勾股定理的九種證明方法附圖

1、勾股定理的證明方法 一、傳說中畢達(dá)哥拉斯的證法（圖1） 左邊的正方形是由1個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形和1個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形以及4個(gè)直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形和4個(gè)直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。因?yàn)檫@兩個(gè)正方形的面積相等(邊長(zhǎng)都是)，所以可以列出等式，化簡(jiǎn)得。 二、美國(guó)第20任總統(tǒng)茄菲爾德的證法（圖3） 這個(gè)直角梯形是由2個(gè)直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個(gè)直角邊為 的等腰直角三角形拼成的。因?yàn)?個(gè)直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式，化簡(jiǎn)得。三、相似三角形的證法：DBAC4.相似三角形的方法：在學(xué)習(xí)了相似三角形以后，我們

2、知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個(gè)直角三角形所分成的兩個(gè)三直角角形與原三角形相似。如圖，RtABC中，ACB=90°。作CDAB，垂足為D。則 BCDBAC，CADBAC。 由BCDBAC可得BC2=BD × BA， 由CADBAC可得AC2=AD × AB。 我們發(fā)現(xiàn)，把、兩式相加可得 BC2+AC2=AB（AD+BD）， 而AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，這就是 a2+b2=c2。 這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡(jiǎn)潔。它利用了相似三角形的知識(shí)。 四、古人的證法： 如圖，將圖中的四個(gè)直角三角形涂上深紅色，把中間小正方形涂上白色，以弦

3、為邊的正方形稱為弦實(shí)，然后經(jīng)過拼補(bǔ)搭配，“令出入相補(bǔ)，各從其類”，他肯定了勾股弦三者的關(guān)系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之為弦實(shí)，開方除之，即弦也”。 趙爽對(duì)勾股定理的證明，顯示了我國(guó)數(shù)學(xué)家高超的證題思想，較為簡(jiǎn)明、直觀。 五、項(xiàng)明達(dá)證法： 作兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（b>a） ，斜邊長(zhǎng)為c. 再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上.過點(diǎn)Q作QPBC，交AC于點(diǎn)P.過點(diǎn)B作BMPQ，垂足為M；再過點(diǎn)F作FNPQ，垂足為N. BCA = 90°，QPBC， MPC = 90°， BMPQ，

4、 BMP = 90°， BCPM是一個(gè)矩形，即MBC = 90°. QBM + MBA = QBA =90 °，ABC + MBA = MBC = 90°， QBM = ABC，又 BMP = 90°，BCA = 90°，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA.同理可證RtQNF RtAEF.即a2+b2=c2 六、歐幾里德射影定理證法： 如圖，RtABC中，ABC=90°，AD是斜邊BC上的高，通過證明三角形相似則有射影定理如下：1）（BD）2;=AD·DC， （2）（AB）2;=AD·AC

5、， （3）（BC）2;=CD·AC 。由公式（2）+（3）得：（AB）2;+（BC）2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）2;，即 （AB）2;+（BC）2;=（AC）2 七、楊作玫證法：做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（b>a），斜邊長(zhǎng)為c. 再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形. 過A作AFAC，AF交GT于F，AF交DT于R. 過B作BPAF，垂足為P. 過D作DE與CB的延長(zhǎng)線垂直，垂足為E，DE交AF于H. BAD = 90º，PAC = 90º， DA

6、H = BAC.又 DHA = 90º，BCA = 90º，AD = AB = c， RtDHA RtBCA. DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一個(gè)矩形，所以 RtAPB RtBCA. 即PB = CA = b，AP= a，從而PH = ba. RtDGT RtBCA ,RtDHA RtBCA. RtDGT RtDHA . DH = DG = a，GDT = HDA . 又 DGT = 90º，DHF = 90º，GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90º， DGFH是一個(gè)邊長(zhǎng)為a

7、的正方形. GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB是一個(gè)直角梯形，上底TF=ba，下底BP= b，高FP=a +（ba）.用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖），則以c為邊長(zhǎng)的正方形的面積為 = ， = . 把代入，得= = . .8、 陳杰證法：設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b（b>a），斜邊的長(zhǎng)為c. 做兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b的正方形（b>a），把它們拼成如圖所示形狀，使E、H、M三點(diǎn)在一條直線上. 用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖）.在EH = b上截取ED = a，連結(jié)DA、DC，則 AD = c. EM = EH + HM = b + a ,

8、ED = a， DM = EMED = a = b.又 CMD = 90º，CM = a，AED = 90º， AE = b， RtAED RtDMC. EAD = MDC，DC = AD = c. ADE + ADC+ MDC =180º，ADE + MDC = ADE + EAD = 90º， ADC = 90º. 作ABDC，CBDA，則ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. BAF + FAD = DAE + FAD = 90º， BAF=DAE.連結(jié)FB，在ABF和ADE中， AB =AD = c，AE = AF = b，BAF=DAE， ABF ADE. AFB = AED = 90º，BF = DE = a. 點(diǎn)B、F、G、H在一條直線上.在RtABF和RtBCG中， AB = BC = c，BF = CG = a， RtABF RtBCG. ， ， ， ， = .9、 辛卜松證法：