，即整理得解得或（舍去）【總結升華】解題過程中注意角的范圍的判定 【變式2】已知，（1）求tan的值；（2）求的值【解析】 （1），解得（2） 【總結升華】 第（1）問中利用了方程的思想求tan的值；對于第（2）問的題型，一般需要將分式轉化為含tan的式子求解，或者通過消元轉化的方法求解類型五：二倍角公式的綜合應用 例6已知，求：（1）f (x)的最大值以及取得最大值的自變量的集合；（2）f (x)的單調(diào)區(qū)間【思路點撥】用降冪公式把原式降冪，然后用輔助角公式化成的形式 【答案】（1） （2）單增區(qū)間 單減區(qū)間 【解析】（1）原式= = =則當即時， （2）f (x

8、)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，則 f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，則 【總結升華】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值、兩角和的正弦、二倍角的正弦與余弦公式及的性質等知識要記住倍角公式兩類重要變形并能熟練應用：（1）縮角升冪公式，（2）擴角降冪公式，例7 已知向量，求函數(shù)（1）求的最大值及相應的x值；（2）若，求的值【思路點撥】利用向量數(shù)量積公式的坐標形式，將題設條件中所涉及的向量數(shù)量積轉化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關系”，從而建立函數(shù)f(x)關系式【答案】（1） （2）【解析】 （1）因為，所以因此，當，即時，取得最大值（2）由及得，兩邊平方得，即因此，舉一反三：【變式1】已知函數(shù). （）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（）求函數(shù)在上的最小值. 【答案】（），（）【解析】（） 所以函數(shù)的最小正周期為. 由，則.函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是，. ()由，得. 則當，即時，取得最小值. 【變式2】已知向量m=（sinA，cosA），m